LogGammaDistribution

LogGammaDistribution[α,β,μ]

形状母数が α と β で位置母数が μ の対数ガンマ分布を表す．

詳細

予備知識

  • LogGammaDistribution[α,β,μ]は，区間 上でサポートされ，非負の実数 μ （「位置母数」と呼ばれる）と正の実数 α および β（どちらも「形状母数」と呼ばれる）によってパラメータ化される連続統計分布を表す．母数は，分布の確率密度関数(PDF)の全体的な動作を決定する．対数ガンマ分布のPDFは，α および β の値によって，単一の「峰」（最大値）がある単峰性か，潜在的特異値が領域の下方境界に近付く単調減少のどちらかになる．また，対数ガンマ分布のPDFは，PDFが の大きい値について指数的というよりも代数的に減少するという意味で「太った」裾部を持つ（この動作は分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に正確にすることができる）．密度がExpGammaDistributionのPDFに比例する分布は，誤ってLogGammaDistributionと呼ばれることがあるが，そのような分布と実際の対数ガンマ分布とは，そのPDFの二重指数動作によって区別することができる．
  • （位置パラメータが0の）対数ガンマ分布 は，XGammaDistributionのときは常に をモデル化する分布であると数学的に定義されている．1971年のConsul and Jainの論文によって，正規分布に従う確率変数の2つの集合が独立であることの決定と行列の回帰係数についての線形仮説の検定の両方に対数ガンマ分布を近似ツールに使うことができることが示された．対数ガンマ分布は，所得分布，待ち行列理論における到着と出発の時間を含むさまざまな現象をモデル化することができ，その一般化は，尤度が正規分布に従わない場合の母数間の相関についての事前知識の包含を許すために，ベイズ分析の事前分布に使われている．
  • RandomVariateを使って，対数ガンマ分布から，1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度（後者はWorkingPrecisionオプションを介す）の擬似乱数変量を得ることができる．Distributed[x,LogGammaDistribution[α,β,μ]]（より簡略な表記では xLogGammaDistribution[α,β,μ]）を使って，確率変数 x が対数ガンマ分布に従って分布していると宣言することができる．このような宣言は，Probability，NProbability，Expectation，NExpectation等の関数で使うことができる．
  • 対数ガンマ分布の確率密度関数および累積分布関数は，PDF[LogGammaDistribution[α,β,μ],x]およびCDF[LogGammaDistribution[α,β,μ],x]を使って得られる．平均，中央値，分散，原点の周りのモーメント，中心モーメントは，それぞれMean，Median，Variance，Moment，CentralMomentを使って計算することができる．
  • DistributionFitTestを使って，与えられたデータ集合が対数ガンマ分布と一致するかどうかを検定することが，EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリック対数ガンマ分布を推定することが，FindDistributionParametersを使ってデータを対数ガンマ分布にフィットすることができる．ProbabilityPlotを使って記号対数ガンマ分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが，QuantilePlotを使って記号対数ガンマ分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる．
  • TransformedDistributionを使って変換された対数ガンマ分布を表すことが，CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが，TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる．CopulaDistributionを使って対数ガンマ分布を含む高次元分布を構築することが，ProductDistributionを使って対数ガンマ分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる．
  • LogGammaDistributionは他の数多くの分布と関連している．LogGammaDistributionは，TransformedDistribution[Log[u+1],uLogGammaDistribution[α,β,0]]のPDFがPDF[GammaDistribution[α,β],x]のPDFと厳密に等しいという意味で，GammaDistributionの変換(TransformedDistribution)として実現することができる．この分布の対数的動作もまた，LogLogisticDistribution，LogMultinormalDistribution，LogNormalDistributionのそれと数量的に類似している．

例題

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例  (4)

確率密度関数：

累積分布関数：

平均と分散：

中央値：

スコープ  (8)

対数ガンマ分布から擬似乱数のサンプルを生成する：

そのヒストグラムを確率密度関数と比較する：

分布母数推定：

サンプルデータから分布母数を推定する：

サンプルの密度ヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

歪度は形状母数に依存する：

尖度は形状母数に依存する：

母数の関数としての閉形式の種々のモーメント：

Moment：

CentralMoment：

FactorialMoment：

Cumulant：

ハザード関数：

分位関数：

無次元のQuantityを使ってLogGammaDistributionを定義する：

アプリケーション  (1)

LogGammaDistributionを使って大きい州立大学の収入をモデル化する：

パートタイムとフルタイムの給与を調整し非零の値を選び，通貨単位を加える：

対数ガンマ分布をデータにフィットする：

データのヒストグラムを推定分布の確率密度関数(PDF)と比較する：

大規模州立大学の平均給与を求める：

給与が最高で$25,000である確率を求める：

給与が最低で$150,000である確率を求める：

給与の中央値を求める：

このような大学で無作為に選んだ100人の雇用者の給与のシミュレーションを行う：

特性と関係  (3)

対数ガンマ分布は正の因子による平行移動の下では閉じている：

他の分布との関係：

対数ガンマ分布はGammaDistributionに関連している：

ガンマ分布からの変換：

おもしろい例題  (1)

累積分布関数の等高線を持つ β のさまざまな値についての確率密度関数：

Wolfram Research (2010), LogGammaDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LogGammaDistribution.html （2016年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2010), LogGammaDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LogGammaDistribution.html （2016年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2010. "LogGammaDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/LogGammaDistribution.html.

APA

Wolfram Language. (2010). LogGammaDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/LogGammaDistribution.html

BibTeX

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BibLaTeX

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