表示一个特征为 、扩张度为 的有限域：

使用多项式系数指定域的一个元素：

等效规范：

使用索引指定域的元素：

等效规范：

做算术：

做多项式代数：

有限域元素是原子对象：

提取有限域元素的属性：

执行纠错码. 汉明码将 位消息编码为 位序列，并且可以纠正至多一个错误：

令 为使用指数元素表示法的具有 个元素的有限域，令 是用于构造 的不可约多项式，令 为 的生成器：

编码后的消息是 的系数列表，其中 的系数列表是原始消息：

令 为多项式，该多项式的系数列表是接收到的消息：

如果接收到的消息没有错误，则 ，因此 ：

如果接收到的消息在位置 包含一个错误，则 ，因此 ：

检查并更正收到的消息：

要对消息进行解码，需要计算 的系数列表：

当接收到的消息没有错误或有一个错误时，解码后的消息是正确的：

为任意质数幂 构造 个正交的 阶拉丁方阵. 阶拉丁方阵是一个 数组，其中每一行和每一列都包含恰好 个元素中的每个元素一次. 如果通过并置两个数组形成的 个数对都不同，则称这对拉丁方阵是正交的：

验证所有数组都是拉丁方阵：

验证所有数组对都是正交的：

如果 时，和 都是不同的，那么一个有限的整数集合 是一个西顿集合（Sidon set）. 对于质幂 ，在 中构造一个 个整数的西顿集合：

验证 是长度为 的西顿集合：

对于有 个字母的字母表，阶 的 de Bruijn 序列是字母表中 个字母的循环序列 ，使得 个字母的每个序列作为 的子序列恰好出现一次. 为一个有 个字母的字母表构造一个阶数为 的 de Bruijn 序列，取质幂 ：

验证对于一个有 个字母的字母表， 是阶数为 的 de Bruijn 序列：

如果 的所有项为 或 且 ，则 矩阵 是哈达玛（Hadamard）矩阵. 为任意素幂 构建一个阶数为 的哈达玛矩阵，其中 ：

实现高级加密标准（AES）算法中使用的 Rijndael S 盒步骤. 第一部分称为 Nyberg S 盒，使用 中的乘法逆：

第二部分涉及 上的仿射变换：

前向 S 盒由这两部分组成：

用十六进制符号计算前向 S 盒表：

定义逆 S 盒变换：

用十六进制符号计算逆 S 盒表：

验证逆 S 盒是正 S 盒的逆：

使用 2049 位素数实现 Diffie–Hellman 公钥密码系统：

查找域 的基元元素：

第一个用户选择一个私钥 ：

公钥由 、 和 组成：

第二个用户选择 ：

要发送 2048 位信息 ，第二个用户发送 和 ：

第一个用户可以通过计算 恢复 ：

实现数字签名方案. 固定一个质数 ，并找到 的基元 ：

选取一个秘密整数 ，并公布 、 和 ：

信息 的签名是一对 小于 并使得 的正整数. 计算签名需要知道秘密整数 ：

签名可通过公开信息进行验证：

为随机生成的信息计算签名：

验证签名：

具有特征 和扩张度 的有限域具有 个元素：

具有特征 的有限域的元素满足 ：

因此映射 是一个域自同构，称为 FrobeniusAutomorphism：

域生成器 是不可约域的根：

使用 FrobeniusAutomorphism 求 的剩余根：

使用 MinimalPolynomial 求有限域元素的最小多项式：

在 上的最小多项式：

的子域上具有 个元素的最小多项式：

具有 个元素的有限域的所有元素都是 的根：

实际上，：

在 上的 次不可约多项式在具有 个元素的域中有 个根：

使用 IrreduciblePolynomialQ 与 Modulusp 验证在 上的不可约性：

使用 Factor 与 Extensionℱ 验证 f 是 上线性因子的乘积：

使用 MultiplicativeOrder 求有限域元素的乘法阶：

使用 FiniteField[p,1] 在质数域 上计算：

与使用 Mod 获得的结果进行比较：

在 上的多项式计算：

与使用 Modulus 选项获得的结果进行比较：

使用 FromFiniteFieldIndex 来获取指定索引的域元素：

FiniteFieldIndex 给出了域元素的索引：