DiscreteMaxLimit

DiscreteMaxLimit[f,k]

给出序列 f[k]k 在整数上趋近于 时的最大极限 kf(k).

DiscreteMaxLimit[f,{k1,,kn}]

给出整数上的嵌套最大极限 f(k1,,kn).

DiscreteMaxLimit[f,{k1,,kn}{,,}]

给出整数上的多变量最大极限 f(k1,,kn).

更多信息和选项

  • DiscreteMaxLimit 亦称为 limit superior、supremum limit、limsup、upper limit 和 outer limit.
  • DiscreteMaxLimit 计算极限的最小上限,且总是为实值序列定义. 它通常用于给出不依赖于实际极限的收敛条件和其他渐进属性.
  • 可用 f 来输入 DiscreteMaxLimit[f,k]. 可用 dMlim 来输入模板 ,用 把光标从底部移动到主体.
  • 可用 f 来输入 DiscreteMaxLimit[f,{k1,,kn}{,,}].
  • 的极限值为 ±.
  • 最大极限被定义为最大包络序列 max[ω] 的极限:
  • DiscreteMaxLimit[f,k]DiscreteLimit[max[ω],ω]
    DiscreteMaxLimit[f,{k1,,kn}{,,}]DiscreteLimit[max[ω],ω]
  • DiscreteMaxLimit[f[k],k-] 等价于 DiscreteMaxLimit[f[-l],l] 等.
  • 对单变量 f[k],定义使用最大包络 max[ω]MaxValue[{f[k],kωk},k],对多变量 f[k1,,kn],则使用 max[ω]MaxValue[{f[k1,,kn],k1ωknωki},{k1,,kn}]. ω 时,序列 max[ω] 单调递减,所以它总是有一个极限,可能是 ±.
  • 下图中用蓝色显示 max[k]max[Min[k1,k2]].
  • 如果无法找到最大极限,DiscreteMaxLimit 不进行计算,直接返回.
  • 可以给出下列选项:
  • Assumptions $Assumptions对参数的假设
    GenerateConditions Automatic是否为参数生成条件
    Method Automatic所用的方法
    PerformanceGoal "Quality"优化的目标
  • GenerateConditions 的可能设置包括:
  • Automatic只汇报非通用条件
    True汇报所有条件
    False不汇报条件
    None如果需要条件,则不进行计算,直接返回
  • PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal"Quality""Speed". 如果设置为 "Quality"DiscreteMaxLimit 通常能求解更多问题或产生更简单的结果,但会需要更多时间和内存.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)

序列的最大极限:

乘积的最大极限:

dMlim 输入模板 , 用 把光标从底部移动到主体:

TraditionalForm 输出:

范围  (21)

基本用法  (4)

计算当 n 趋近于 Infinity 时序列的最大极限:

计算当 n 趋近于 -Infinity 时序列的最大极限:

计算多变量序列的嵌套最大极限:

计算一系列序列的最大极限:

初等函数序列  (6)

求有理指数序列的最大极限:

收敛几何函数序列:

振荡几何函数序列:

发散振荡几何函数序列:

指数函数序列:

幂函数序列:

三角函数序列:

反三角函数序列:

对数函数序列:

周期序列  (3)

周期序列的极限:

最终周期序列:

密集非周期序列:

分段序列  (2)

最大极限为有限值的分段序列:

最大极限为无穷大值的分段序列:

周期性条件下的分段序列:

特殊函数序列  (2)

计算涉及 Fibonacci 的序列的极限:

涉及 FactorialPower 的序列:

数论函数序列  (2)

涉及 LCMGCD 的极限:

涉及 Prime 的序列:

多变量序列  (2)

计算嵌套最大极限:

绘制序列和它的极限:

多变量最大极限:

选项  (6)

Assumptions  (1)

指定参数的假设:

不同的假设会给出不同的结果:

GenerateConditions  (3)

不陈述条件,返回结果:

只有 x>1 时结果才有效:

如果结果取决于参数的值,则不进行计算,直接返回:

默认情况下,会生成返回唯一结果的条件:

默认情况下,如果只有特殊值使结果无效,则不会生成条件:

当设置为 GenerateConditions->True 时,即便是非通用条件,也会汇报:

Method  (1)

用缺省方法计算周期序列的最大极限:

用针对周期序列的方法获取同样的答案:

序列的极限没有定义,因为它在 0 和 1 之间振荡:

PerformanceGoal  (1)

DiscreteMaxLimit 计算周期为任意长度的序列的极限:

PerformanceGoal 来避免此种花费时间较长的计算:

