Wolfram 语言与系统参考资料中心

IndefiniteMatrixQ

当 m 一定是不定矩阵时，返回 True，否则给出 False.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

测试一个矩阵是否为不定矩阵：

Wolfram Language code: m = {{-1, 0}, {0, 1}};

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[m]

对于不同的矢量，二次型的值可为正，也可为负：

Wolfram Language code:

Plot3D[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, {Subscript[x, 1], -1, 1}, {Subscript[x, 2], -1, 1}, BoxRatios -> 1]

检验某 3×3 矩阵是否为不定矩阵：

Wolfram Language code:

IndefiniteMatrixQ[(⁠|                  |                |                  |
| ---------------- | -------------- | ---------------- |
| 5.42             | 3.26 + 0.643 I | -0.467 - 0.193 I |
| 3.26 - 0.643 I   | 3.82           | 1.04 - 2.35 I    |
| -0.467 + 0.193 I | 1.04 + 2.35 I  | -4.88            |⁠)]

范围 (10)

基本用法 (6)

检验一个实数机器精度矩阵是否为显式不定矩阵：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[{{1.6, -0.8}, {-0.8, -0.4}}]

检验复矩阵是否为不定矩阵：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[{{1, 2 I}, {-I, -3}}]

检验精确矩阵是否为不定矩阵：

Wolfram Language code:

IndefiniteMatrixQ[⁠(|   |         |    |
| - | ------- | -- |
| π | -5      | 2  |
| E | -3      | -3 |
| 5 | Sqrt[2] | 5  |⁠)]

将 IndefiniteMatrixQ 用于任意精度矩阵：

Wolfram Language code: m = RandomReal[5, {4, 4}, WorkingPrecision -> 15]

随机矩阵通常是不定矩阵：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[m]

将 IndefiniteMatrixQ 用于符号矩阵：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[{{1, a}, {b, -1}}]

当时，矩阵变为不定矩阵：

Wolfram Language code: Block[{b = -Conjugate[a]}, IndefiniteMatrixQ[{{1, a}, {b, -1}}]]

IndefiniteMatrixQ 可高效处理大型数值矩阵：

Wolfram Language code: m = RandomReal[1, {1000, 1000}];

Wolfram Language code: AbsoluteTiming[IndefiniteMatrixQ[m]]

Wolfram Language code:

a = m.m^;
AbsoluteTiming[IndefiniteMatrixQ[a]]

特殊矩阵 (4)

将 IndefiniteMatrixQ 用于稀疏矩阵：

Wolfram Language code: SparseArray[{{i_, i_} -> 2., {i_, j_} /; Abs[i - j] == 1 -> -1.}, {10, 10}, 0.]

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[%]

将 IndefiniteMatrixQ 用于结构化矩阵：

Wolfram Language code: SymmetrizedArray[{{1, 1} -> 5, {1, 2} -> 11, {2, 2} -> -25}, {2, 2}, Symmetric[All]]

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[%]

单位矩阵不是不定矩阵：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[IdentityMatrix[5]]

HilbertMatrix 不是不定矩阵：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[HilbertMatrix[5]]

选项 (1)

Tolerance (1)

生成一个实对角矩阵，随机扰动级别为：

Wolfram Language code:

SeedRandom[5];
m = {{2, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}} + 10 ^ -12 * DiagonalMatrix[RandomReal[{-10, -1}, 3]]

如果数量级的元素为舍入误差, 则判定矩阵为不定矩阵是个错误：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[m]

调整选项 Tolerance，给出正确答案：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[m, Tolerance -> 10 ^ -12]

应用 (16)

半正定矩阵的几何与代数 (6)

考虑一个实数的不定 2×2 矩阵及其相关的实数二次：

Wolfram Language code:

m = (⁠|   |    |
| - | -- |
| 1 | 0  |
| 0 | -1 |⁠);
IndefiniteMatrixQ[m]

Wolfram Language code: q[x_, y_] := {x, y}.m.{x, y}

由于为不定矩阵，因此等高线集是双曲线：

Wolfram Language code: ContourPlot[q[x, y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

对应于零的轮廓给出了双曲线的共享渐近线：

Wolfram Language code: ContourPlot[q[x, y] == 0, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

的图将是一个具有正值和负值的鞍形双曲抛物面：

Wolfram Language code: Plot3D[q[x, y], {x, y}∈Disk[{0, 0}, 1], MeshFunctions -> {#3&}, BoxRatios -> 1]

