FunctionAnalytic

FunctionAnalytic[f,x]

が x∈Realsについて解析関数かどうかを調べる．

FunctionAnalytic[f,x,dom]

が x∈dom について解析関数かどうかを調べる．

FunctionAnalytic[{f1,f2,…},{x1,x2,…},dom]

が x1,x2,…∈dom について解析関数かどうかを調べる．

FunctionAnalytic[{funs,cons},xvars,dom]

が領域 dom 上で制約条件 cons の解を含む開集合内の xvars について解析関数かどうかを調べる．

詳細とオプション

  • 複素解析関数は正則関数としても知られている．
  • すべての y∈ℛ について が存在し，すべてのTemplateBox[{{x, -, y}}, Abs]<r(y)について であるような数列 が存在するなら，関数 は開集合 内で解析的である．
  • すべての について が存在し，すべてのTemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {y, _, 1}}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {y, _, n}}}, }}}, Norm]<r(y_1,...,y_n)について f(x_1,...,x_n)=sum_(k in TemplateBox[{}, NonNegativeIntegers]^n)a_k(y_1,...,y_n)(x_1-y_1)^(k_1) ... (x_n-y_n)^(k_n) であるような数列 が存在するなら，関数 は開集合 内で解析的である．
  • funs が xvars 以外のパラメータを含むなら，結果はたいていの場合はConditionalExpressionである．
  • dom の可能な値はRealsとComplexesで，デフォルトはRealsである．
  • dom がRealsなら，変数，パラメータ，定数，関数値はすべて実数値に限定される．
  • cons は不等式あるいはそれらの論理結合を含むことができる．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • Assumptions $Assumptionsパラメータについての仮定
    GenerateConditions Trueパラメータについての条件を生成するかどうか
    PerformanceGoal $PerformanceGoal速度と品質のどちらかを優先するか
  • 次は，GenerateConditionsの可能な設定である．
  • Automatic一般的ではない条件のみ
    Trueすべての条件
    False条件なし
    None条件が必要なときは未評価で返す
  • PerformanceGoalの可能な設定は"Speed"と"Quality"である．

例題

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例  (4)

実関数の解析性を調べる：

複素関数の解析性を調べる：

制限領域上で解析性を調べる：

多変量関数の解析性を調べる：

スコープ  (6)

一変量実関数：

一変量複素関数：

領域が制限された関数：

多変量実関数：

多変量複素関数：

記号パラメータを持つ関数：

オプション  (4)

Assumptions  (1)

FunctionAnalyticは，パラメータ の任意の値については答を見付けられない：

という仮定があると，FunctionAnalyticは成功する：

GenerateConditions  (2)

デフォルトで，FunctionAnalyticは記号パラメータについての条件を生成することがある：

GenerateConditions->Noneとすると，FunctionAnalyticは条件付きの結果を与えられずに失敗する：

次は，条件の下で有効な結果を条件を述べずに返す：

デフォルトで，すべての条件が報告される：

GenerateConditions->Automaticとすると，一般的に真である条件は報告されない：

PerformanceGoal  (1)

PerformanceGoalを使って潜在的に高くつく計算を避ける：

デフォルト設定は使用可能なすべてのテクニックを使って結果を出そうとする：

アプリケーション  (11)

解析関数のクラス  (6)

多項式は解析的である：

Sin，Cos，Expは解析的である：

これらの関数を可視化する：

これらの関数は複素平面上でも解析的である：

これらの関数を上で可視化する：

平面上で解析的な関数は整関数と呼ばれ，無限次多項式であると考えられる：

不連続関数は解析的ではない：

上記関数のいくつかを可視化する：

連続関数の中にも，実絶対値関数RealAbsのように解析的ではないものがある：

RealAbsの問題は原点における「ねじれ」である：

複素絶対値関数Absは複素平面上のどこを取っても解析的ではない：

この関数にはRealAbsとは別の，微分できる場所がないという問題がある：

解析関数 の逆関数は，であればあらゆるところで解析的である：

有理関数は，実数上で連続的なこともあれば連続的ではないこともある：

しかし，あらゆる非定常多項式が平面上で根を持つように，有理関数はTemplateBox[{}, Complexes]上では決して解析的ではない：

有理関数は，複素平面上の有理型関数のより大きいクラスのプロトタイプである：

複素平面上で関数を可視化すると に爆発があることが分かる：

CotとCscはSinとCosの有理関数なので，正弦が非零のときは解析的である：

これらの関数を正弦関数とともに可視化する：

正弦関数の唯一の零点は実軸上にあるので，CotとCscは の倍数上を除いて解析的である：

同様に，TanとSecは余弦関数が非零のときは連続的である：

これと同じ原理が双曲線三角関数のCothとCschにも当てはまる：

同様に，TanhとSechにも当てはまる：

しかし，CoshとSinhの零点は虚軸上にあるので，TemplateBox[{}, Complexes]の上での解析性についてはより多くを除外しなければならない：

