Limit

Limit[f,xx*]

给出极限 xx*f(x).

Limit[f,{x1,…,xn}]

给出嵌套的极限 ⋯ f (x1,…,xn).

Limit[f,{x1,…,xn}{,…,}]

给出多变量极限 f (x1,…,xn).

更多信息和选项

  • Limit 也被称之函数极限、有向极限、迭代极限、嵌套极限和多变量极限.
  • Limit 计算函数 f 的极限值 f*，当变量 x 或 xi 任意接近它们的极限点 x* 或 .
  • 通过使用字符 ，输入为 lim 或 \[Limit]，带有下标或上标，极限可以输入如下：
  • f不同方向的极限
    f上限
    f下限
    f复平面的极限
    …fLimit[f,{x1,…,xn}]
  • 对于有限极限点 x* 和 {,…,}，有限极限值 f*：
  • Limit[f,xx*]f*对于每个 ，有 使得 0<TemplateBox[{{x, -, {x, ^, *}}}, Abs]<delta(epsilon,x^*) 蕴涵 TemplateBox[{{{f, (, x, )}, -, {f, ^, *}}}, Abs]<epsilon
    Limit[f,{x1,…,xn}{,…,}]f*对于每个 ，有 使得 0<TemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {x, _, {(, 1, )}, ^, *}}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {x, _, {(, n, )}, ^, *}}}, }}}, Norm]<delta(epsilon,x^*) 蕴涵 TemplateBox[{{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}, -, {f, ^, *}}}, Abs]<epsilon
  • 对于无穷极限点和有限极限值 f*：
  • Limit[f,x∞]f*对于每个 ，有 使得 蕴涵 TemplateBox[{{{f, (, x, )}, -, {f, ^, *}}}, Abs]<epsilon
    Limit[f,{x1,…,xn}{∞,…,∞}]f*对于每个 ，有 使得 蕴涵 TemplateBox[{{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}, -, {f, ^, *}}}, Abs]<epsilon
  • 当证明极限不存在时，Limit 返回 Indeterminate. 当极限不存在时，MinLimit 和 MaxLimit 可以经常被用于计算函数的最小和最大极限.
  • 当没有找到极限时，Limit 返回未计算或一个 Interval. 如果返回 Interval，不保证有最小的可能区间.
  • 可以给出以下选项：
  • Assumptions $Assumptions参数上的假设
    Direction Reals接近极限点的方向
    GenerateConditions Automatic是否产生参数上的条件
    Method Automatic使用的方向
    PerformanceGoal "Quality"性能方面的优化
  • Direction 的可能设置包括：
  • Reals 或 "TwoSided"来自两个实方向
    "FromAbove" 或 -1来自上限或更大的值
    "FromBelow" 或 +1来自下限或更小的值
    Complexes来自所有复方向
    Exp[ θ]在方向
    {dir1,…,dirn}对变量 xi 分别使用方向 diri
  • 在 x* 的 DirectionExp[ θ] 表明接近极限点 x* 的曲线的方向正切.
  • GenerateConditions 的可能设置包括：
  • Automatic只是非一般的条件
    True所有条件
    False无条件
    None如果需要条件，返回未计算的
  • PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时，Limit 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (3)

不连续点处的极限：

无穷处的极限：

上限：

下限：

两边极限不存在：

范围  (35)

基本用途  (5)

求一点的极限：

求在符号点处的极限：

求在 -Infinity 的极限：

当首先 ，然后 的嵌套极限：

当 ，然后 的嵌套极限：

当 ，计算多变量极限：

排版极限  (4)

使用 lim 输入 \[Limit] 字符，和 创建下标：

通过在极限点上使用上标 或 获取上下极限：

输入 0 后，使用 创建上标：

指定 Reals 或 Complexes 的方向，在 字符上以下标形式输入域：

输入规则 ->，使用 创建一个下标，然后键入 reals 以输入 ：

TraditionalForm 格式:

基本函数  (6)

多项式和有理函数：

代数函数：

三角函数：

有垂直渐近线的三角函数：

在原点没有极限的极度振荡函数：

指数函数：

对数函数：

函数像 Sqrt 和 Log 沿着负实轴有两边极限：

如果在复平面从上方趋近，会达到同样的极限值：

然而从复平面下方趋近会产生不同的极限值：

这是因为分支分割，在轴交叉处，虚部反转了符号：

不存在复平面的极限：

无穷处的基础函数  (4)

在 ±Infinity 处的代数函数极限：

在 ±Infinity 处，三角函数的极限：

在无穷处，指数和对数函数的极限：

计算嵌套的指数对数极限：

分段函数  (5)

不连续的分段函数：

左连续的分段函数：

UnitStep 是高效的右连续分段函数：

RealSign 是高效的不连续分段函数：

求当 x 从更大的数趋近时，Floor 的极限：

求当 x 从更小的数趋近时，Floor 的极限：

特殊函数  (4)

包含 Gamma 的极限：

包含贝塞尔型函数的极限：

包含指数积分的极限：

在每个非正偶整数，Gamma 从左边趋近 ，从右边趋近 ：

对于负奇整数，符号是反的：

嵌套的极限  (3)

