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MatrixNormalDistribution[Σrow,Σcol]

表示均值为零的矩阵正态分布，其行协方差矩阵为 Σrow，列协方差矩阵为 Σcol.

MatrixNormalDistribution[μ,Σrow,Σcol]

表示均值矩阵为 μ 的矩阵正态分布.

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MatrixNormalDistribution

MatrixNormalDistribution[Σrow,Σcol]

表示均值为零的矩阵正态分布，其行协方差矩阵为 Σrow，列协方差矩阵为 Σcol.

MatrixNormalDistribution[μ,Σrow,Σcol]

表示均值矩阵为 μ 的矩阵正态分布.

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范例

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基本范例  (2)

服从矩阵正态分布的样本矩阵：

Wolfram Language code: RandomVariate[MatrixNormalDistribution[{{3, 1, 1}, {1, 2, -1}, {1, -1, 4}}, {{1, -1 / 2}, {-1 / 2, 2}}]]

均值和方差：

Wolfram Language code: Mean[MatrixNormalDistribution[{{1, 4}, {6, 8}, {10, 2}}, DiagonalMatrix[{2, 1, 3}], {{2, 1}, {1, 3}}]]//MatrixForm
Wolfram Language code: Variance[MatrixNormalDistribution[{{1, 4}, {6, 8}, {10, 2}}, DiagonalMatrix[{2, 1, 3}], {{2, 1}, {1, 3}}]]//MatrixForm

范围  (7)

生成单个伪随机矩阵：

Wolfram Language code: RandomVariate[MatrixNormalDistribution[{{1, 1 / 3}, {1 / 3, 1}}, IdentityMatrix[3]]]

生成均值非零的单个伪随机矩阵：

Wolfram Language code: RandomVariate[MatrixNormalDistribution[{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}, {{1, 1 / 3}, {1 / 3, 1}}, IdentityMatrix[3]]]

生成一组伪随机矩阵：

Wolfram Language code: RandomVariate[MatrixNormalDistribution[{{1, 1 / 3}, {1 / 3, 1}}, IdentityMatrix[3]], 3]

提高精度：

Wolfram Language code: RandomVariate[MatrixNormalDistribution[{{1, 1 / 3}, {1 / 3, 1}}, IdentityMatrix[3]], WorkingPrecision -> 20]

分布参数估计：

Wolfram Language code: dist = MatrixNormalDistribution[{{3, 1}, {1, 2}}, ToeplitzMatrix[{4, 2, 1}]];sample = RandomVariate[dist, 10 ^ 3];

根据抽样数据估计分布参数：

Wolfram Language code: edist = EstimatedDistribution[sample, MatrixNormalDistribution[Array[row, {2, 2}], Array[col, {3, 3}]]]

比较两个分布的 LogLikelihood：

Wolfram Language code: LogLikelihood[#, sample]& /@ {edist, dist}

求最小的特征值 TemplateBox[{{lambda, _, {(, min, )}}}, Abs]>0.1` 的概率：

Wolfram Language code: NProbability[λmin > 0.1, λminMatrixPropertyDistribution[Min[Abs[Eigenvalues[m]]], mMatrixNormalDistribution[IdentityMatrix[10], IdentityMatrix[10]]]]

概率密度函数：

Wolfram Language code: dist = MatrixNormalDistribution[IdentityMatrix[2], DiagonalMatrix[{2, 1}]];PDF[dist, {{1., 2.}, {3, 4.}}]

绘制对角矩阵的 PDF：

Wolfram Language code: Plot3D[PDF[dist, DiagonalMatrix[{a, b}]], {a, -3, 3}, {b, -3, 3}]

偏度和峰度：

Wolfram Language code: Skewness[MatrixNormalDistribution[{{2, 1}, {1, 3}}, IdentityMatrix[3]]]//MatrixForm
Wolfram Language code: Kurtosis[MatrixNormalDistribution[{{2, 1}, {1, 3}}, IdentityMatrix[3]]]//MatrixForm

应用  (2)

