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HarmonicNumber

HarmonicNumber[n]

给出第 n 个调和数 .

HarmonicNumber[n,r]

给出 r 阶调和数 .

更多信息

数学函数，同时适合符号和数值运算.
对于正整数 n，谐波数由 $TemplateBox[{n, r}, HarmonicNumber2]=sum_(i=1)^(n)1/i^r$ 给出，其中 .
对于任意 n 和 r≠1，的数值由 Zeta[r]-HurwitzZeta[r,n+1] 给出.
HarmonicNumber 可求值到任意数值精度.
HarmonicNumber 自动逐项作用于列表.
HarmonicNumber 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例 (7)

前十个调和数：

在整数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在原点的级数展开：

在 Infinity 的级数展开：

在奇点处的级数展开式：

对涉及调和数的表达式求和：

范围 (35)

数值计算 (6)

数值化计算：

高精度计算：

输出的精度与输入的精度一致：

复数输入：

高精度的高效计算：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 HarmonicNumber 函数：

特殊值 (5)

符号 a 的 HarmonicNumber[n,a]:

符号 n 的 HarmonicNumber[n,a]:

零处的值：

求当 HarmonicNumber[n]=1.5 时， n 的值：

用初等函数表示分数参数的谐波数：

可视化 (3)

绘制 HarmonicNumber 的函数：

绘制各阶 HarmonicNumber 函数：

绘制 HarmonicNumber 实部：

绘制 HarmonicNumber 虚部：

函数属性 (11)

HarmonicNumber 的实域：

复数域：

HarmonicNumber 的实域：

HarmonicNumber 以元素方式线性作用（threads over）于列表和数组：

HarmonicNumber 不是解析函数：

但是，它是亚纯函数：

HarmonicNumber 既不是非递增，也不是非递减：

HarmonicNumber 不是单射函数：

HarmonicNumber 是满射函数：

HarmonicNumber 既不是非负，也不是非正：

HarmonicNumber 对负整数而言有奇点和断点：

HarmonicNumber 既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式化：

微分 (3)

关于 n 的一阶导：

关于 n 的高阶导：

绘制关于 n 的高阶导：

关于 n 的阶导数的公式：

积分 (3)

使用 Integrate 计算不定积分：

验证反导数：

定积分：

更多积分：

级数展开 (2)

使用 Series 求泰勒展开：

绘制附近的前三个近似：

使用 SeriesCoefficient 进行级数展开的一般项：

函数恒等与简化 (2)

HarmonicNumber 的定义恒等式：

递推恒等：

推广和延伸 (5)

调和数 (2)

在无穷远处的级数展开：

HarmonicNumber 可应用于幂级数：

r 阶调和数 (3)

对精确参数求值：

在任意点处的级数展开：

在无穷远处的级数展开：

应用 (5)

快速排序的平均比较次数：

在复平面上绘制：

最大伸出量的图书堆栈：

经过 x 次运算选择后，从 n 个候选中选出最佳候选 [更多信息]：

计算 n=100：

与候选数量的函数关系图：

用 HarmonicNumber 表示的 StirlingS1 有限和：

以 HarmonicNumber 表示的带有 StirlingS2 的有限和：

属性和关系 (10)

HarmonicNumber 可用 PolyGamma 表示：

HarmonicNumber 可用 Zeta 和 HurwitzZeta 表示：

用 FullSimplify 化简包含调和数的表达式：

展开成简单函数：

求和：

从求和及积分中产生：

HarmonicNumber 可被表示为 DifferenceRoot:

HarmonicNumber 级数展开式中的一般项：

HarmonicNumber 的普通生成函数：

HarmonicNumber 的指数母函数：

可能存在的问题 (3)

大的参数给出的结果可能太大，以致于不能显式计算：

机器数输入可能给出高精度结果：

结果通常由 PolyGamma 而非 HarmonicNumber 来表示：

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