对于实数的不定矩阵，水平集是 -双曲面：

Wolfram Language code:

m = (⁠|    |    |    |
| -- | -- | -- |
| 3  | -1 | 0  |
| -1 | 3  | 0  |
| 0  | 0  | -3 |⁠);
IndefiniteMatrixQ[m]

通常，水平集将包括单张和双张双曲面：

Wolfram Language code: m = {{3, -1, 0}, {-1, 3, 0}, {0, 0, -3}};

Wolfram Language code:

ContourPlot3D[{x, y, z}.m.{x, y, z}, {x, y, z}∈RegionProduct[Disk[{0, 0}, 2.6], Interval[{-2, 2}]], Contours -> {-1, 1}, ContourStyle -> Opacity[0.5], Mesh -> None, RegionBoundaryStyle -> None]

两种类型的双曲面被处的渐近双锥隔开：

Wolfram Language code:

ContourPlot3D[{x, y, z}.m.{x, y, z}, {x, y, z}∈RegionProduct[Disk[{0, 0}, 2.6], Interval[{-2, 2}]], Contours -> {0}, Mesh -> None, RegionBoundaryStyle -> None]

在三个维度上，这些可以退化为双曲线上的圆柱体：

Wolfram Language code:

m = (⁠|    |    |   |
| -- | -- | - |
| 3  | -1 | 0 |
| -1 | -3 | 0 |
| 0  | 0  | 0 |⁠);
IndefiniteMatrixQ[m]

Wolfram Language code:

ContourPlot3D[{x, y, z}.m.{x, y, z}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}, Contours -> {4, 0, -4}, ContourStyle -> Opacity[0.5], Mesh -> None]

埃尔米特矩阵通过定义了一个实值二次形式：

Wolfram Language code:

m = (|       |       |
| ----- | ----- |
| 5     | 2 + I |
| 2 - I | -5    |);
q[w_, z_] := {w, z}.m.{w, z}
Reduce[q[w, z]∈Reals, {w, z}]

如果不确定，则有正值和负值：

Wolfram Language code: Reduce[Subscript[∃, {w, z}]q[w, z] > 0 && Subscript[∃, {w, z}]q[w, z] < 0, {w, z}, Complexes]

为实值输入的进行可视化：

Wolfram Language code: Plot3D[q[x, y], {x, y}∈Disk[{0, 0}, 1], BoxRatios -> 1]

对于实值矩阵，只有对称部分决定是否为不定. 写成，其中对称且反对称：

Wolfram Language code:

m = (|   |   |
| - | - |
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |);
MatrixForm[s = (m + m/2)]

Wolfram Language code: MatrixForm[a = (m - m/2)]

Wolfram Language code: m == s + a && SymmetricMatrixQ[s] && AntisymmetricMatrixQ[a]

由于是实数且有对称，这意味着是纯实数：

Wolfram Language code:

x = RandomComplex[1 + I, 2];
x.s.x//Chop

同样，由于是实数且有反对称，或为纯虚数：

Wolfram Language code:

x = RandomComplex[1 + I, 2];
x.a.x

因此，，所以当且仅当是不定矩阵时为不定矩阵：

Wolfram Language code: {IndefiniteMatrixQ[m], IndefiniteMatrixQ[s]}

对于复值矩阵，只有埃尔米特部分确定是否为不定矩阵. 写成，其中为埃尔米特矩阵且为反埃尔米特矩阵：

Wolfram Language code:

m = (⁠|         |         |
| ------- | ------- |
| 1 + 5 I | 2 + 6 I |
| 3 + 7 I | 4 + 8I  |⁠);
MatrixForm[h = (m + m/2)]

Wolfram Language code: MatrixForm[a = (m - m/2)]

Wolfram Language code: m == h + a && HermitianMatrixQ[h] && AntihermitianMatrixQ[a]

由于为埃尔米特矩阵，有，意味着为纯实数：

Wolfram Language code:

x = RandomComplex[1 + I, 2];
x.h.x//Chop

同样，由于为反埃尔米特矩阵，有，或为纯虚数：

Wolfram Language code:

x = RandomComplex[1 + I, 2];
x.a.x//Chop

因此，有，所以当且仅当为不定矩阵时为不定矩阵：

Wolfram Language code: {IndefiniteMatrixQ[m], IndefiniteMatrixQ[h]}

根据定义，如果可达正值和负值，则是不定矩阵：

Wolfram Language code:

m = (⁠|    |   |
| -- | - |
| 2I | 1 |
| 1  | 1 |⁠);
IndefiniteMatrixQ[m]

