WOLFRAM

Wolfram言語 ＆ システムドキュメントセンター

Gudermannian[z]

グーデルマン(Gudermann)関数を与える．

詳細
Details and Options Details and Options
例題  
例  
スコープ  
数値評価  
特定の値  
可視化  
Show More Show More
関数の特性  
微分  
積分  
級数展開  
関数表現  
アプリケーション  
特性と関係  
関連項目
関連するガイド
関連リンク
履歴
引用書式

Gudermannian

Gudermannian[z]

グーデルマン(Gudermann)関数を与える．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • グーデルマン関数は，一般に，で定義される．
  • Gudermannian[z]は，関数が右側から連続的な から までの複素 平面上に整数 についての分枝切断線を持つ．
  • Gudermannianは任意の数値精度で評価できる．
  • Gudermannianは自動的にリストに縫い込まれる． »
  • GudermannianはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

すべて開く すべて閉じる

例  (4)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: Gudermannian[4.2]

実数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Gudermannian[x], {x, -10, 10}]

複素数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[Gudermannian[z], {z, -2 - 2I π, 2 + 2I π}, PlotLegends -> Automatic]

原点における級数展開：

Wolfram Language code: Series[Gudermannian[x], {x, 0, 5}]

スコープ  (38)

数値評価  (6)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: Gudermannian[4.6]

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[Gudermannian[4 / 3], 50]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: Gudermannian[1.11111111111111111111111]

複素数入力：

Wolfram Language code: N[Gudermannian[I Pi + 5]]

高精度で効率よく評価する：

Wolfram Language code: Gudermannian[29.`100]//Timing
Wolfram Language code: Gudermannian[58.`10000];//Timing

自動縫込みを使って配列の要素ごとの値を計算する：

Wolfram Language code: Gudermannian[{{.1, -.1}, {0, .2}}]

MatrixFunctionを使って行列のGudermannian関数を計算することもできる：

Wolfram Language code: MatrixFunction[Gudermannian[#]&, {{.1, -.1}, {0, .2}}]

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Wolfram Language code: Gudermannian[Interval[{1.4, 1.5}]]
Wolfram Language code: Gudermannian[CenteredInterval[1, 1 / 100]]

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

Wolfram Language code: Gudermannian[Around[3, 0.01]]

特定の値  (3)

ゼロにおける値：

Wolfram Language code: Gudermannian[0]

無限大における値：

Wolfram Language code: Gudermannian[Infinity]
Wolfram Language code: Gudermannian[-Infinity]

となるような の値をSolveを使って求める：

Wolfram Language code: Solve[Gudermannian[x] == 0.8, x, Reals]//Quiet

結果を代入する：

Wolfram Language code: xval = x /. First[%]

結果を可視化する：

Wolfram Language code: Plot[Gudermannian[x], {x, -10, 10}, Epilog -> Style[Point[{xval, Gudermannian[xval]}], PointSize[Large], Red]]

可視化  (3)

Gudermannian関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Gudermannian[x], {x, -7, 7}]

Gudermannian[z]の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[Gudermannian[z]], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

Gudermannian[z]の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[Gudermannian[z]], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

による極プロット：

Wolfram Language code: Table[PolarPlot[Gudermannian[k ϕ], {ϕ, -5π, 5π}, Frame -> True, FrameTicks -> {{{-1, 0, 1}, None}, {{-1, 0, 1}, None}}, PlotLabel -> "k=" <> ToString[k], PlotRange -> All], {k, 1, 4}]

関数の特性  (11)

Gudermannianは，すべての実数値について定義される：

Wolfram Language code: FunctionDomain[Gudermannian[x], x]

Gudermannianは，分岐点を除くすべての複素値について定義される：

Wolfram Language code: FunctionDomain[Gudermannian[z], z, Complexes]

実数範囲：

Wolfram Language code: FunctionRange[Gudermannian[x], x, y]

Gudermannianは鏡特性 gd(TemplateBox[{z}, Conjugate])=TemplateBox[{{gd, (, z, )}}, Conjugate]を持つ：

Wolfram Language code: FullSimplify[Gudermannian[Conjugate[z]] == Conjugate[Gudermannian[z]]]

Gudermannianは奇関数である：

Wolfram Language code: Gudermannian[-z]

は実数 について の解析関数である：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[Gudermannian[x], x]

複素平面では解析的でも有理型でもない：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[Gudermannian[x], x, Complexes]
Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[Gudermannian[x], x]

Gudermannianは非減少である：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Gudermannian[x], x]

Gudermannianは単射である：

Wolfram Language code: FunctionInjective[Gudermannian[x], x]
Wolfram Language code: Plot[{Gudermannian[x], 1}, {x, -10, 10}]

全射ではない：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[Gudermannian[x], x]
Wolfram Language code: Plot[{Gudermannian[x], 2}, {x, -10, 10}]

Gudermannianは非負でも非正でもない：

Wolfram Language code: FunctionSign[Gudermannian[x], x]

Gudermannianは特異点も不連続点も持たない：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[Gudermannian[x], x]
Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[Gudermannian[x], x]

Gudermannianは凸でも凹でもない：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[Gudermannian[x], x]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: Gudermannian[x]//TraditionalForm

