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IndefiniteMatrixQ

IndefiniteMatrixQ[m]

m が明示的に不定値行列の場合はTrueを，その他の場合はFalseを返す．

詳細とオプション

行列 m は，Re[Conjugate[x].m.x]が正負両方の値に達する場合は不定値行列である．
IndefiniteMatrixQは，記号行列にも数値行列と同様に使うことができる．
近似行列については，オプションTolerance->t を使って，λ≤t λ_maxを満足するすべての固有値 λ が0であると考えられることを示すことができる．ただし，λ_maxは最も大きい固有値である．
オプションToleranceのデフォルト値はAutomaticである．

例題

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例 (2)

この行列が明示的に不定値行列かどうかを調べる：

二次形は，の異なるベクトルについて，正の値と負の値を持つ：

3×3エルミート(Hermite)行列が不定行列かどうかを調べる：

スコープ (10)

基本的な用法 (6)

機械精度の実行列が明示的に不定ギョルエツかどうかを調べる：

複素行列が不定行列かどうかを調べる：

厳密行列が不定行列かどうかを調べる：

IndefiniteMatrixQを任意精度行列に使う：

ランダム行列は，一般に，不定行列である：

IndefiniteMatrixQを記号行列に使う：

のとき，この行列は不定値行列になる：

IndefiniteMatrixQは大きい数値行列に効率的に働く：

特殊行列 (4)

IndefiniteMatrixQを疎な行列に使う：

IndefiniteMatrixQを構造化行列に使う：

恒等行列は不定値行列ではない：

HilbertMatrixは不定値行列ではない：

オプション (1)

Tolerance (1)

次数のランダムな摂動がある，実数値対角行列を生成する：

次数の要素が丸め誤差であるなら，この行列は誤って不定値行列とみなされたことになる：

オプションToleranceを調整して正しい答を得る：

アプリケーション (16)

半正定値行列の幾何と代数 (6)

2×2実不定値行列とその二次実随伴行列について考える：

は不定値行列なので，レベル集合は双曲線である：

0に対応する等高線は双曲線の共有された漸近線を与える：

のプロットは正負両方の値を持つ鞍の形をした双曲線放物面である：

実数については，不定値行列のレベル集合は -双曲面である：

一般に，レベル集合は一葉双曲面と二葉双曲面の両方を含む：

この2つのタイプの双曲面はにおける漸近的二重円錐によって分離される：

三次元では，これらは双曲面上で円柱に縮退される可能性がある：

エルミート行列はによって実数値の二次形式を定義する：

が不定値行列ならは正負両方の値に達する：

を実数値入力について可視化する：

実数値行列が不定値行列かどうかを決定するのは対称部分のみである．を対称，を反対称としてを書く：

は実数かつ対称，つまりは純粋に実である：

同様には実数かつ反対称，つまりは純粋に虚である：

なのではが以下のときかつそのときに限り不定値行列である：

複素行列が不定値行列かどうかを決めるのはエルミート部分のみである．をエルミート部分，を反エルミート部分としてを書く：

はエルミート部分なので，つまりは純粋に実である：

同様には反エルミート部分なのでつまりは純粋に虚である：

したがって，なのではが以下のときかつそのときに限り不定値行列である：

定義により，が正負両方の値に達するなら行列は不定値行列である：

このことはが両方の符号に達することを必ずしも意味しない点に注意のこと：

この特定の行列については，とのどちらも正の値に達する：

しかし，負の値に達するのはのみである：

不定値行列の起源 (6)

Pauli行列は不定値行列である：

FourierMatrix[k]はのとき不定値行列である：

ToeplitzMatrix[k]はのとき不定値行列である：

Redheffer行列は0と1からなる不定値行列である：

CrossMatrix[k]を含む多くのフィルタカーネル行列は不定値行列である：

DiamondMatrix[k]：

のときのDiskMatrix[k]：

DiskMatrix[1]は半正定値行列である：

ランダムに生成された行列は不定値行列となる傾向がある．行列が不定値行列となる確率は行列の次元が大きくなるにつれて急速に大きくなる．次の入力は，行列（から）が不定値行列になる確率を推定する．まず，成分が区間から独立で一様に取り出される行列である：

