FunctionAnalytic

FunctionAnalytic[f,x]

测试 x∈Reals 的情况下， 是否是解析函数.

FunctionAnalytic[f,x,dom]

测试 x∈dom 的情况下， 是否是解析函数.

FunctionAnalytic[{f1,f2,…},{x1,x2,…},dom]

测试 x1,x2,…∈dom 的情况下， 是否是解析函数.

FunctionAnalytic[{funs,cons},xvars,dom]

如果 xvars 属于开集（该开集含有约束条件 cons 在域 dom 上的解），测试 是否是解析函数.

更多信息和选项

  • 复解析函数亦被称为全纯函数.
  • 如果对于所有的 y∈ℛ，存在一个 和一个序列 ，使得对于所有的 TemplateBox[{{x, -, y}}, Abs]<r(y)，有 ，则称函数 是开集 上的解析函数.
  • 如果对于所有的 ，存在 和序列 ，使得对于所有的 TemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {y, _, 1}}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {y, _, n}}}, }}}, Norm]<r(y_1,...,y_n)，有 f(x_1,...,x_n)=sum_(k in TemplateBox[{}, NonNegativeIntegers]^n)a_k(y_1,...,y_n)(x_1-y_1)^(k_1) ... (x_n-y_n)^(k_n) ，则称函数 是开集 上的解析函数.
  • 如果 funs 含有除 xvars 之外的参数，则结果通常为 ConditionalExpression.
  • dom 的可能的值为 Reals 和 Complexes. 默认值为 Reals.
  • 如果 dom 为 Reals，则所有变量、参数、常数和函数值都必须为实数.
  • cons 可以包含不等式或不等式的逻辑组合.
  • 可给出以下选项：
  • Assumptions $Assumptions对参数的设定
    GenerateConditions True是否生成关于参数的条件
    PerformanceGoal $PerformanceGoal优先考虑速度还是质量
  • GenerateConditions 的可能的设置包括：
  • Automatic只给出非通用条件
    True所有条件
    False不给出条件
    None如果需要条件则不经计算直接返回
  • PerformanceGoal 的可能设置为 "Speed" 和 "Quality".

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)

测试实函数是否为解析函数：

测试复变函数是否为解析函数：

在受限定义域上测试解析性：

测试多变量函数的解析性：

范围  (6)

实单变量函数：

复单变量函数：

具有受限定义域的函数：

实多变量函数：

复多变量函数：

含有符号参数的函数：

选项  (4)

Assumptions  (1)

FunctionAnalytic 无法针对参数 的任意值给出答案：

如果假设 ，FunctionAnalytic 则可以给出答案：

GenerateConditions  (2)

默认情况下，FunctionAnalytic 可能会对符号参数生成条件：

如果设置 GenerateConditions->None，FunctionAnalytic 会失败，而不是给出有条件的结果：

下面返回有条件的有效结果，但没有给出条件：

默认情况下，报告所有的条件：

如果设置 GenerateConditions->Automatic，不报告通常为真的条件：

PerformanceGoal  (1)

用 PerformanceGoal 避免潜在的费时计算：

默认设置则尝试利用所有可用的技术来给出结果：

应用  (11)

解析函数的类别  (6)