微分  (3)

z についての一次導関数：

Wolfram Language code: D[Gudermannian[z], z]

z についての高次導関数：

Wolfram Language code: Table[D[Gudermannian[z], {z, k}], {k, 1, 3}]//FullSimplify

z についての高次導関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[%, {z, -3, 3}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative"}]

z についての k 次導関数の式：

Wolfram Language code: D[Gudermannian[z], {z, k}]// FullSimplify

積分  (4)

Integrateを使って不定積分を計算する：

Wolfram Language code: Integrate[Gudermannian[x], x]

不定積分を確かめる：

Wolfram Language code: FullSimplify[D[%, x] == Gudermannian[x], x∈Reals]

定積分：

Wolfram Language code: Integrate[Gudermannian[x], {x, 0, 5}]

1周期に渡るGudermannianの定積分は0である：

Wolfram Language code: Integrate[Gudermannian[x], {x, -4, 4}]

その他の積分例：

Wolfram Language code: Integrate[Exp[x] Gudermannian[x], x]//FullSimplify
Wolfram Language code: Integrate[ x Gudermannian[x^2], {x, 0, 3}]//FullSimplify

級数展開  (4)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

Wolfram Language code: Series[Gudermannian[x], {x, 0, 7}]

周りの最初の3つの近似のプロット：

Wolfram Language code: terms = Normal@Table[Series[Gudermannian[x], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}]; Plot[{Gudermannian[x], terms}, {x, 0, 10}, PlotRange -> {{0, 3}, {0, 3}}]

一次フーリエ(Fourier)級数：

Wolfram Language code: FourierSeries[Gudermannian[x], x, 1]

生成点におけるテイラー(Taylor)展開：

Wolfram Language code: Series[Gudermannian[x], {x, x0, 2}]// FullSimplify

Gudermannianはベキ級数に適用できる：

Wolfram Language code: Gudermannian[x + O[x] ^ 4]

関数表現  (4)

Gudermannianは，実数直線上にExpとArcTanによって表すことができる：

Wolfram Language code: FullSimplify[Gudermannian[x] == 2 ArcTan[Exp[x]] - (π/2), x∈Reals]

実数直線上の積分としての表現：

Wolfram Language code: Integrate[(1/Cosh[t]), {t, 0, x}, Assumptions -> x > 0]

Gudermannianは奇関数なので，負の についても同じ結果が得られる：

Wolfram Language code: Integrate[(1/Cosh[t]), {t, 0, x}, Assumptions -> x < 0]

Gudermannianは，虚軸から離れてTanhとArcTanによって表すことができる：

Wolfram Language code: FullSimplify[Gudermannian[x] == 2ArcTan[Tanh[x / 2]], Re[x] > 0]
Wolfram Language code: FullSimplify[Gudermannian[x] == 2ArcTan[Tanh[x / 2]], Re[x] < 0]

この表現は，各分枝切断線の原点から離れた方の半平面上では無効である：

Wolfram Language code: Gudermannian[x] == 2ArcTan[Tanh[x / 2]] /. x -> 3.2I

Piecewiseを使ってグーデルマン関数を表す：

Wolfram Language code: FunctionExpand[Gudermannian[x]]

この表現は，分枝切断線を含むすべての点で正しい：

Wolfram Language code: % == Gudermannian[x] /. x -> 3.2 I

アプリケーション  (3)

振子方程式の非周期解：

Wolfram Language code: θ[t_] := 2 Gudermannian[t]
Wolfram Language code: y''[t] + Sin[y[t]] /. y -> θ//FullSimplify

グーデルマン関数を不均一項として使って微分方程式を解く：

Wolfram Language code: DSolve[y'[x] + y[x] + Gudermannian[x] == 0, y[x], x]

双曲線正割の標準分布の累積分布関数(CDF)はグーデルマン関数のスケールされてシフトされたものである：

Wolfram Language code: F[x] := (2 / π) ArcTan[Exp[π x / 2]]
Wolfram Language code: FullSimplify[2 / π ArcTan[Exp[π x / 2]] == 1 / 2 + (1 / π)Gudermannian[(π x/2)], x∈Reals]

特性と関係  (2)

FunctionExpandを使って，Gudermannianを初等関数によって展開する：

Wolfram Language code: Gudermannian[x]//FunctionExpand
Wolfram Language code: Sin[Gudermannian[x]]//FunctionExpand

FullSimplifyを使ってグーデルマン関数を含む恒等式を証明する：

Wolfram Language code: FullSimplify[ArcTan[Sinh[x]], x∈Reals]
Wolfram Research (2008), Gudermannian, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Gudermannian.html （2020年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2008), Gudermannian, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Gudermannian.html （2020年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2008. "Gudermannian." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/Gudermannian.html.

APA

Wolfram Language. (2008). Gudermannian. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Gudermannian.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_gudermannian, author="Wolfram Research", title="{Gudermannian}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Gudermannian.html}", note=[Accessed: 11-November-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_gudermannian, organization={Wolfram Research}, title={Gudermannian}, year={2020}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Gudermannian.html}, note=[Accessed: 11-November-2026]}