LogGammaDistribution

LogGammaDistribution[α,β,μ]

表示形状参数为 α 和 β、定位参数为 μ 的对数伽玛分布.

更多信息

背景

  • LogGammaDistribution[α,β,μ] 表示一个连续统计分布，在区间 上成立，参数为非负实数 μ（被称为“位置参数”）和正实数 α 及 β（被称为“形状参数”），这些参数决定了概率分布函数(PDF)的整体行为. 取决于 α 和 β 的值，对数伽玛分布的 PDF 可能是单峰的，只有一个“峰值”（即全局最大值），也可能是向域内下边界处潜在的奇点单调减小. 此外，对于较大的 值，由于 PDF 按代数式减小，而不是指数式减小，PDF 的尾显得较 "厚". （通过分析分布的 SurvivalFunction，这种行为可被定量确定.）有时，人们会把密度和 ExpGammaDistribution 的 PDF 成正比的分布误认为是 LogGammaDistribution，尽管根据其 PDF 的双指数特性，可以将这种分布和对数伽玛分布区别开来.
  • The log-gamma distribution (with zero location parameter) is mathematically defined to be the distribution that models whenever XGammaDistribution. 1971年，在一篇由Consul 和 Jain 发表的论文中，指出可将对数伽玛分布用作一种近似工具，来确定两组正态分布的随机变量的独立性以及用来测试关于矩阵回归系数线性的假设. 同时，还可用对数伽玛分布对多种现象建模，其中包括收入分布、排队理论中的到达和离开时间，由此推广，在贝叶斯分析中被用作先验分布，当似然为非正态分布时，将关于参数之间相关性的先验知识包括进来.
  • RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的对数伽玛分布中的伪随机变数. Distributed[x,LogGammaDistribution[α,β,μ]]，更简洁的式子为 xLogGammaDistribution[α,β,μ]，可用来断定随机变量 x 服从对数伽玛分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
  • 通过使用 PDF[LogGammaDistribution[α,β,μ],x] 和 CDF[LogGammaDistribution[α,β,μ],x]，可以得到对数伽玛分布的概率密度和累积分布函数. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩.
  • 可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合对数伽玛分布，根据给定数据，用EstimatedDistribution 来估计对数伽玛参数分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成对数伽玛分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式对数伽玛分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式对数伽玛分布的分位数的比较图.
  • 可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的对数伽玛分布，用 CensoredDistribution 表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含对数伽玛分布的高维分布，ProductDistribution 可以计算由独立分布为对数伽玛分布所得的联合分布.
  • LogGammaDistribution 与许多别的分布有关系. 由于TransformedDistribution[Log[u+1],uLogGammaDistribution[α,β,0]] 的 PDF 和 PDF[GammaDistribution[α,β],x] 的 PDF 完全相同，LogGammaDistribution 可由 GammaDistribution 经变换(TransformedDistribution)得出. 在性质上，它的对数特性也和 LogLogisticDistribution、LogMultinormalDistribution 以及 LogNormalDistribution 的对数特性相似.

范例

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基本范例  (4)

概率密度函数：

累积分布函数：

均值和方差：

中位数：

范围  (8)

从对数伽玛分布中生成一个伪随机数样本：

比较其直方图与概率密度函数：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

比较样本的密度直方图和估计分布的概率密度函数：

偏度取决于形状参数：

峰度取决于形状参数：

以参数的函数形式表示不同矩量的解析式：

Moment:

CentralMoment:

FactorialMoment:

Cumulant:

风险函数：

分位数函数：

使用无量纲的 Quantity 来定义 LogGammaDistribution：

应用  (1)

利用 LogGammaDistribution 对大型州立大学的收入建模：

把兼职工资调整为全职工资，并且选择非零值：

对数据进行帕累托分布拟合：

比较数据直方图和估计分布的 PDF ：

求大型州立大学的平均工资：

求工资至多为 15000 美元的概率：

求工资至少为 150000 美元的概率：

求工资的中位数：

模拟一所这样的大学内100个随机选择的员工的工资情况：

属性和关系  (3)

当使用一个正因子为比例进行平移的情况下，新生成的分布仍然是对数伽玛分布：

与其它分布的关系：

对数伽玛分布与 GammaDistribution 相关：

对伽玛分布进行转换得到的分布：

巧妙范例  (1)

不同 β 值的概率密度函数，同时显示 CDF 等高线：

Wolfram Research (2010)，LogGammaDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LogGammaDistribution.html （更新于 2016 年）.

文本

Wolfram Research (2010)，LogGammaDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LogGammaDistribution.html （更新于 2016 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "LogGammaDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/LogGammaDistribution.html.

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Wolfram 语言. (2010). LogGammaDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/LogGammaDistribution.html 年

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