Wolfram Language code:

Reduce[Subscript[∃, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}]Re[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}] > 0 && Subscript[∃, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}]Re[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}] < 0, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Complexes]

请注意，这并不一定说明可达正值和负值：

Wolfram Language code:

Reduce[Subscript[∃, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}]{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]} > 0 && Subscript[∃, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}]{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]} < 0, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Complexes]

对于这个特定的矩阵，和都可取正值：

Wolfram Language code:

FindInstance[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]} > 0, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Complexes]

Wolfram Language code:

FindInstance[Re[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}] > 0, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Complexes]

但仅有可取负值：

Wolfram Language code:

FindInstance[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]} < 0, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Complexes]

Wolfram Language code:

FindInstance[Re[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}] < 0, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Complexes]

不定矩阵的来源 (6)

泡利矩阵为不定矩阵：

Wolfram Language code: Table[IndefiniteMatrixQ[PauliMatrix[k]], {k, 3}]

当时，FourierMatrix[k] 为不定矩阵：

Wolfram Language code: Table[IndefiniteMatrixQ[FourierMatrix[k]], {k, 2, 6}]

当时，ToeplitzMatrix[k] 为不定矩阵：

Wolfram Language code: Table[IndefiniteMatrixQ[ToeplitzMatrix[k]], {k, 2, 6}]

Redheffer 矩阵是一个由 0-1 组成的不定矩阵：

Wolfram Language code: r = Table[If[j == 1 || Mod[j, i] == 0, 1, 0], {i, 6}, {j, 6}];r//MatrixForm

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[r]

Wolfram Language code: Eigenvalues[r]//N

许多滤波器核矩阵是不定矩阵，包括 CrossMatrix[k]：

Wolfram Language code: Table[IndefiniteMatrixQ[CrossMatrix[k]], {k, 5}]

DiamondMatrix[k]：

Wolfram Language code: Table[IndefiniteMatrixQ[DiamondMatrix[k]], {k, 5}]

当时的 DiskMatrix[k] 也是：

Wolfram Language code: Table[IndefiniteMatrixQ[DiskMatrix[k]], {k, 5}]

DiskMatrix[1] 是半正定矩阵：

Wolfram Language code: PositiveSemidefiniteMatrixQ[DiskMatrix[1]]

随机生成的矩阵往往是不定矩阵，不定矩阵的概率随着矩阵维数的增加而迅速增加. 以下输入估算了矩阵维数从到增加时矩阵为不定矩阵的概率. 首先，矩阵中的项为统一独立从区间中提取的项：

Wolfram Language code: Table[Count[RandomReal[1, {10^4, k, k}], _ ? IndefiniteMatrixQ], {k, 2, 6}] / 10.^4

根据 GaussianOrthogonalMatrixDistribution 绘制的矩阵：

Wolfram Language code: Table[Count[RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[k], 10^4], _ ? IndefiniteMatrixQ], {k, 2, 6}] / 10.^4

根据 GaussianUnitaryMatrixDistribution 绘制的矩阵：

Wolfram Language code: Table[Count[RandomVariate[GaussianUnitaryMatrixDistribution[k], 10^4], _ ? IndefiniteMatrixQ], {k, 2, 6}] / 10.^4

根据 CircularRealMatrixDistribution 绘制的矩阵：

Wolfram Language code: Table[Count[RandomVariate[CircularRealMatrixDistribution[k], 10^4], _ ? IndefiniteMatrixQ], {k, 2, 6}] / 10.^4

不定矩阵的使用 (4)

二阶导数检验将函数的临界点分类如下，若黑塞矩阵为正定矩阵则为局部最小值，若黑塞矩阵为负定矩阵则为局部最大值，若黑塞矩阵为不定矩阵则为鞍点（如果黑塞矩阵不是这三种类型之一，则检验失败）。求两个变量的函数的临界点：

Wolfram Language code: f[x_, y_] := x ^ 4 + y ^ 4 - 20x ^ 2 - 10x y - 25

Wolfram Language code: grad = Grad[f[x, y], {x, y}]

Wolfram Language code: sol = NSolve[grad == {0, 0}, {x, y}, Reals]

计算黑塞矩阵：

Wolfram Language code: hessian = Grad[grad, {x, y}]

三个临界点中的最后一个是鞍点：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[hessian /. sol[[3]]]

前两个点为局部最小值：

Wolfram Language code: PositiveDefiniteMatrixQ /@ (hessian /. sol[[1 ;; 2]])