多项式是解析的：

Sin、Cos 和 Exp 是解析函数：

可视化这些函数：

这些函数在复平面上也是解析的：

在 上可视化这些函数：

在复平面上解析的函数被称为整函数，可将其视为无穷次数的多项式：

不连续的函数都不是解析函数：

可视化上面的一些函数：

有效连续函数也不是解析的，如实绝对值函数 RealAbs：

RealAbs 的问题是原点处的 "kink"：

复绝对值函数 Abs 在复平面上处处不解析：

它与 RealAbs 的问题不一样，即处处不可微：

解析函数 的倒数在 处是解析的：

因此，有理函数在实数上可能是连续的也可能不是连续的：

但是，由于每个非常数多项式都在复平面中有一个根，因此有理函数永远不会在 TemplateBox[{}, Complexes] 上解析：

相反，有理函数是复平面上很多类别的亚纯函数的原型：

在复平面上可视化该函数，显示 处的 blowup：

因为 Cot 和 Csc 是 Sin 和 Cos 的有理函数，因此当正弦值不为零时，它们是解析的：

可视化这些函数与正弦函数：

因为正弦函数的零点在实轴上，这意味着 Cot 和 Csc 在 的倍数之外的地方是解析的：

同样，Tan 和 Sec 在余弦非零的地方是解析的：

同样的原理也适用于双曲三角函数 Coth 和 Csch：

以及 Tanh 和 Sech：

但是，由于 Cosh 和 Sinh 的零点位于虚轴上，在 TemplateBox[{}, Complexes] 上解析则需去除更多的点：

双曲函数的图只是旋转 ， 并具有相同的相移：

解析函数的复合函数是解析函数：

多元多项式在实平面和复平面上解析：

整函数中的多元多项式也是如此：

有理多元函数在实数上可能解析，也可能不解析：

在复数上则总是不解析：

通过与解析单变量函数复合，可以生成更多解析函数：

可视化解析函数：

微积分  (5)

可以用幂级数表示解析函数：

此处，对于所有的 值，和收敛：

考虑以下函数：

它在半径为 5 的开圆盘上解析：

因此，它可以表示为圆盘上任何点的幂级数，如 ：

但是，对于所有的 值，和不收敛：

将 的值替换为该范围之外的值将得出发散的和：

可视化函数，并显示解析和收敛的域：

解析函数沿闭合路径的积分为零：

以下积分不为零，因此 Log 不是解析函数：

可视化函数和闭合路径：

如果 和 在复平面内的区域 上解析， 只有简单零点， 非零，则可用 计算 的零点上的和. 考虑 的情况：

该函数在半径为 4 的圆盘上解析：

令 . 在半径为 4 的圆盘上解析但不为零：

函数 在圆盘上有两个单根，在 和 处：

因此，和很容易计算：

积分给出同样的答案：

具有解析系数的微分方程有在大多数点上都解析的解，这使得级数解成为可行的求解方法. 考虑以下微分方程：

该方程没有解析解：

但是，所有的系数都是解析的：

因此，可用 AsymptoticDSolveValue 求得级数解：

函数 是连续的：

但是，一阶导数不连续：

因此 不解析：

当 平稳地趋于零时，其导数则在原点处剧烈振荡：

可视化 及其一阶导数：

属性和关系  (7)

解析函数任意次可微：

用 D 计算导数：

解析函数可以在其定义域的每个点上表示为泰勒级数：

用 Series 计算泰勒级数的初项：

所得多项式在 附近近似于 ：

解析函数的零点在定义域中不能有聚点：

的零点在 处有一个聚点：

连续，但不解析：

如果将 从定义域中去除，则 解析：

解析函数在一个封闭且有界的区域中只能有有限多个零点：

用 Solve 求 在单位圆盘内的根：

用 FunctionContinuous 查看函数是否是连续的：

连续函数不一定是解析的：

解析函数是连续函数：

用 FunctionMeromorphic 查看函数是否是亚纯的：

亚纯函数不一定是复解析的：

复解析函数的商是亚纯函数：

解析函数的残差之和为零：

使用 ResidueSum 验证这一属性：

可能存在的问题  (3)

函数必须处处有定义才可以是解析的：

一个函数必须为实值才能在实域上解析：

的所有子表达式必须是实值，该点才属于 的实定义域：

负实数不属于 的实定义域，因为 的值不是实数：

对于所有实的 值， 的值为实数：

Wolfram Research (2020)，FunctionAnalytic，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionAnalytic.html.

文本

Wolfram Research (2020)，FunctionAnalytic，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionAnalytic.html.

CMS

Wolfram 语言. 2020. "FunctionAnalytic." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionAnalytic.html.

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Wolfram 语言. (2020). FunctionAnalytic. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionAnalytic.html 年

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