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FactorialPower

FactorialPower[x,n]

给出阶乘幂 .

FactorialPower[x,n,h]

给出步长为 h 的阶乘幂 .

更多信息

数学函数，适宜于符号和数值运算.
对于整数 n，由给出，由给出.
对于任何 n ，由给出.
由给出，而 $sum_xTemplateBox[{x, k}, FactorialPower]$ 由给出.
仅当 x 和 n 是数字时，FactorialPower[x,n] 才自动执行计算.
FunctionExpand 总是将 FactorialPower 转换为一个多项式或伽玛函数的组合.
FactorialPower 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (7)

求出 10 的“阶乘平方”：

FactorialPower 没有自动展开：

用 FunctionExpand 展开：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

原点处的级数展开式：

Infinity 处的级数展开式：

奇点处的级数展开式：

范围 (34)

数值计算 (7)

数值计算：

高精度计算：

输出的精度与输入的精度一致：

复数输入：

高精度条件下进行高效计算：

FactorialPower 按照元素作用于列表：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或者用 Around 计算普通的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或者用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 FactorialPower 函数：:

特殊值 (6)

在固定点处的 FactorialPower 的值：

获取 n 的整数值的多项式表示 FactorialPower[x,n]：

步长时，FactorialPower[x,n,h] 给出升阶乘：

这与 Pochhammer 等价：

对固定的 x 值展开 FactorialPower[x,n]：

同样，为第三个参数添加整数值：

第二个参数为零的值：

第一个参数为 0，第二个参数为正的值：

求当 FactorialPower[x,1/7]=1.2 时 x 的值：

可视化 (3)

绘制各阶 FactorialPower 函数：

绘制作为参数的函数的 FactorialPower:

绘制的实部：

绘制的虚部：

函数的属性 (10)

阶乘幂的实域：

复定义域：

不同 n 固定值下 FactorialPower[x,n] 的函数范围：

是 x 的解析函数：

既非递减，也非递增：

不是单射函数：

是满射函数：

FactorialPower 既不是非负，也不是非正：

当是负整数时，可能有奇点和断点：

既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式：

微分 (3)

关于的一阶导数：

关于的一阶导数：

关于的高次导数：

绘制当 n=2，关于 x 的更高阶导数：

级数展开 (3)

用 Series 求泰勒展开式：

绘制附近前 2 个近似式：

普通点处的泰勒展开式：

FactorialPower 可以应用于幂级数中：

函数恒等与化简 (2)

对于正整数 $TemplateBox[{x, n}, FactorialPower]= ((-1)^n TemplateBox[{{n, -, x}}, Gamma])/(TemplateBox[{{-, x}}, Gamma])$ ：

递推关系：

应用 (4)

由 FactorialPower[n,r] 给出一个由不同元素组成的长度为 n 的列表的长度为 r 的排列组合的数量：

不同数字的三元组的数量：

用牛顿前向差分公式的一个函数的近似[MathWorld]：

通过截取级数来构建一个近似：

前十个诺兰的数字 (Nørlund numbers)：

与其积分定义对比：

属性和关系 (11)

FactorialPower 是关于 Sum 的操作，就像 Power 是关于 Integrate 的操作：

FactorialPower 满足：

这使得 FactorialPower 类似于 Power 及其与 D 的关系：

FactorialPower 总可以被表示为伽玛函数的比率：

与的展开相比较：

FactorialPower[x,n] 等价于 :

FactorialPower[x,x] 等价于 x!：

Pochhammer 可以用一个 FactorialPower 表达式来表示：

验证对于整数有恒等：

这个函数通常被称为升阶乘：

验证前几种情况中用 Pochhammer 对 FactorialPower 的展开：

FactorialPower 可用 DifferenceRoot 进行表示：

FactorialPower 的母函数：

FactorialPower 的指数母函数：

可能存在的问题 (2)

一般，作为时 FactorialPower 的极限，Power 回升：

这可能不为真，然而，如果保持在负实数轴上：

在原点周围的级数展开可能在整数点没有定义：

用假设细化结果：

与的明确值相比较：

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