当 ，然后 计算嵌套极限：

通过计算两个 Limit 表达式，获取同样的结果：

当 ，然后 ，计算极限产生不同的答案：

这个等于两个嵌套的极限：

当 ，然后 的嵌套极限是 ：

当 ，然后 的嵌套极限是 ：

考虑原点处两个变量的函数：

当 ，然后 的迭代极限是 ：

当 ，然后 的迭代极限是 ：

因为极限值依赖于次序，双变量的极限不存在：

可视化函数和之前沿着两轴计算的值：

多变量极限  (4)

计算当 ，函数的双变量极限：

如果对于所有 ，有 ，其中 蕴涵 epsilon>TemplateBox[{{{f, (, {x, ,, y}, )}, -, L}}, Abs]，那么极限值是 ：

对于这个函数，值 会满足：

函数位于斜率为 的两个圆锥之间：

求多变量函数的极限：

存在各种迭代极限：

沿着曲线 接近原点产生第三个结果：

函数的真二维极限不存在：

可视化接近原点的极限：

求原点处双变量函数的极限：

原点处真二维极限是 0：

用极坐标重新表示函数：

极坐标表示是有界的，当 的极限是：

计算三变量函数的极限：

原点处的极限不存在：

在 和 平面上存在极限：

但是在 平面上的极限是取决于方向：

可视化函数：

选项  (13)

Assumptions  (2)

使用 Assumptions 指定参数上的条件：

不同的假设会产生不同的结果：

依赖参数的极限：

Direction  (5)

上限：

等同于：

下限：

等同于：

在分段的间断点处的极限：

在单极点处的极限：

在分支线的极限：

计算从不同象限趋近的双边极限：

从第一象限趋近原点：

等同于：

从第二象限趋近原点：

从左半平面趋近原点：

从下半平面趋近原点：

可视化函数：

GenerateConditions  (3)

返回一个没有表述条件的结果：

该结果只在 n>0 有效：

如果结果依赖于参数值，返回未计算的：

默认情况下，产生返回唯一结果的条件：

默认情况下，如果只有特殊值使结果无效，则不会产生条件：

当 GenerateConditions->True，甚至会报告这些非通用条件：

Method  (2)

使用 Method{"AllowIndeterminateOutput"False} 避免 Indeterminate 结果：

对于振荡函数，边界会作为 Interval 对象返回：

使用 Method{"AllowIntervalOutput"False} 避免 Interval 对象结果：

PerformanceGoal  (1)

使用 PerformanceGoal 避免潜在的昂贵计算：

默认设置使用所有可用技术来尝试产生结果：

应用  (23)

极限几何  (5)

当 ，函数 的极限是 ：

这意味着当 的值接近 ， 有值接近 ：

可视化函数：

极限对于在 处的 值没有声明，在这个例子是不确定：

当 趋近 ，函数 没有极限：

函数 有极限 0：

在增加的 周围的小区域， 连续在 之间弹跳，但是 在平坦的增加：

当 ，下面有理函数有有限的极限：

计算 ，保证当 0<TemplateBox[{{x, -, 1}}, RealAbs]<delta，有 TemplateBox[{{{r, (, x, )}, -, 2}}, RealAbs]<epsilon：

复杂的结果可以被简化，通过在 0 和 2 之间聚焦 ：

的图总是通过边，不是顶部或底部“离开”中心在 ，高为 ，宽为 的长方形：

求有理函数的垂直和水平渐近线：

计算当分母为 0 的值：

验证函数在计算的值处趋近 ：

计算 处的极限值：

可视化函数和渐近线：

求函数的非垂直、线性渐近线：

渐近线的斜率：

计算渐近线的垂直截距：

可视化函数和其渐近线：

不连续性  (5)

分类原点处的 f 的连续性或不连续性：

没有在 0 处定义，因此不连续：

而且，当 x0，不存在极限：

然而，存在下限：

也存在上限，是不同的值：

因此， f 在 0 处由跳跃不连续性：

分类在原点处的 f 的连续性和不连续性：

函数已定义：

存在两边极限，但是不等于函数值，因此这是可移动的不连续性：

找到并分类分段函数的不连续性：

函数在 0 点没有定义，因此，在那里不连续：

函数两边趋向于 Infinity，因此它是无穷不连续：

接着查找极限在哪里不等于函数：

在 x==3 不存在极限，这是可移动的不连续性：

函数 在 的每个倍数处不连续：

比如，在原点，给出不确定格式 ：

在 的每个偶倍数， 的双边极限存在：

在 的奇倍数也是这样，是不同的极限值：

然而，在 的半整数倍处，不存在双边极限：

函数 与 一样，均被定义，但是也在 的倍数处连续：

显示 在原点连续：

可视化 和 ：

确定下面函数是否在原点连续，沿着射线是否存在极限：

不存在双变量极限，因此函数不连续：

左半平面存在极限是 0，因此任何从那里趋近的射线有同样的极限：

沿着线 趋近，当 ，给出类似斜率的结果：

可视化四条射线，斜率为 ：

导数  (5)