双曲線関数のプロットは，同じ量の位相シフトを伴う の回転である：

解析関数の合成関数は解析的である：

多変量多項式は実数と複素数上で解析的である：

あらゆる関数の多変量多項式についてもそうである：

多変量有理関数は，実数上で解析的なことも解析的ではないこともある：

複素数上では常に非解析的である：

一変量解析関数と合成することで，他にも多くの解析関数を生成することができる：

解析関数を可視化する：

微積分  (5)

解析関数はベキ級数で表すことができる：

この場合は，総和が のあらゆる値について収束する：

次の関数について考える：

これは，半径5の開いた円板上で解析的である：

したがって，これは，円板上の任意の点，例えば についてのベキ級数で表すことができる：

しかし，この総和は のすべての値について収束する訳ではない：

の値を領域外の値で置換すると発散和になる：

この関数を解析性と収束の領域とともに可視化する：

閉じた輪郭線の周りでの解析関数の積分はゼロである：

次の積分は非零である．したがって，Logは解析的ではない：

関数と閉じた輪郭線を可視化する：

と が複素平面上の領域 で解析的であれば， は単純零点だけを持ち， は非零である． の零点上の総和は として計算できる．について考える：

この関数は半径4の円板上で解析的である：

とする．これは半径4の円板上で解析的かつ非零である：

関数 は円板内の と に2つの単純根を持つ：

したがって，総和は簡単に計算できる：

積分は同じ答を与える：

解析的係数を持つ微分方程式は，ほとんどの点で解析的な解を持つ．そのため，級数解が実行可能なアプローチとなる．次の微分方程式について考える：

この方程式には閉じた形の解はない：

しかし，係数はすべて解析的である：

したがって，AsymptoticDSolveValueを使って級数解が求まる：

関数 は連続的である：

しかし，その一次導関数は連続的ではない：

したがって， は解析的ではない：

は滑らかにゼロに近付くが，その導関数は原点で激しく振動する：

とその一次導関数を可視化する：

特性と関係  (7)

解析関数は何回でも微分することができる：

Dを使って導関数を計算する：

解析関数は領域の各点でテイラー(Taylor)級数で表すことができる：

Seriesを使ってテイラー級数の初項を計算する：

結果の多項式は近くで を近似する：

解析関数の零点は領域内に集積点を持たない：

の零点はに集積点を持つ：

は連続的ではあるが解析的ではない：

領域からを除外すれば は解析的になる：

解析関数は閉じた有界領域では有限個の零点しか持てない：

Solveを使って単位円板上の の根を求める：

FunctionContinuousを使って関数が連続的かどうかをチェックする：

連続関数は解析的ではないかもしれない：

解析関数は連続的である：

FunctionMeromorphicを使って関数が有理型かどうかをチェックする：

有理型関数は複素解析的ではないかもしれない：

複素解析関数の商は有理型である：

解析関数の留数の和は0である：

ResidueSumを使ってこの特性を確認する：

考えられる問題  (3)

関数が解析的となるためには，あらゆるところで定義される必要がある：

関数が実領域上で解析的であるためには，その関数は実数値でなければならない：

点が の実領域に属すためには， の全部分式が実数値でなければならない：

負の実数は，が実数値ではないのでの実領域には属さない：

は のすべての実数値について実数値である：

Wolfram Research (2020), FunctionAnalytic, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionAnalytic.html.

テキスト

Wolfram Research (2020), FunctionAnalytic, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionAnalytic.html.

CMS

Wolfram Language. 2020. "FunctionAnalytic." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionAnalytic.html.

APA

Wolfram Language. (2020). FunctionAnalytic. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionAnalytic.html

BibTeX

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BibLaTeX

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