Enable JavaScript to interact with content and submit forms on Wolfram websites. Learn how

Wolfram 语言与系统参考资料中心

DiagonalizableMatrixQ

DiagonalizableMatrixQ

DiagonalizableMatrixQ[m]

如果 m 可以对角化，给出 True，否则给出 False.

更多信息和选项

如果矩阵 m 与对角矩阵相似，则可以对角化. 也就是说，如果存在一个非奇异矩阵使得为对角矩阵.
DiagonalizableMatrixQ 适用于符号式矩阵，也适用于数值矩阵.
对于近似矩阵，选项 Tolerance->t 可用于表示满足 Abs[Det[v]]≤t 的矩阵 m 的特征向量 v 的行列式取值为零，这意味着特征向量 v 是线性相关的，且矩阵 m 不能对角化.
选项 Tolerance 的缺省值为 Automatic.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

验证 2×2 数值矩阵是否可对角化：

验证 3×3 符号矩阵是否可对角化：

将矩阵的特征向量放在列中：

验证矩阵类似于对角矩阵：

范围 (9)

基础用法 (5)

检验一个实值的机器精度矩阵是否可对角化：

验证结果：

得到矩阵的对角元素是的特征值：

检验复矩阵是否可对角化：

检验精确矩阵是否可对角化：

使矩阵可对角化：

将 DiagonalizableMatrixQ 用于具有任意精度矩阵：

随机方形矩阵通常是可对角化矩阵：

将 DiagonalizableMatrixQ 用于符号矩阵：

特殊矩阵 (4)

将 DiagonalizableMatrixQ 用于稀疏矩阵：

将 DiagonalizableMatrixQ 用于结构化矩阵：

用于 QuantityArray 结构化矩阵：

单位矩阵是可对角化矩阵：

HilbertMatrix 为可对角化矩阵：

选项 (1)

Tolerance (1)

生成一个实数非对角化若尔当块矩阵，其中该矩阵具有随机扰动的阶数：

q 是可以对角化的：

但特征向量 v 在数值上线性相关：

调整选项 Tolerance 使得特征向量的线性相关性能被检测出来：

应用 (6)

如果矩阵是可对角化的，则可将其分解为，其中是非奇异矩阵，是对角矩阵. 这可以通过使用其幂级数表示作为 $f(m)=p.(sum_(i=0)^inftya_i d^i).TemplateBox[{p}, Inverse]=p.f(d).TemplateBox[{p}, Inverse]$ 来计算矩阵函数，并且可以通过简单地将应用于每个对角线元素来计算 . 使用此方法计算几个不同的矩阵函数：

计算的特征系统：

矩阵将特征向量作为列，对角线项是特征值：

使用 MatrixPower 计算并进行验证：

使用 MatrixExp 计算并进行验证：

使用 MatrixLog 计算并进行验证：

使用 MatrixFunction 计算并进行验证：

求解 ODE 方程组，，. 首先，构造右侧的系数矩阵：

系数矩阵是可对角化的，因此计算矩阵指数很简单：

求特征值和特征向量：

构造一个对角矩阵，其项是的指数：

构造其列是对应特征向量的矩阵：

对于三个任意起始值，其通解为：

使用 DSolveValue 验证解：

使用 Fibonacci 的递归关系可写成这样的矩阵形式这一事实，推导出的公式. 递归关系的解为，其中：

矩阵为可对角化矩阵：

因此，可使用 EigenvalueDecomposition[m] 简单计算矩阵幂：

完成的定义：

计算和：

使用 Fibonacci 验证结果：

正规矩阵是最通用的矩阵类型，可以酉对角化为，其中为对角矩阵和为酉矩阵. 所有埃尔米特矩阵都是正规矩阵，因为等式的两边都是简单的：

类似地，所有反埃尔米特矩阵都是正规矩阵，因为等式的两边都是简单的：

酉矩阵是正规矩阵，因为在定义中代入给出了两边的单位矩阵：

证明下面的矩阵是正规矩阵，并对其进行对角化：

使用 NormalMatrixQ 进行验证：

使用 EigenvalueDecomposition 可将像这样的正规矩阵进行酉对角化：

对角线上的项可以是任意复数：

While this is a diagonalization, it is not unitary:

The columns of are orthogonal, as they must be, but they are not normalized:

Normalizing the columns of gives a unitary matrix:

Confirm the unitary diagonalization :

在量子力学中，能量算子称为哈密顿量，具有能量的状态根据薛定谔方程演化. 有一个重要的假设是任何状态都可以写成特征态的总和. 证明这是方向恒定磁场中自旋 1 粒子的哈密顿量的情况：

矩阵是可对角化矩阵，因此其特征向量必须构成 $TemplateBox[{}, Complexes]^3$ 的基：

计算本征系统，能级为和：

确认特征向量为线性独立，因此是一个基：

正规化特征向量：

将任意状态分解为特征向量的和：

许多矩阵分布产生确保可对角化的矩阵，包括 CircularRealMatrixDistribution：

CircularSymplecticMatrixDistribution：

GaussianOrthogonalMatrixDistribution：

GaussianUnitaryMatrixDistribution：

属性和关系 (9)

可对角化矩阵可以使用特征分解为，其中为对角矩阵：

Use EigenvalueDecomposition to find the similarity and diagonal matrices:

确认该分解：

当且仅当矩阵具有一组完整的特征向量时该矩阵是可对角化矩阵：

虽然其有重复特征值，但有三个线性独立的特征向量：

尽管具有与相同的特征值，但矩阵不可对角化：

该矩阵只有两个独立的特征向量，如 Eigensystem 返回的零向量所示：

任何没有重复特征值的矩阵都是可对角化矩阵：

任何实对称矩阵都是可对角化矩阵：

与任何埃尔米特矩阵一样：

任何实反对称矩阵都是可对角化矩阵：

与任何反埃尔米特矩阵一样：

任何实正交矩阵都是可对角化矩阵：

与任何酉矩阵一样：

任何正规矩阵都是可对角化的：

当且仅当 JordanDecomposition[m] 的矩阵是对角矩阵时，矩阵 m 是可对角化矩阵：

如果对于某些，有，则 × 矩阵是幂零的：

考虑一个不可对角化的矩阵：

使用 JordanDecomposition 将写为，其中可对角化且幂零：

确认是可对角化矩阵：

矩阵是幂零的：

此外，和可交换：

Top