HurwitzZeta

HurwitzZeta[s,a]

给出了赫尔维茨（Hurwitz）zeta 函数 TemplateBox[{s, a}, HurwitzZeta].

更多信息

  • 数学函数，同时适合符号和数值运算.
  • 赫尔维茨 zeta 函数被定义为 TemplateBox[{s, a}, HurwitzZeta]=sum_(k=0)^(infty)(k+a)^(-s) 的解析延拓.
  • HurwitzZeta 在 时恒等于 Zeta.
  • 与 Zeta 不同，对于所有非负整数 ，HurwitzZeta 在 处有奇点.
  • HurwitzZeta 在复 平面有从 到 的不连续分支切割.
  • 对某些特定参数，HurwitzZeta 会自动运算出精确值.
  • HurwitzZeta 可计算到任意数值精度.
  • HurwitzZeta 自动逐项作用于列表.

范例

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基本范例  (6)

数值化计算：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在原点的级数展开：

在 Infinity 的级数展开：

在奇点处的级数展开式：

范围  (35)

数值计算  (6)

数值化计算：

高精度计算：

输出的精度与输入的精度一致：

复数输入：

高精度的高效计算：

用 Around 计算一般情况下的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 HurwitzZeta 函数：

特殊值  (5)

自动产生简化的精确值：

符号 a 的 HurwitzZeta[s,a]:

符号 s 的 HurwitzZeta[s,a]:

零处的值：

求当 HurwitzZeta[s,1]=1.05 时， s 的值：

可视化  (3)

绘制 HurwitzZeta 作为参数 s 的函数：

绘制各阶 HurwitzZeta 函数：

绘制函数 HurwitzZeta 的实部：

绘制 HurwitzZeta 函数的虚部：

函数属性  (11)

TemplateBox[{x, a}, HurwitzZeta] 的实域：

对于正数 ，这就是 ：

对于负整数 ，定义域就是负整数：

复数域：

对于正数 ，这也是 ：

TemplateBox[{x, 3}, HurwitzZeta] 的近似函数范围：

HurwitzZeta 按元素线性作用于列表：

HurwitzZeta 不是解析函数：

也不是亚纯函数：

TemplateBox[{x, 3}, HurwitzZeta] 既不是非递增，也不是非递减：

TemplateBox[{x, 3}, HurwitzZeta] 不是单射函数：

TemplateBox[{3, a}, HurwitzZeta] 是满射函数：

TemplateBox[{4, a}, HurwitzZeta] 不是满射函数：

TemplateBox[{x, 3}, HurwitzZeta] 既不是非负，也不是非正：

对于负整数而言，TemplateBox[{2, a}, HurwitzZeta] 有奇点和断点：

TemplateBox[{x, 3}, HurwitzZeta] 既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式化：

微分  (3)

关于 a 的一阶导：

关于 a 的高阶导：

绘制关于 a when s=3 的高阶导：

关于 a 的 阶导数的公式：

积分  (3)

使用 Integrate 计算不定积分：

验证反导数：

定积分：

更多积分：

级数展开  (2)

使用 Series 求泰勒展开：

绘制 附近的前三个近似：

普通点的泰勒展开：

函数恒等与简化  (2)

通过恒等定义 HurwitzZeta：

递推恒等：

应用  (1)

文本中的字数服从 Zipf 分布：

将 ZipfDistribution 拟合到词频数据：

使用 rhohat 作为起始值，将截断的 ZipfDistribution 拟合于最多50个计数：

可视化截断值之前的累积分布函数：


计算未包括在截断模型中的原始数据的比例：

属性和关系  (2)

HurwitzZeta 可以通过符号求解得到：

对于 ，二元 Zeta 与 HurwitzZeta 一致：

可能存在的问题  (2)

HurwitzZeta 和 Zeta 的二元参数形式的区别在于选择了不同的分支切割：

和 Zeta 不同，HurwitzZeta 包含奇异项：

巧妙范例  (1)

HurwitzZeta 函数的 ComplexPlot，作为 的 的函数：

Wolfram Research (2008)，HurwitzZeta，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/HurwitzZeta.html.

文本

Wolfram Research (2008)，HurwitzZeta，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/HurwitzZeta.html.

CMS

Wolfram 语言. 2008. "HurwitzZeta." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/HurwitzZeta.html.

APA

Wolfram 语言. (2008). HurwitzZeta. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/HurwitzZeta.html 年

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