可视化函数. 红点和蓝点是最小值，绿点是鞍点：

Wolfram Language code:

Show[Plot3D[f[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, PlotRange -> 200, ClippingStyle -> None, Mesh -> {5, 0}, PlotStyle -> Opacity[.65], BoxRatios -> {1, 1, 3 / 4}, ViewPoint -> {1.2, -2.5, 0}], Graphics3D[{PointSize[.04], Riffle[{Red, Blue, Green}, Point[{x, y, f[x, y]}] /. sol]}]]

求三个变量的函数的临界点：

Wolfram Language code: f[x_, y_, z_] := 25 - x^2 + 2 x^4 - x y - y^2 + 4 x^2 y^2 + 2 y^4 - 2 x z - 2 y z - z^2 + 4 x^2 z^2 + 4 y^2 z^2 + 2 z^4

Wolfram Language code: grad = Grad[f[x, y, z], {x, y, z}]

Wolfram Language code: sol = NSolve[grad == {0, 0, 0}, {x, y, z}, Reals]

计算 f 的黑塞矩阵：

Wolfram Language code: hessian = Grad[grad, {x, y, z}]

前两个临界点是局部最小值：

Wolfram Language code: PositiveDefiniteMatrixQ /@ (hessian /. Take[sol, 2])

最后三个是鞍点：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ /@ (hessian /. Drop[sol, 2])

对于这个函数，任何三个临界点都是线性相关，所以这些点都在一个平面上：

Wolfram Language code: Minors[{x, y, z} /. sol, 3]//Chop

计算该平面的法线：

Wolfram Language code: normal = Apply[Cross, {x, y, z} /. sol[[{1, 3}]]]

可视化函数，最小值为绿色，非极端临界点为红色：

Wolfram Language code:

Show[SliceContourPlot3D[f[x, y, z], {{x, y, z}.normal == 0}, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1}, Contours -> 15, ViewVertical -> {-0.2, 0.7, 0.6}, ViewPoint -> {-1.2, -1.2, 2.9}], Graphics3D[{Riffle[{Green, Green, Red, Red, Red}, Sphere[{x, y, z}, 0.05] /. sol]}]]

大约一半的三维旋转矩阵是不定矩阵. 这可以理解为平行于旋转轴的向量不因旋转而改变，而垂直于轴的向量旋转超过 . 对于前者有 $x.r.x=TemplateBox[{x}, Norm]^2>0$ ，对于后者有 . 首先，生成个随机旋转矩阵：

Wolfram Language code: indefList = Select[Table[RotationMatrix[RandomReal[{-π, π}], RandomReal[{-1, 1}, 3]], {4000}], IndefiniteMatrixQ];

大约有一半的矩阵为不定矩阵：

Wolfram Language code: Length[indefList] / 4000.

计算一个随机选择的不定矩阵的 Schur 分解：

Wolfram Language code:

r = RandomChoice[indefList];
{q, t} = SchurDecomposition[r];

矩阵矩阵定义了一个基，其中由表示：

Wolfram Language code: {x, y, z}.r.{x, y, z} == ({x, y, z}.q).t.({x, y, z}.q)//FullSimplify//Chop

对标准单位向量的作用为使一个向量保持不变，并将其他向量旋转超过：

Wolfram Language code: Table[VectorAngle[t.UnitVector[3, i], UnitVector[3, i]], {i, 3}]//Chop

时空或伪黎曼度量是可逆且实对称的不定矩阵，当约束某些三维子空间时这些不定矩阵会变为正定矩阵. 通过相关的二次形式给出时空中事件之间的平方距离的概念. 证明标准或 Minkowski 度量是时空度量：

Wolfram Language code:

η = (|    |   |   |   |
| -- | - | - | - |
| -1 | 0 | 0 | 0 |
| 0  | 1 | 0 | 0 |
| 0  | 0 | 1 | 0 |
| 0  | 0 | 0 | 1 |);

Wolfram Language code: Det[η] ≠ 0 && η∈Reals && SymmetricMatrixQ[η] && IndefiniteMatrixQ[η]

第二到第四个标准基元素有约束的是正定矩阵：

Wolfram Language code: PositiveDefiniteMatrixQ[η[[2 ;; 4, 2 ;; 4]]]

事件与原点相隔一个正平方距离，称为类空间间隔：

Wolfram Language code:

e1 = {1, 1, 1, 1};
e1.η.e1

因此，事件在某个参考帧中是同时发生的，并且该帧中的距离为：

Wolfram Language code: Sqrt[e1.η.e1]