使用导数定义计算 的导数：

首先计算差分商：

当差分商的 ，导数是其极限：

计算在 处的 的导数：

差分商的极限不存在，因此 在原点不可微：

注意，存在差分商的左右极限，但是不等的：

在这种情况，左右导数等于来自于左右的 的极限：

可视化 和其导数；前者在 0 处有“扭结”，后者是跳跃不连续：

确定在 处的 的微分性：

存在差分商的极限，因此 可微，且 ：

注意，当 ， 不存在极限，因此 不连续：

决定在点 处， 的可微性：

存在关于 x 的偏导：

关于 y 的偏导也存在：

然而，线性条件 lim_(r->r_0)(TemplateBox[{{{f, (, {x, ,, y}, )}, -, {f, (, {{x, _, 0}, ,, {y, _, 0}}, )}, -, {{p, (, {{x, _, 0}, ,, {y, _, 0}}, )}, ., {(, {r, -, {r, _, 0}}, )}}}}, RealAbs])/(TemplateBox[{{r, -, {r, _, 0}}}, Norm])=0 失败，因此 不可微：

可视化函数：

注意， 的偏导无处不在：

但是，在点 不连续：

导数定义为差分商的极限：

通过求二阶差分商的极限计算二阶导：

通过取极限直接计算混合偏导 ：

数学常数和表达式  (4)

计算出 是 Infinity 处的极限：

原点的互补极限：

计算出 是 Gamma 函数的极限：

计算出 EulerGamma 是涉及 Zeta 函数的极限：

计算出 EulerGamma 是指数积分的极限：

其他应用  (4)

如果 lim_(x->a) TemplateBox[{{{(, {f, (, x, )}, )}, /, {(, {g, (, x, )}, )}}}, Abs]=0，函数 在 处是 "little-o of "，写作 ：

类似，如果 lim_(x->a) TemplateBox[{{{(, {f, (, x, )}, )}, /, {(, {g, (, x, )}, )}}}, Abs]=infty， 是 "little-omega of "，写作 ：

如果 ，那么 ：

有可能，两个函数没有任何关系：

而且，函数间以及自己也没有任何关系：

因此， 和 定义函数的偏序：

，如果 到 0 快于 ：

表明相反的关系：

注意，两个列表不是精确的反向，因为 和 是不可比的：

根据泰勒理论，如果 在 处有 个连续导数，那么 ：

这是在 处的第五阶泰勒多项式：

的定义是 lim_(x->a) TemplateBox[{{{(, {f, (, x, )}, )}, /, {(, {g, (, x, )}, )}}}, Abs]=0：

验证 ：

在狭义相对论中，质量 和速度 的粒子的动能由下式给出：

动能的典型公式为：

在速度趋于 0 的极限中，这两个公式一致：

广义积分：

属性和关系  (14)

乘数常数可以移到极限外：

如果 f 和 g 具有有限极限，它们的和的 Limit 是可分配的：

如果 f 和 g 具有有限极限，它们的积的 Limit 是可分配的：

幂可以移到极限之外：

对于连续函数，函数合成与序列极限运算是可交换的：

对于不连续函数，这不需要保留：

"squeezing" 或 "sandwich" 原理：

函数被 +/-TemplateBox[{x}, RealAbs] 界定：

边界函数的极限为 0，它证明原极限是 0：

无穷处，极限的挤压原理：

该函数在正实轴由 界定：

边界函数的极限是 0，它证明原极限是 0：

Assumptions 应用于极限表达式中的参数：

Direction 把条件放在极限变量上：

导数用极限定义：

比例的极限经常可以用 l'Hôpital 规则进行计算：

直接计算比例，给出不确定形式 0/0：

比例极限等于导数的比例极限：

在这种情况下，f' 和 g' 是连续的并可以被计算：

如果存在 Limit，那么也有 DiscreteLimit，它们有同样的值：

相反则不是：

如果存在 Limit，那么 MaxLimit 也是，它有同样的值：

如果存在 Limit，那么 MinLimit 也是，它有同样的值：

在定义域的每个点上，连续函数的极限等于函数的值：

用 FunctionContinuous 测试函数是否是连续的：

可能存在的问题  (1)

对于非精确输入，Limit 可能返回一个不准确的答案:

当使用精确输入时，结果是正确的:

答案不准确的根本原因是数值相消:

互动范例  (1)

在由直径和垂直和弦界定的扇区中，找到三角形占据的比例：

如果圆盘半径为 r，浅蓝阴影的直角三角形面积是：

类似，整个阴影面积是整个扇形面积减去白色直角三角形面积：

计算当 ϕ 趋近于 0 的极限：

巧妙范例  (2)

利用积分求微分：

可视化极限集：

Wolfram Research (1988)，Limit，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Limit.html （更新于 2017 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，Limit，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Limit.html （更新于 2017 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Limit." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2017. https://reference.wolfram.com/language/ref/Limit.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). Limit. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Limit.html 年

BibTeX

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