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IndefiniteMatrixQ

IndefiniteMatrixQ[m]

当 m 一定是不定矩阵时，返回 True，否则给出 False.

更多信息和选项

如果 Re[Conjugate[x].m.x] 获得正值和负值，则 m 为不定矩阵.
IndefiniteMatrixQ 可用于符号矩阵和数值矩阵.
对于近似矩阵，选项 Tolerance->t 可被用于表示所有满足条件 λ≤t λ_max 的特征值 λ 都可近似为零，其中 λ_max 为特征值的最大幅值.
选项 Tolerance 的缺省值为 Automatic.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

测试一个矩阵是否为不定矩阵：

对于不同的矢量，二次型的值可为正，也可为负：

检验某 3×3 矩阵是否为不定矩阵：

范围 (10)

基本用法 (6)

检验一个实数机器精度矩阵是否为显式不定矩阵：

检验复矩阵是否为不定矩阵：

检验精确矩阵是否为不定矩阵：

将 IndefiniteMatrixQ 用于任意精度矩阵：

随机矩阵通常是不定矩阵：

将 IndefiniteMatrixQ 用于符号矩阵：

当时，矩阵变为不定矩阵：

IndefiniteMatrixQ 可高效处理大型数值矩阵：

特殊矩阵 (4)

将 IndefiniteMatrixQ 用于稀疏矩阵：

将 IndefiniteMatrixQ 用于结构化矩阵：

单位矩阵不是不定矩阵：

HilbertMatrix 不是不定矩阵：

选项 (1)

Tolerance (1)

生成一个实对角矩阵，随机扰动级别为：

如果数量级的元素为舍入误差, 则判定矩阵为不定矩阵是个错误：

调整选项 Tolerance，给出正确答案：

应用 (16)

半正定矩阵的几何与代数 (6)

考虑一个实数的不定 2×2 矩阵及其相关的实数二次：

由于为不定矩阵，因此等高线集是双曲线：

对应于零的轮廓给出了双曲线的共享渐近线：

的图将是一个具有正值和负值的鞍形双曲抛物面：

对于实数的不定矩阵，水平集是 -双曲面：

通常，水平集将包括单张和双张双曲面：

两种类型的双曲面被处的渐近双锥隔开：

在三个维度上，这些可以退化为双曲线上的圆柱体：

埃尔米特矩阵通过定义了一个实值二次形式：

如果不确定，则有正值和负值：

为实值输入的进行可视化：

对于实值矩阵，只有对称部分决定是否为不定. 写成，其中对称且反对称：

由于是实数且有对称，这意味着是纯实数：

同样，由于是实数且有反对称，或为纯虚数：

因此，，所以当且仅当是不定矩阵时为不定矩阵：

对于复值矩阵，只有埃尔米特部分确定是否为不定矩阵. 写成，其中为埃尔米特矩阵且为反埃尔米特矩阵：

由于为埃尔米特矩阵，有，意味着为纯实数：

同样，由于为反埃尔米特矩阵，有，或为纯虚数：

因此，有，所以当且仅当为不定矩阵时为不定矩阵：

根据定义，如果可达正值和负值，则是不定矩阵：

请注意，这并不一定说明可达正值和负值：

对于这个特定的矩阵，和都可取正值：

但仅有可取负值：

不定矩阵的来源 (6)

泡利矩阵为不定矩阵：

当时，FourierMatrix[k] 为不定矩阵：

当时，ToeplitzMatrix[k] 为不定矩阵：

Redheffer 矩阵是一个由 0-1 组成的不定矩阵：

许多滤波器核矩阵是不定矩阵，包括 CrossMatrix[k]：

DiamondMatrix[k]：

当时的 DiskMatrix[k] 也是：

DiskMatrix[1] 是半正定矩阵：

随机生成的矩阵往往是不定矩阵，不定矩阵的概率随着矩阵维数的增加而迅速增加. 以下输入估算了矩阵维数从到增加时矩阵为不定矩阵的概率. 首先，矩阵中的项为统一独立从区间中提取的项：