事件与原点相隔一个负的平方距离，称为类时间间隔：

Wolfram Language code:

e2 = {2, 1, 0, 0};
e2.η.e2

事件发生在某个参考框架的同一点上，一个是另一个之后，间隔时间恰好是：

Wolfram Language code: Sqrt[-e2.η.e2]

事件与原点的平方距离为零，或类光间隔，因为只有光速可以到达这两个事件：

Wolfram Language code:

e2 = {-1, 1, 0, 0};
e2.η.e2

属性和关系 (9)

对于任何不是矩阵的 x，IndefiniteMatrixQ[x] 都会返回 False：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[Sqrt[3]]

如果可取正值和负值，则矩阵是不定矩阵：

Wolfram Language code:

m = (⁠|   |   |
| - | - |
| I | 1 |
| 0 | 1 |⁠);
IndefiniteMatrixQ[m]

Wolfram Language code:

Reduce[Subscript[∃, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}]Re[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}] > 0 && Subscript[∃, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}]Re[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}] < 0, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Complexes]

请注意，这并不一定意味着可取正值和负值：

Wolfram Language code:

Reduce[Subscript[∃, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}]{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]} > 0 && Subscript[∃, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}]{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}.m.{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]} < 0, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Complexes]

当且仅当实矩阵的对称部分为不定时，该矩阵为不定矩阵：

Wolfram Language code:

m = (⁠|    |    |    |
| -- | -- | -- |
| -2 | -3 | -1 |
| 3  | 4  | 4  |
| 1  | 4  | 4  |⁠);s = Symmetrize[m];

Wolfram Language code: {IndefiniteMatrixQ[m], IndefiniteMatrixQ[s]}

一般来说，当且仅当矩阵的埃尔米特部分为不定时，该矩阵为不定矩阵：

Wolfram Language code:

c = (⁠|         |           |           |
| ------- | --------- | --------- |
| 1 + 4 I | 1 + 8 I   | -1 + 5 I  |
| 3 - 6 I | 3 + 2 I   | -7        |
| 1 - I   | -11 + 8 I | -11 + 6 I |⁠);h = Symmetrize[c, Hermitian[All]];

Wolfram Language code: {IndefiniteMatrixQ[c], IndefiniteMatrixQ[h]}

当且仅当一个实对称矩阵同时具有正和负特征值时，该矩阵为不定矩阵：

Wolfram Language code:

m = (⁠|    |   |
| -- | - |
| -2 | 1 |
| 1  | 2 |⁠);
{SymmetricMatrixQ[m], IndefiniteMatrixQ[m]}

Wolfram Language code: Eigenvalues[m]

该结论普遍适用于埃尔米特矩阵：

Wolfram Language code:

c = (⁠|    |    |
| -- | -- |
| 1  | I  |
| -I | -2 |⁠);
{HermitianMatrixQ[c], IndefiniteMatrixQ[c]}

Wolfram Language code: Eigenvalues[c]//N

没有正负特征值的一般矩阵也可以是不定矩阵：

Wolfram Language code:

IndefiniteMatrixQ[(⁠|   |    |
| - | -- |
| 4 | -1 |
| 2 | 0  |⁠)]

Wolfram Language code:

Eigenvalues[(⁠|   |    |
| - | -- |
| 4 | -1 |
| 2 | 0  |⁠)]//N

虽然两个特征值都是正的，但也有非特征向量使二次形式为负：

Wolfram Language code:

FindInstance[{x, y}.(⁠|   |    |
| - | -- |
| 4 | -1 |
| 2 | 0  |⁠).{x, y} < 0, {x, y}]

当且仅当对角元素同时具有正实部和负实部时，对角矩阵为不定矩阵：

Wolfram Language code:

IndefiniteMatrixQ[(⁠|   |    |   |
| - | -- | - |
| 2 | 0  | 0 |
| 0 | -1 | 0 |
| 0 | 0  | 0 |⁠)]

Wolfram Language code:

IndefiniteMatrixQ[(⁠|   |   |   |
| - | - | - |
| 2 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |⁠)]

