FiniteField

FiniteField[p,d]

個の元からなる有限体を与える．

FiniteField[p,f]

が の既約多項式である有限体 を与える．

FiniteField[p,…,rep]

"Polynomial"または"Exponential"の体の元表現 rep を使う．

詳細

  • 有限体はガロア(Galois)体としても知られている．
  • 有限体は，代数計算，暗号学，符号化理論，組合せ論，代数幾何学，整数論，有限幾何学にしばしば用いられる．
  • 体は，4つの算術演算+，-，*，÷がすべてある代数系である．有限体は，素数 と正の整数 について 個の元を持つことができる．
  • 番目の元 はすべての について となる加法の単位元で，番目の元 はすべての について となる乗法の単位元を与える．
  • FiniteFieldElement[,k]または[k]を使って 番目の元 が入手できる．これはと表示される．
  • 同じ体にあるFiniteFieldElementオブジェクトは算術操作によって自動的に結合される．
  • 有限体からの係数を持つ多項式には，PolynomialGCD，Factor，Expand，PolynomialQuotientRemainder，Resultantのような多項式操作を使うことができる．有限体からの係数を持つ有理関数には，TogetherおよびCancelを使うことができる．
  • Det，Inverse，RowReduce，NullSpace，MatrixRank，LinearSolveのような線形代数操作は，有限体からの項を持つ行列に使うことができる．
  • SolveおよびReduceを使って方程式系を有限体上で解くことができる．
  • FiniteFieldは"Polynomial"と"Exponential"の異なる2つの表現 rep をサポートする．
  • "Polynomial"表現は複素数 のデカルト表現に似た表現で，加算と減算は簡単だが乗算と除算は少々難しくなる．
  • 表現　次数 d の既約多項式 を使って商を持つ体を識別する：
  • の各元は多項式 として表される．基底がのベクトルと考えることもできる．
  • 列挙　元は辞書的順序の逆順に列挙される．
  • ,,…,,…,
  • 操作　かつ とすると以下になる．
  • かつ
  • は (PolynomialRemainder) を法として簡約されて次数 になる． （. ）で乗法の逆元 は拡張多項式の最大公約数を使って計算される． は既約なので，．したがって，多項式 と について拡張多項式の最大公約数から が得られる． を法として簡約すると になる．したがって である．
  • "Exponential"表現は複素数の極表現 に似た表現で，乗算と除算は簡単だが加算と減算は少々難しくなる．
  • 表現　"Polynomial"表現におけるように，この表現も次数 d の既約多項式 を使うが，は原始的でもなければならない．が原始的なので， のベキはの中の以外のすべての元を表す．
  • が乗法について巡回群なので，この表現は巡回群表現としても知られている．
  • 列挙　元は指数順に列挙される．
  • , , , …, , …,
  • 操作　かつ とすると以下になる．
  • u *v=alpha^(TemplateBox[{{(, {i, +, j}, )}, {(, {q, -, 1}, )}}, Mod])かつ
  • 反転すると となる．加法と減法については には となるような簡単な規則はなく，体のサイズが で線形な参照テーブルに格納されている．これによってデータ格納という費用はかかるが操作が速くなる．これはまた"Exponential"表現は大き体には適していないことも意味している．
  • 表現間の現実的な違いは次の通りである．
  • "Polynomial"の作成には時間がかからず，余分なメモリも使わない．大きい体に使えるが操作は若干遅くなる．
  • "Exponential"の作成には若干時間がかかり，体の大きさに比例して余分なメモリも必要となる．小さい体に使えて操作は若干速い．
  • Information[FiniteField[…], prop]は有限体の特性 prop を与える．次は指定可能な特性である．
  • "Characteristic"有限体の標数 p
    "ExtensionDegree"上の有限体の拡大次数 d
    "FieldSize"体の元の数 q=pd
    "FieldIrreducible"体の構築に使われた多項式関数 f
    "ElementRepresentation""Polynomial"または"Exponential"

例題

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例  (2)

素体を表す：

演算を行う：

多項式代数を行う：

標数，拡大次数の有限体を表す：

多項式係数または指数を使って体の元を指定する：

算術計算を行う：

多項式代数を行う：

スコープ  (13)

表現と特性  (4)

標数，拡大次数の有限体を表す：

体の構築に使われた既約多項式を求める：

デフォルトで，体の元の多項式表現が使われる：

体のその他の特性を求める：

体の加法単位元と乗法単位元はの指数はとである：

カスタムの既約多項式を使って有限体を構築する：

多項式が既約であることを確認する：

体を表す：

体の規約元は体の標数を法とする指定の多項式に等しい：

元の指数表現を使う有限体を構築する：

体の表現に使われた多項式は原始的である：

体の加法単位元と乗法単位元の指数はとである：

体の非零の元はすべて，指数がの元のベキである：

素体を表す：

49個の元がある有限体を表す：

算術操作  (3)

有限体内で算術操作を行う：

有理ベキは指数分母 との場合にのみ使うことができる：

体の元によっては，平方根が存在しないものもある：

算術操作は整数を体の元として扱う：

有理数は体の標数を法として有効でなければならない：

Elementを使ってどの有理数が体の元と識別できるかを判定する：

有理数は比較のために体の元で識別される：

異なる有限体の元を結合することはできない：

同じ標数と規約体を持つ体だが，異なる元表現が許される：

自己同型と埋込み  (2)

