FactorialPower

FactorialPower[x,n]

階乗ベキを与える．

FactorialPower[x,n,h]

の階乗ベキをステップ h で与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
整数 n に対し，はで与えられ，はで与えられる．
は任意の n に対してで与えられる．
はで与えられ， $sum_xTemplateBox[{x, k}, FactorialPower]$ はで与えられる．
FactorialPower[x,n]は x と n が数のときにのみ自動的に評価される．
FunctionExpandは常にFactorialPowerを多項式かガンマ関数の組合せに変換する．
FactorialPowerはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (7)

10の「階乗平方」を求める：

FactorialPowerは自動的には展開しない：

FunctionExpandを使って展開する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

特異点における級数展開：

スコープ (34)

数値評価 (7)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

高精度で効率的に評価する：

FactorialPowerは要素単位でリストに縫い込まれる：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する

MatrixFunctionを使って行列のFactorialPower関数を計算することもできる：

特定の値 (6)

固定点におけるFactorialPowerの値：

n の整数値について多項式表現FactorialPower[x,n]を得る：

刻み幅がのとき，FactorialPower[x,n,h]は昇階乗ベキを与える：

これはPochhammerに等しい：

x の固定値についてFactorialPower[x,n]を展開する：

第3引数に整数値を加えて同じことを行う：

第2引数がゼロのときの値：

第1引数が0で第2引数が正のときの値：

FactorialPower[x,1/7]=1.2となるような x の値を求める：

可視化 (3)

FactorialPower関数をさまざまな次数でプロットする：

FactorialPowerをパラメータの関数としてプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性 (10)

階乗ベキの実領域：

複素領域：

n のさまざまな固定値についてのFactorialPower[x,n]の関数領域：

は x の解析関数である：

は非減少でも非増加でもない：

は単射ではない：

は全射である：

FactorialPowerは非負でも非正でもない：

は，が負の整数のとき，潜在的な特異点と不連続点を持つ：

は凸でも凹でもない：

TraditionalFormによる表示：

微分 (3)

についてのの一次導関数：

についてのの高次導関数：

n=2のとき，x についての高次導関数をプロットする：

級数展開 (3)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の2つの近似をプロットする：

生成点における級数展開：

FactorialPowerはベキ級数に適用できる：

関数の恒等式と簡約 (2)

正の整数について $TemplateBox[{x, n}, FactorialPower]= ((-1)^n TemplateBox[{{n, -, x}}, Gamma])/(TemplateBox[{{-, x}}, Gamma])$ ：

漸化式：

アプリケーション (4)

異なる要素の長さ n のリストの長さ r の順列の数は，FactorialPower[n,r]によって与えられる：

異なる桁の3つ一組の数：

ニュートン(Newton)の前進差分公式[MathWorld]を使って関数を近似する：

級数を短縮することで近似を構築する：

ヌールルンド数の最初の10個：

積分定義と比較する：

特性と関係 (11)

FactorialPowerのSumに対する関係はPowerのIntegrateに対する関係に等しい：

FactorialPowerはを満足する：

これで，FactorialPowerはPowerに類似していることになり，Dとの関係が決まる：

FactorialPowerは常にガンマ関数の比で表すことができる：

の展開と比較する：

FactorialPower[x,n]はに等しい：

FactorialPower[x,x]は x!と等価である：

Pochhammerは単一のFactorialPower式で表すことができる：

整数について恒等式を確認する：

この関数はしばしば昇階乗と呼ばれる：

最初のいくつかのケースについて，PochhammerによるFactorialPowerの展開を検証する：

FactorialPowerはDifferenceRootとして表すことができる：

FactorialPowerの母関数：

FactorialPowerの指数母関数：

考えられる問題 (2)

一般に，PowerはFactorialPowerののときの極限として復元される：

しかし，が負の実軸上にあればこれは真ではないかもしれない：

原点付近の一般的な級数展開は整数点では定義されないことがある：

仮定を使って結果を細分化する：

の明示的な値についての展開と比較する：

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