不定矩阵具有的通式为，其中为对角不定矩阵：

Wolfram Language code:

m = (|                                           |                                            |                                            |
| ----------------------------------------- | ------------------------------------------ | ------------------------------------------ |
| 3.792168950417362                         | 2.973638210582098 + 1.4338467608374894 I   | 2.6847137114282464 + 1.096732668646098 I   |
| 2.5943303334981036 - 1.4338467608374894 I | -3.72                                      | 2.2427900539994767 + 0.15267916356932992 I |
| 2.3008034014752843 - 1.096732668646098 I  | 2.5698503388043816 - 0.15267916356933003 I | 3.1 + I                                    |);
IndefiniteMatrixQ[m]

将拆分为埃尔米特和反埃尔米特部分：

Wolfram Language code: h = Symmetrize[m, Hermitian[All]];

Wolfram Language code: a = Symmetrize[m, Antihermitian[All]];

根据光谱定理，可以使用 JordanDecomposition 对进行酉对角化：

Wolfram Language code: {u, d} = JordanDecomposition[h];

矩阵是对角线矩阵，具有正对角项和负对角项：

Wolfram Language code: d//MatrixForm

矩阵为酉矩阵：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[u]

验证：

Wolfram Language code: u.d.u + a - m//Chop

不定矩阵既不是半正定也不是半负定矩阵：

Wolfram Language code:

m = (|   |   |
| - | - |
| 1 | 2 |
| 1 | 1 |);
{IndefiniteMatrixQ[m], PositiveSemidefiniteMatrixQ[m], NegativeSemidefiniteMatrixQ[m]}

当且仅当也是不定矩阵时，矩阵是不定矩阵：

Wolfram Language code:

m = (⁠|                                             |                                             |                                             |                                             |
| ------------------------------------------- | ------------------------------------------- | ------------------------------------------- | ------------------------------------------- |
| 0.8368175179836128 + 0. I                   | 0.08442148190943044 - 0.07261632146865446 I | -1.2128453065519185 + 0.2791488701895241 I  | -0.7176461452206016 + 0.09729452115881893 I |
| 0.08442148190943044 + 0.07261632146865446 I | -3.39669580879013 + 0. I                    | -0.11306601611673339 - 1.0251509468914757 I | -1.3902042643674577 + 0.8867050522199316 I  |
| -1.2128453065519185 - 0.2791488701895241 I  | -0.11306601611673339 + 1.0251509468914757 I | 4.960363408128666 + 0. I                    | 0.3541172390806834 + 0.5132293867878579 I   |
| -0.7176461452206016 - 0.09729452115881893 I | -1.3902042643674577 - 0.8867050522199316 I  | 0.3541172390806834 - 0.5132293867878579 I   | 1.6764327323058408 + 0. I                   |⁠);

Wolfram Language code: {IndefiniteMatrixQ[m], IndefiniteMatrixQ[-m]}

可能存在的问题 (1)

除非 IndefiniteMatrixQ 可以证明一个符号矩阵是不定矩阵，否则给出 False：

Wolfram Language code: IndefiniteMatrixQ[{{1 + a Conjugate[a], 0}, {0, -1 - a Conjugate[a]}}]

使用 Eigenvalues 和 Reduce 的组合可以给出更精确的结果：

Wolfram Language code: {Subscript[λ, 1], Subscript[λ, 2]} = Eigenvalues[{{1 + a Conjugate[a], 0}, {0, -1 - a Conjugate[a]}}]

Wolfram Language code: Reduce[(Subscript[λ, 1] > 0 && Subscript[λ, 2] < 0) || (Subscript[λ, 1] < 0 && Subscript[λ, 2] > 0), a, Complexes]

Top

更多学习资源

技术支持

数据科学、金融与商业

工程

科学与技术

教育科技

教育举措

开始

提高你的技能

与我们合作

成人教育计划

青少年教育计划

欢迎阅读

IndefiniteMatrixQ

更多信息和选项

范例

基本范例 (2)

范围 (10)

基本用法 (6)

特殊矩阵 (4)

选项 (1)

Tolerance (1)

应用 (16)

半正定矩阵的几何与代数 (6)

不定矩阵的来源 (6)

不定矩阵的使用 (4)

属性和关系 (9)

可能存在的问题 (1)

文本

CMS

APA

BibTeX

BibLaTeX

IndefiniteMatrixQ

更多信息和选项

范例

基本范例 (2)

范围 (10)

基本用法 (6)

特殊矩阵 (4)

选项 (1)

Tolerance (1)

应用 (16)

半正定矩阵的几何与代数 (6)

不定矩阵的来源 (6)

不定矩阵的使用 (4)

属性和关系 (9)

可能存在的问题 (1)

参见

相关指南

历史

文本

CMS

APA

BibTeX

BibLaTeX