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MittagLefflerE

MittagLefflerE[α,z]

Mittag–Leffler関数を与える．

MittagLefflerE[α,β,z]

一般化されたMittag–Leffler関数を与える．

詳細

MittagLefflerEは記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
MittagLefflerEは，通常，常微分方程式の解におけるExpと同じように非整数階微分方程式の解で使われる．
MittagLefflerEでは，は任意の実数でよい．
一般化されたMittag–Leffler関数はその定義級数 $TemplateBox[{alpha, beta, z}, MittagLefflerE2]=sum_(k=0)^inftyz^k/TemplateBox[{{{alpha, , k}, +, beta}}, Gamma]$ によって与えられるの整関数である．
Mittag–Leffler関数はに等しい．
MittagLefflerEは自動的にリストに縫い込まれる． »

例題

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例 (5)

数値的に評価する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

スコープ (34)

数値評価 (7)

数値的に評価する：

の負の値について評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

高精度で効率的に評価する：

自動縫込みを使って配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のMittagLefflerE関数を計算することもできる：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算する：

特定の値 (5)

簡単な厳密値は自動的に生成される：

記号的に評価する：

MittagLefflerEは，との小さい整数値について初等関数で表すことができる：

その他の場合にはFunctionExpandを使う：

無限大における値：

MittagLefflerE[1/2,x]=0.5となるような x の値を求める：

可視化 (3)

MittagLefflerE関数をの整数値についてプロットする：

MittagLefflerE関数をの非整数値についてプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性 (8)

はすべてのと実数について定義される：

MittagLefflerEの複素領域も同じである：

MittagLefflerEは鏡特性を持つ：

MittagLefflerEは要素単位でリストに縫い込まれる：

MittagLefflerEはのときは解析関数である：

のときは特異で不連続である：

は単射である：

は全射ではない：

は非負である：

はに簡約される：

微分 (3)

z についての一次導関数：

z についての高次導関数：

a=1/4のとき，z についての高次導関数をプロットする：

パラメータについての微分にFunctionExpandを使う：

積分 (2)

MittagLefflerEの不定積分：

その他の積分：

級数展開 (2)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

生成点におけるテイラー展開：

非整数階微分方程式 (3)

MittagLefflerEは定数係数を持つ非整数階偏微分方程式の解の表示において重要な役割を果たす：

解を確かめる：

解をプロットする：

階数が異なる2つのCaputo導関数を含む定数係数を持つ非整数階微分方程式を解く：

ベクトル形式の2つの非整数階常微分方程式を解く：

解をプロットする：

解をパラメトリックにプロットする：

積分変換 (1)

特定のMittagLefflerE関数のラプラス変換：

-領域におけるComplexPlot：

InverseLaplaceTransformを適用して時間領域に変換し直し，初期式を得る：

アプリケーション (5)

分数指数を持つ代数関数のInverseLaplaceTransformはMittagLefflerEで表すことができる：

についてMittag–Leffler確率変量を定義する：

Mittag–Leffler確率変量は正定値確率変量に関連している：

確率変量を生成し，ヒストグラムを分布密度と比較する：

行列とベクトル：

与えられた行列とベクトルからKrylov行列を計算する関数を定義する：

行列の固有値を計算する：

一定係数を持つ線形Caputo微分方程式はKrylov行列およびVandermonde行列の逆行列とともにMittagLefflerEを使って解くことができる：

DSolveValueを使っても同じ結果が得られることを確認する：

Carlitzは，順列を個の増加要素が連続して続き，その後に個の増加要素が続く順列として定義した．以下の図は，，の場合を示している：

長さ8のすべての順列を生成する：

長さ8の(3,2)順列の数を数える：

Olivier関数を定義する：

順列の数についての母関数はOlivier関数の比として表現できる．母関数を使って長さ8の(3,2)順列の数を数える：

普遍ケプラー(Kepler)方程式を使って初期時点からの時点における周回体の位置と速度が予測できる．次は，初期時点からの火星の太陽を中心とした位置と速度ベクトルである：

位置のマグニチュードと速度ベクトルを計算する：

初期動径速度を計算する：

vis-viva 方程式から半長軸の逆数を計算する：

8時間後の火星の位置と速度を推定する：

ケプラー方程式の普遍式に出現するStumpff関数を定義する：

普遍ケプラー方程式から「普遍異常」について解く：

普遍異常からラグランジュ(Lagrange)係数を計算する：

8時間後の位置ベクトルを計算する：

真の値と比較する：

時間についてラグランジュ係数の導関数を計算する：

8時間後の速度ベクトルを計算する：

真の値と比較する：

特性と関係 (4)

Mittag–Leffler関数は微分のもとで閉じている：

関数は，小さい非負の整数については初等関数に簡約される：

のより大きい非負の整数値については，HypergeometricPFQによって結果が与えられる：

非負の半整数については，はHypergeometricPFQ関数の和に簡約される：

Mittag–Leffler関数の定義和：

この和はの特定の値についてHypergeometricPFQ関数の観点から書かれているかもしれない：

これをMittagLefflerE出力と比較する：

MittagLefflerE関数族はFoxHによって表すことができる：

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