可视化服从矩阵正态分布的样本矩阵：

Wolfram Language code: sigR = Covariance[ARProcess[{-0.95}, 1][Range[0, 100]]]; sigC = KroneckerProduct[IdentityMatrix[100, SparseArray], {{1, 1 / 2}, {1 / 2, 3}}]; vals = RandomVariate[MatrixNormalDistribution[sigR, sigC]];
Wolfram Language code: MatrixPlot[vals, PlotTheme -> "Minimal"]
Wolfram Language code: sigR = Covariance[ARProcess[{0.95}, 1][Range[0, 100]]]; sigC = KroneckerProduct[IdentityMatrix[100, SparseArray], {{1, 1 / 2}, {1 / 2, 3}}]; vals = RandomVariate[MatrixNormalDistribution[sigR, sigC]];
Wolfram Language code: MatrixPlot[vals, PlotTheme -> "Minimal"]

用矩阵正态分布来模拟向量自回归过程：

Wolfram Language code: sigR = Covariance[ARProcess[{a}, 1][Range[0, 100]]]; sigC = {{s11, s12}, {s12, s22}};
Wolfram Language code: rules = {a -> 1 / 2, s11 -> 1, s12 -> 1 / 2, s22 -> 3};
Wolfram Language code: dist = MatrixNormalDistribution[sigR, sigC] /. rules;
Wolfram Language code: vals = RandomVariate[dist, 10000];

用抽样值构建 TemporalData：

Wolfram Language code: td = TemporalData[vals, {0, Length[sigR] - 1, 1}, ValueDimensions -> 2];

估计对角向量自回归过程：

Wolfram Language code: proc = ARProcess[{a IdentityMatrix[2]}, {{s11, s12}, {s12, s22}}];
Wolfram Language code: sol = FindProcessParameters[td, proc]

与原来的值相比较：

Wolfram Language code: sol[[All, 2]] - rules[[All, 2]]

属性和关系  (6)

用正的倍增常数定义矩阵正态分布：

Wolfram Language code: sigr = {{2, 1}, {1, 4}}; sigc = ToeplitzMatrix[{9, 3, 1}]; 𝒟1 = MatrixNormalDistribution[sigr, sigc];

将行和列尺度矩阵乘以和除以一个正的常数所得的等价分布：

Wolfram Language code: c = 2; 𝒟2 = MatrixNormalDistribution[c * sigr, sigc / c];

计算分布的 PDF 在一个随机点的值：

Wolfram Language code: mat = RandomReal[{-10, 10}, {2, 3}]
Wolfram Language code: PDF[𝒟1, mat] == PDF[𝒟2, mat]

MatrixTDistribution[Σrow,Σcol,ν] 是 MatrixNormalDistribution[Σ,Σcol] 的参数混合分布，其中 服从 InverseWishartMatrixDistribution[ν+n-1,Σrow]：

Wolfram Language code: ν = 5; n = 3; Σr = IdentityMatrix[n]; Σc = IdentityMatrix[2]; invW = InverseWishartMatrixDistribution[ν + n - 1, Σr];

产生一个服从 MatrixNormalDistribution 和 InverseWishartMatrixDistribution 的参数混合分布的样本：

Wolfram Language code: sampleSize = 10 ^ 3; sigmas = RandomVariate[invW, 10 ^ 3]; sample = Table[RandomVariate[MatrixNormalDistribution[s, Σc]], {s, sigmas}];

把样本数据拟合到 MatrixTDistribution：

Wolfram Language code: edist = EstimatedDistribution[sample, MatrixTDistribution[Array[s1, {3, 3}], Array[s2, {2, 2}], nu]]

计算与相应的 MatrixTDistribution 相比所得的对数似然比统计量：

Wolfram Language code: ratio = LogLikelihood[edist, sample] - LogLikelihood[MatrixTDistribution[Σr, Σc, ν], sample]

对数似然比服从 ChiSquareDistribution，其中的参数等于自由度的数量：

Wolfram Language code: dof = (Length[Σr] + 1) * Length[Σr] / 2 + (Length[Σc] + 1) * Length[Σc] / 2 + 1

计算对数似然比检验的 -值：

Wolfram Language code: pval = SurvivalFunction[ChiSquareDistribution[dof], 2ratio]

从具有独立的行的矩阵正态分布中抽样：

Wolfram Language code: mat = RandomVariate[MatrixNormalDistribution[IdentityMatrix[10 ^ 3, SparseArray], {{1, -1 / 2}, {-1 / 2, 2}}]];

