FactorialMoment

FactorialMoment[data,r]

data の r 次階乗モーメントを与える．

FactorialMoment[data,{r₁,…,r_m}]

data の多変量{r₁,…,r_m}次階乗モーメントを与える．

FactorialMoment[dist,…]

分布 dist の階乗モーメントを与える．

FactorialMoment[r]

r 次の形式的階乗モーメントを表す．

詳細

階乗モーメントは，によって与えられるFactorialPower[x,r]を使って定義される．
次数 r のスカラーで data が配列のとき：
r 次階乗ベキの和 »

列ごとの r 次階乗ベキの和 »

$x in TemplateBox[{Arrays, paclet:ref/Arrays}, RefLink, BaseStyle -> {3ColumnTableMod}][{n_(1),...,n_(k)}]$ 列ごとの r 次階乗ベキの和 »
FactorialMoment[x,r]はArrayReduce[FactorialMoment[#,r]&,x,1]に等しい．
次数{r₁,…,r_m}のベクトルで data が配列のとき：
第 j 列の r_j次階乗ベキの和

$x in TemplateBox[{Arrays, paclet:ref/Arrays}, RefLink, BaseStyle -> {3ColumnTableMod}][{n_(1),...,n_(k)}]$ 第 j 列の r_j次階乗ベキの和 »
FactorialMoment[x,{r₁,…,r_m}]はArrayReduce[FactorialMoment[#,{r₁,…,r_m}]&,x,{{1},{2}}]に等しい．
FactorialMomentは数値データと記号データの両方を扱うことができる．
data は次の追加的な形式と解釈を持つことができる．

	Association	値（キーは無視される） »
	WeightedData	もとになっているEmpiricalDistributionに基づく加重平均 »
	EventData	もとになっているSurvivalDistributionに基づく »
	TimeSeries, TemporalData, …	値のベクトルまたは配列（タイムスタンプは無視される） »
	Image,Image3D	RGBチャンネル値またはグレースケール強度値 »
	Audio	すべてのチャンネルの振幅値 »

分布 dist についての r 次階乗モーメントは Expectation[x^(r),xdist]で与えられる． »
多変量分布 dist についての{r₁,…,r_m}次階乗モーメントはExpectation[x₁^(r₁)⋯ x_m^(r_m),{x₁,…,x_m}dist]で与えられる． »
ランダム過程 proc については，階乗モーメント関数は時点 t におけるスライス分布SliceDistribution[proc,t]について，[t]=FactorialMoment[SliceDistribution[proc,t],r]として計算できる． »
FactorialMoment[r]はMomentConvertやMomentEvaluate等の関数で使うことができる． »

例題

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例 (2)

データから階乗モーメントを計算する：

記号データを使う：

一変量離散分布の二次階乗モーメントを計算する：

多変量分布の階乗モーメント：

スコープ (20)

基本的な用法 (5)

厳密な入力は厳密な出力を与える：

近似入力は近似出力を与える：

WeightedDataの階乗モーメントを求める：

EventDataの階乗モーメントを求める：

TimeSeriesの階乗モーメントを求める：

階乗モーメントは値のみに依存する：

配列データ (4)

FactorialMomentは，行列については列ごとの平均を与える：

FactorialMomentは，配列については第1レベルの列ごとの平均を与える：

配列についての多変量FactorialMoment：

大きい配列に使う：

入力がAssociationのとき，FactorialMomentはその値に作用する：

SparseArrayデータは密は配列のように使うことができる：

画像データと音声データ (2)

RGB画像のチャンネルごとの階乗モーメント：

グレースケール画像の階乗モーメント強度値：

FactorialMomentは，音声オブジェクトについてはチャンネルごとに作用する：

分布のモーメントと過程のモーメント (5)

一変量分布のスカラー階乗モーメント：

多変量分布の結合階乗モーメント：

多変量分布の場合：

記号次数 r についての階乗モーメントを計算する：

階乗モーメントは特定の次数についてしか評価されないことがある：

階乗モーメントは数値的にしか評価されないことがある：

派生分布についての階乗モーメント：

データ分布について：

ランダム過程についての階乗モーメント関数：

ある時点 t=0.5におけるTemporalDataの階乗モーメントを求める：

対応する階乗モーメント関数をすべてのシミュレーションとともに求める：

形式的なモーメント (4)

形式的なモーメントのTraditionalFormによる表示：

形式的なモーメントの組合せを，FactorialMomentを含む式に変換する：

形式的なモーメントを含む式を分布について評価する：

データについて評価する：

FactorialMomentを含む式についてのサンプル推定量を求める：

結果の推定量をデータについて評価する：

アプリケーション (4)

階乗モーメント法を使って分布母数を推定する：

データと推定パラメトリック分布を比較する：

一連の階乗モーメントから確率質量関数を再構築する：

階乗モーメント母関数(FMGF)を求める：

FMGFと確率母関数の等価性を使う：

求まった分布の階乗モーメントがもとの階乗モーメントと一致することを確認する：

あるデータについての移動階乗モーメントを計算する：

長さ.1の窓を使う：

ランダム過程の経路集合のスライスについて，階乗モーメントを計算する：

いくつかのスライス時間を選ぶ：

これらの経路上に階乗モーメントをプロットする：

特性と関係 (5)

階乗モーメントはFactorialPowerの期待値と等しい：

一次階乗モーメントはMeanと等しい：

FactorialMomentは $mu^__r=sum_(k=1)^rTemplateBox[{r, k}, StirlingS1]mu_k$ を使ってMomentから計算することができる：

MomentConvertも同じ結果を生む：

Momentは $mu_r=sum_(k=0)^rmu^__k TemplateBox[{r, k}, StirlingS2]$ を使ってFactorialMomentから計算することができる：

MomentConvertも同じ結果を生む：

深さの配列の多変量階乗モーメントの深さはである：

おもしろい例題 (1)

30個，100個，300個のサンプルについてFactorialMomentの分布を推定する：

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