Method 选项会覆盖 PerformanceGoal

应用  (7)

基本应用  (2)

计算序列的渐进上确界:

绘制序列及其渐进上确界:

验证下列序列没有极限:

证明 DiscreteMaxLimitDiscreteMinLimit 不相等:

DiscreteLimit 确认极限不存在:

级数收敛  (4)

用比例检验法证明一般项由下式给出的无穷级数收敛:

绘制级数的部分和:

DiscreteRatio 计算相邻项的比:

比的序列不收敛:

但是,依然可以使用比例检验法,因为比值的上限小于 1:

SumConvergence 确认级数是收敛的:

计算无穷级数:

用根检验法证明一般项由下式给出的无穷级数收敛:

绘制级数的部分和:

计算一般项的第 n 个根:

根序列的极限不存在:

但是,根检验法还是表明序列是收敛的,因为最大极限小于 1:

SumConvergence 确认级数是收敛的:

计算无穷级数:

考虑序列

相关幂级数的反向半径 为:

这意味着收敛半径为无穷大,对于所有 z in TemplateBox[{}, Complexes],收敛于

计算下列函数在零处的泰勒级数和收敛半径:

个泰勒系数为

泰勒级数的和是原来的函数:

泰勒级数的收敛半径为:

这表明泰勒级数对于距原点 的范围内的 值是收敛的. 例如,在 处:

对于更远处的 值,和是不收敛的;例如,在 处:

在点 处,泰勒级数的项在 之间交替出现:

因此,部分和位于 之间:

可视化 及其泰勒级数在 区间上的部分和;在区间内部,收敛是快速的,但泰勒多项式在端点处总是为

计算复杂性  (1)

一个算法运行时间函数 被认为是 "big-o of ",写作 ,如果 _(n->_(TemplateBox[{}, Integers])infty) (f(n))/(g(n))<infty

同样, 还被认为是 "big-theta of ",写作 ,如果 _(n->_(TemplateBox[{}, Integers])infty) (f(n))/(g(n))<infty_(n->_(TemplateBox[{}, Integers])infty)(f(n))/(g(n))>0

总是为真:

如果 ,则

两个函数不可能共享两种关系:

因此, 在算法运行时间空间 (runtime space) 上定义了自反部分关系,类似于

如果 ,则 ,表明 是一个等价关系:

属性和关系  (11)

实值序列总是有最大极限(可能是无穷大):

相应的极限则有可能不存在:

如果 的最大极限为有限值,则 TemplateBox[{{(, {f, +, g}, )}, x, a}, DiscreteMaxLimit]<=TemplateBox[{f, x, a}, DiscreteMaxLimit]+TemplateBox[{g, x, a}, DiscreteMaxLimit]

在这种情况下,存在严格的不相等性:

正的乘数常数可以被移到极限外面:

对于实值序列,如果 DiscreteLimit 存在,DiscreteMaxLimit 的值与之相等:

如果 的极限为有限值,则 TemplateBox[{{(, {f, +, g}, )}, x, a}, DiscreteMaxLimit]=TemplateBox[{f, x, a}, DiscreteMaxLimit]+TemplateBox[{g, x, a}, DiscreteMaxLimit]

DiscreteMaxLimit 总是大于或等于 DiscreteMinLimit

如果 DiscreteMaxLimit 等于 DiscreteMinLimit,极限存在并等于它们共有的值:

如果最大极限为 ,那么最小极限和极限也等于

可用 -DiscreteMinLimit[-f,] 来计算 DiscreteMaxLimit

如果 ,则 TemplateBox[{{g, (, n, )}, x, a}, MaxLimit2Arg]<=TemplateBox[{{f, (, n, )}, x, a}, MinLimit2Arg]<=TemplateBox[{{f,  , {(, n, )}}, x, a}, MaxLimit2Arg]

如果两个最大极限相等,如此例,那么 的极限存在:

这是 "squeezing" 或 "sandwich" 定理的推广:

MaxLimit 总是大于或等于 DiscreteMaxLimit

可能存在的问题  (1)

DiscreteMaxLimit 只对实值序列有定义:

巧妙范例  (1)

可视化一组序列的最大极限:

Wolfram Research (2017),DiscreteMaxLimit,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteMaxLimit.html.

文本

Wolfram Research (2017),DiscreteMaxLimit,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteMaxLimit.html.

CMS

Wolfram 语言. 2017. "DiscreteMaxLimit." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteMaxLimit.html.

APA

Wolfram 语言. (2017). DiscreteMaxLimit. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteMaxLimit.html 年

BibTeX

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