GaussianOrthogonalMatrixDistributionから取り出される行列：

GaussianUnitaryMatrixDistributionから取り出される行列：

CircularRealMatrixDistributionから取り出される行列：

不定値行列を使う (4)

二次微分テストは，関数の臨界点を，ヘッセ行列が正定値行列のときは極小値，ヘッセ行列が負定値行列のときは極大値，ヘッセ行列が不定値行列のときは鞍点として分類する（このテストはヘッセ行列がこれらのどのタイプでもない場合は失敗する）．2変数関数の臨界点を求める：

ヘッセ行列を計算する：

3つの臨界点の最後のものは鞍点である：

最初の2つは極小値である：

この関数を可視化する．赤と青の点は極小値で緑の点は鞍点である：

3変数関数の臨界点を求める：

f のヘッセ行列を計算する：

最初の2つの臨界点は極小値である：

最後の3つは鞍点である：

この関数は，臨界点のうち任意の3点が線形依存しているので，これらはすべて単一の平面上にある：

この平面の法線を計算する：

極小値を緑，非極小値の臨界点を赤にして，この関数を可視化する：

三次元回転行列の約半分は不定値行列である．このことは，回転軸と平行なベクトルは回転によって変化せず，軸に垂直なベクトルはよりも回転されることから理解できる．前者については $x.r.x=TemplateBox[{x}, Norm]^2>0$ ，後者についてはである．まず，のランダムな回転行列を生成する：

約半分は，実際に不定値行列である：

ランダムに選択した1つの不定値行列のシューア(Schur)分解を計算する：

行列はがによって表現される基底を定義する：

標準的な単位ベクトル上のの動作では，片方は変化せずもう片方はよりも回転される：

時空つまり擬リーマン計量は，何らかの三次元部分空間に限定された場合は正定値行列になる不可逆な実対称不定値行列である．これは，関連する二次形式を介して時空における事象間の二乗距離の概念を与える．標準計量あるいはMinkowski計量が時空計量であることを示す：

の2番目から4番目の標準基底要素への制限は正定値行列である：

事象は正の二乗距離によって原点から隔てられているが，これは空間的な分離として知られるものである：

したがって，これらの事象はある参照フレームで同時に発生し，そのフレームにおける距離は次のようになる：

事象は原点から負の二乗距離によって隔てられているが，これも空間的な分離として知られるものである：

これらはある参照フレームの同じ点に発生する．片方はもう片方に続いて固有時である：

事象は原点からゼロ平方距離あるいは光のような分離によって隔てられている．どちらの事象にも到達するのは光だけである：

特性と関係 (9)

IndefiniteMatrixQ[x]は行列ではない x に対しては自明にFalseを返す：

が正負両方の値に達するなら行列は不定値行列である：

これはが両方の符号に達することを必ずしも意味しない点に注意のこと：

実行列はその対称部分が不定値行列のときかつそのときに限り不定値行列である：

一般に，行列はそのエルミート部分が不定値行列のときかつそのときに限り不定値行列である：

実対称行列は正負両方の固有値を持つときかつそのときに限り不定値行列である：

この文はより一般的にエルミート行列についても真である：

一般的な行列は，両方の符号の固有値を持たなければ不定値行列ではない：

両方の固有値が正であるが，二次形式を負にする非固有ベクトルがある：

対角行列は対角要素に正負両方の実部があるときかつそのときに限り不定値行列である：

不定値行列は一般形式を持つ．対角はで識別される：

をエルミート部分と反エルミート部分に分割する：

スペクトル定理により，はJordanDecompositionを使ってユニタリ対角化可能である：

行列は正負の対角成分を持つ対角行列である：

行列はユニタリ行列である：

であることを確認する：

不定値行列は半正定値行列でも半負定値行列でもない：

行列はも不定値行列であるときかつそのときに限り不定値行列である：

考えられる問題 (1)

IndefiniteMatrixQは，記号行列が不定行列であると証明できなければFalseを与える：

EigenvaluesとReduceを組み合せるとより正確な結果が得られる：

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