对假设进行检验，即行服从具有列协方差矩阵的多维正态分布：

Wolfram Language code: BaringhausHenzeTest[mat, MultinormalDistribution[{0, 0}, {{1, -1 / 2}, {-1 / 2, 2}}], "TestConclusion"]

从具有独立的行的矩阵正态分布中抽样：

Wolfram Language code: mat = RandomVariate[MatrixNormalDistribution[IdentityMatrix[10 ^ 3, SparseArray], {{1, -1 / 2}, {-1 / 2, 2}}]];

对假设进行检验，即行服从具有列协方差矩阵的多维正态分布：

Wolfram Language code: BaringhausHenzeTest[mat, MultinormalDistribution[{0, 0}, {{1, -1 / 2}, {-1 / 2, 2}}], "TestConclusion"]

从具有独立的行的矩阵正态分布中抽样：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[MatrixNormalDistribution[IdentityMatrix[3], {{1, -1 / 2}, {-1 / 2, 2}}], 10 ^ 5];

对样本行间协方差的计算显示不同的行是两两独立的：

Wolfram Language code: Round[Table[Covariance[data[[All, i]], data[[All, j]]], {i, 3}, {j, 3}], 0.05]//MatrixForm

对样本列间协方差的计算显示不同的列是相关的：

Wolfram Language code: Round[Table[Covariance[data[[All, All, i]], data[[All, All, j]]], {i, 2}, {j, 2}], 0.05]//MatrixForm

通过把值为矩阵的随机变量组成的行结合在一起，矩阵正态分布可被视为多变量正态分布：

Wolfram Language code: Subscript[Σ, r] = {{2, 1}, {1, 3}}; Subscript[Σ, c] = {{1, 1 / 2}, {1 / 2, 3}};
Wolfram Language code: mats = RandomVariate[MatrixNormalDistribution[Subscript[Σ, r], Subscript[Σ, c]], 5000];
Wolfram Language code: vecs = Flatten[mats, {{1}, {2, 3}}];

向量化的随机矩阵的协方差矩阵是 和 的克罗内克积：

Wolfram Language code: DistributionFitTest[vecs, MultinormalDistribution[{0, 0, 0, 0}, KroneckerProduct[Subscript[Σ, r], Subscript[Σ, c]]], {"TestDataTable", All}]

可能存在的问题  (1)

可用倍增尺度常数定义矩阵正态分布. 估计参数可能与指定基本分布的参数不太一样：

Wolfram Language code: sigr = ToeplitzMatrix[{4, 2, 1}]; sigc = DiagonalMatrix[{3, 1}]; dist = MatrixNormalDistribution[sigr, sigc];

从矩阵正态分布中抽样：

Wolfram Language code: sample = RandomVariate[dist, 10 ^ 4];

估计分布：

Wolfram Language code: edist = EstimatedDistribution[sample, MatrixNormalDistribution[Array[s1, {3, 3}], Array[s2, {2, 2}]]];

比较估计的尺度参数与基本分布的尺度参数：

Wolfram Language code: MatrixForm /@ {esigr = First[edist], sigr}
Wolfram Language code: MatrixForm /@ {esigc = edist[[2]], sigc}

尺度矩阵的克罗内克积较为接近：

Wolfram Language code: NumberForm[KroneckerProduct[sigr, sigc] - KroneckerProduct[esigr, esigc]//MatrixForm, 4]

分布的 LogLikelihood 表明这是一个成功的估计：

Wolfram Language code: LogLikelihood[#, sample]& /@ {dist, edist}
Wolfram Research (2015)，MatrixNormalDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/MatrixNormalDistribution.html （更新于 2017 年）.

文本

Wolfram Research (2015)，MatrixNormalDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/MatrixNormalDistribution.html （更新于 2017 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2015. "MatrixNormalDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2017. https://reference.wolfram.com/language/ref/MatrixNormalDistribution.html.

APA

Wolfram 语言. (2015). MatrixNormalDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/MatrixNormalDistribution.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_matrixnormaldistribution, author="Wolfram Research", title="{MatrixNormalDistribution}", year="2017", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/MatrixNormalDistribution.html}", note=[Accessed: 14-November-2026]}

BibLaTeX

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