根据 GaussianOrthogonalMatrixDistribution 绘制的矩阵：

根据 GaussianUnitaryMatrixDistribution 绘制的矩阵：

根据 CircularRealMatrixDistribution 绘制的矩阵：

不定矩阵的使用 (4)

二阶导数检验将函数的临界点分类如下，若黑塞矩阵为正定矩阵则为局部最小值，若黑塞矩阵为负定矩阵则为局部最大值，若黑塞矩阵为不定矩阵则为鞍点（如果黑塞矩阵不是这三种类型之一，则检验失败）。求两个变量的函数的临界点：

计算黑塞矩阵：

三个临界点中的最后一个是鞍点：

前两个点为局部最小值：

可视化函数. 红点和蓝点是最小值，绿点是鞍点：

求三个变量的函数的临界点：

计算 f 的黑塞矩阵：

前两个临界点是局部最小值：

最后三个是鞍点：

对于这个函数，任何三个临界点都是线性相关，所以这些点都在一个平面上：

计算该平面的法线：

可视化函数，最小值为绿色，非极端临界点为红色：

大约一半的三维旋转矩阵是不定矩阵. 这可以理解为平行于旋转轴的向量不因旋转而改变，而垂直于轴的向量旋转超过 . 对于前者有 $x.r.x=TemplateBox[{x}, Norm]^2>0$ ，对于后者有 . 首先，生成个随机旋转矩阵：

大约有一半的矩阵为不定矩阵：

计算一个随机选择的不定矩阵的 Schur 分解：

矩阵矩阵定义了一个基，其中由表示：

对标准单位向量的作用为使一个向量保持不变，并将其他向量旋转超过：

时空或伪黎曼度量是可逆且实对称的不定矩阵，当约束某些三维子空间时这些不定矩阵会变为正定矩阵. 通过相关的二次形式给出时空中事件之间的平方距离的概念. 证明标准或 Minkowski 度量是时空度量：

第二到第四个标准基元素有约束的是正定矩阵：

事件与原点相隔一个正平方距离，称为类空间间隔：

因此，事件在某个参考帧中是同时发生的，并且该帧中的距离为：

事件与原点相隔一个负的平方距离，称为类时间间隔：

事件发生在某个参考框架的同一点上，一个是另一个之后，间隔时间恰好是：

事件与原点的平方距离为零，或类光间隔，因为只有光速可以到达这两个事件：

属性和关系 (9)

对于任何不是矩阵的 x，IndefiniteMatrixQ[x] 都会返回 False：

如果可取正值和负值，则矩阵是不定矩阵：

请注意，这并不一定意味着可取正值和负值：

当且仅当实矩阵的对称部分为不定时，该矩阵为不定矩阵：

一般来说，当且仅当矩阵的埃尔米特部分为不定时，该矩阵为不定矩阵：

当且仅当一个实对称矩阵同时具有正和负特征值时，该矩阵为不定矩阵：

该结论普遍适用于埃尔米特矩阵：

没有正负特征值的一般矩阵也可以是不定矩阵：

虽然两个特征值都是正的，但也有非特征向量使二次形式为负：

当且仅当对角元素同时具有正实部和负实部时，对角矩阵为不定矩阵：

不定矩阵具有的通式为，其中为对角不定矩阵：

将拆分为埃尔米特和反埃尔米特部分：

根据光谱定理，可以使用 JordanDecomposition 对进行酉对角化：

矩阵是对角线矩阵，具有正对角项和负对角项：

矩阵为酉矩阵：

验证：

不定矩阵既不是半正定也不是半负定矩阵：

当且仅当也是不定矩阵时，矩阵是不定矩阵：

可能存在的问题 (1)

除非 IndefiniteMatrixQ 可以证明一个符号矩阵是不定矩阵，否则给出 False：

使用 Eigenvalues 和 Reduce 的组合可以给出更精确的结果：

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