有限体の元のすべての共役を計算する：

共役は a の最小多項式の根である：

フロベニウス(Frobenius)自己同型は を に写像する：

ある有限体の別の有限体への埋込みを計算する：

埋込みを通して有限体の元を写像する：

埋込みは算術操作を保持する：

有限体上の多項式  (2)

有限体上で多項式を使って計算する：

積を展開する：

最大公約数を計算する：

分数を約分する：

商と剰余を計算する：

多項式を因数分解する：

終結式を計算する：

多変量の多項式で計算する：

有限体の拡大上で多項式を因数分解する：

多項式 は 上で既約である：

をより大きい体 に埋め込んだ後で を因数分解する：

有限体上の線形代数  (1)

有限体上で行列の計算を行う：

行列の乗算：

行列の累乗を計算する：

行列式を計算する：

逆行列を計算する：

線形方程式を解く：

行列の階数と零空間を計算する：

行列のLU分解を計算する：

行列の行削減：

行列の固有多項式を求める：

有限体上の方程式  (1)

有限体上で方程式を解く：

位置変数の方程式：

線形方程式系：

多項式系：

解の例を求める：

限定子を除去する：

アプリケーション  (8)

エラー訂正コードを実装する．ハミングコードは ビットのメッセージを ビットシーケンスで符号化し，エラーを1つ修正することができる：

指数の元表現を使って を元の数がの有限体とし，は を構築するための既約多項式， は の生成元とする：

符号化されたメッセージは の係数リストである．ただし，の係数リストはもとのメッセージである：

を係数リストが受信したメッセージである多項式とする：

受信したメッセージにエラーがなければ であり，したがって である：

受信したメッセージの位置 にエラーが1つ含まれていれば であり，したがって である：

受信したメッセージをチェックして修正する：

メッセージの復号化には の係数リストを計算する：

受信したメッセージのエラーが1つ以下の場合，復号化されたメッセージは正しい：

任意の素数ベキ について，次数 の 直交ラテン方陣を構築する．次数 のラテン方陣は，各行各列が 要素中の各1要素を厳密に1回含む 配列である．2つの配列を並置して構成された ペアがすべて異なる場合，そのラテン方陣のペアは直交すると言われる：

すべての配列がラテン方陣であることを確認する：

配列の全ペアが直交であることを確認する：

のときの総和 がすべてことなっているなら，整数の有限集合はSidon集合である．の 個の整数のSidon集合を素数ベキ について構築する：

が長さ のSidon集合であることを確認する：

アルファベットの 文字からなる 次のde Bruijn列は， 文字の各の列が の循環列に厳密に1回現れるようなアルファベットの 文字の循環列 である． 文字のアルファベットの 次de Bruijn列を，素数ベキ について構築する：

が 文字のアルファベットについての次数 のde Bruijn列であることを確認する：

行列 のすべての成分がかで H.TemplateBox[{H}, Transpose]=n I_nなら， はアダマール(Hadamard)行列である．任意の素数ベキ (TemplateBox[{{q, =, 3}, 4}, Mod])について次数 のアダマール行列を構築する：

高度暗号化標準(AES)アルゴリズムで使われている「Rijndael S-Box Step」を実装する．「Nyberg S-Box」と呼ばれる最初の部分はにおける乗法の逆元を使用する：

2番目の部分には上のアフィン変換が含まれる：

Forward S-Boxは2つの部分からなる：

Forward S-Boxの表を16進法で計算する：

逆S-Box変換を定義する：

逆S-Box表を16進法で計算する：

逆S-BoxがForward S-Boxの逆であることを確認する：

Diffie–Hellman公開鍵の暗号システムを2049ビットの素数で実装する：

体 の原始元を求める：

最初のユーザが秘密鍵を選ぶ：

公開鍵は，，，からなる：

2番目のユーザはを選ぶ：

2048ビットのメッセージ を送るために，2番目のユーザは と を送る：

最初のユーザは を計算して が復元できる：

デジタル署名スキームを実装する．素数 を固定しての原始元 を求める：

の秘密の整数を選んで ，，を公開する：

メッセージ のための署名は，となるような より小さい正の整数のペアである．署名の計算には秘密の整数 の知識が必要である：

署名は公に知られている情報を使って確認することができる：

ランダムに生成されたメッセージのための署名を計算する：

署名を確認する：

特性と関係  (7)

標数 ，拡大次数 の有限体は 個の元を持つ：

標数 の有限体の元はを満足する：

したがって，写像 はFrobeniusAutomorphismとして知られる体の自己同型である：

体の生成元 は既約である体の根である：

FrobeniusAutomorphismを使って の残りの根を求める：

個の元を持つ有限体のすべての元は の根である：

事実，：

上の次数 の任意の既約多項式は，個の元がある体で 個の根を持つ：

IrreduciblePolynomialQとModulusp を使って上における既約性を確かめる：

FactorとExtensionℱ を使って f が ℱ 上における線形係数の積であることを確かめる：

FiniteField[p,1]を使って素体上で計算する：

Modの結果と比較する：

上の多項式計算：

Modulusオプションで得られた結果と比較する：

ToFiniteFieldを使って整数係数を有限体の素部分体の元に変換する：

FromFiniteFieldは係数を整数に変換し直す：

係数を有限体の元に変換する．t は体の生成元を表す：

有限体の係数を t の多項式に変換する．ただし，t は体の生成元を表す：

Wolfram Research (2023), FiniteField, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html （2024年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2023), FiniteField, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html （2024年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2023. "FiniteField." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html.

APA

Wolfram Language. (2023). FiniteField. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_finitefield, author="Wolfram Research", title="{FiniteField}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

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