Norm

Norm[expr]

数，ベクトル，行列のノルムを与える．

Norm[expr,p]

ノルムを与える．

詳細とオプション

空白のテンプレートは，normで，はnorm2で入力できる． »
Norm[expr]は，Norm[expr,p]はとフォーマットできる． »
複素数の場合，Norm[z]はAbs[z]である．
ベクトルの場合，Norm[v]はSqrt[v.Conjugate[v]]である． »
ベクトルの場合，Norm[v,p]はのときTotal[Abs[v]^p]^(1/p)である．
ベクトルの場合，Norm[v,Infinity]はMax[Abs[v]]で与えられるノルムである． »
行列の場合，Norm[m]はスペクトルノルムあるいは演算子ノルムを与えるが，これは m の最大特異値である． »
次は，行列のノルム指定である．

	1	誘導ノルム，演算子ノルム
	2	スペクトルノルム，演算子ノルム
	Infinity	誘導ノルム，演算子ノルム
	"Frobenius"	フロベニウス(Frobenius)ノルムあるいはヒルベルト・シュミットノルム

行列のノルムはその列のノルムの最大値である．一方，行列のノルムはその行のノルムの最大値である． »
フロベニウスノルムは，行列 m の要素から形成されるベクトルのノルム，つまりNorm[Flatten[m]]を計算する． »　
NormはSparseArrayオブジェクトあるいは構造化配列オブジェクトとともに使うことができる． »

例題

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例 (3)

二次元ベクトルのノルム：

Wolfram Language code: Norm[{3, 4}]

三次元ベクトルのノルム：

Wolfram Language code: Norm[{x, y, z}]

複素数のノルム：

Wolfram Language code: Norm[-2 + I]

スコープ (16)

ベクトル (7)

記号ベクトルのノルム：

Wolfram Language code: Norm[{1, 2 + x, y}]

要素が実数であると仮定して簡約する：

Wolfram Language code: Simplify[%, {x, y}∈Reals]

複素数値ベクトルのノルム：

Wolfram Language code: Norm[{1 + I, 2 - 3I, 4}]

（有限）ノルム：

Wolfram Language code: Norm[{x, y, z}, p]

ノルム：

Wolfram Language code: Norm[{-10, 0, 5}, Infinity]

非整数を使ってノルムを計算する：

Wolfram Language code: Norm[{1, 2, 3}, 1.5]

vは整数のベクトルである：

Wolfram Language code: v = {1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1};

厳密演算でノルムを計算する：

Wolfram Language code: Norm[v]

近似機械数演算を使う：

Wolfram Language code: Norm[N[v]]

35桁精度演算を使う：

Wolfram Language code: Norm[N[v, 35]]

構造化ベクトルのノルム：

Wolfram Language code: Norm[QuantityArray[{3, 4, 5 }, "Meters"]]

20次元の疎なベクトルのノルム：

Wolfram Language code: Norm[SparseArray[{1 -> 5, 10 -> 500}, {20}], ∞]

行列 (6)

最大特異値に等しい，行列のノルム：

Wolfram Language code: Norm[{{2, 1.5}, {3, 5}}]

Wolfram Language code: SingularValueList[{{2, 1.5}, {3, 5}}]

実数値パラメータについての記号行列のノルム：

Wolfram Language code: Refine[Norm[{{1, x}, {3, 4}}], x∈Reals]

実数値を仮定せずにノルムを計算した場合，結果ははるかに複雑になる：

Wolfram Language code: LeafCount /@ {%, Norm[{{1, x}, {3, 4}}]}

行列のノルムは，その行列の列のノルムの最大値である：

Wolfram Language code:

Norm[(|   |   |   |
| - | - | - |
| a | b | c |
| d | e | f |
| g | h | i |), 1]

行列のノルムは，その行列の行のノルムの最大値である：

Wolfram Language code:

Norm[(|   |   |   |
| - | - | - |
| a | b | c |
| d | e | f |
| g | h | i |), Infinity]

行列のフロベニウスノルム：

Wolfram Language code:

Norm[(|   |   |
| - | - |
| a | b |
| c | d |), "Frobenius"]

構造化行列のノルム：

Wolfram Language code: id = IdentityMatrix[10 ^ 5]

Wolfram Language code: Norm[id]

恒等行列の3つの誘導ノルムはすべて一致する：

Wolfram Language code: Norm[id] == Norm[id, 1] == Norm[id, ∞]

フロベニウスノルムは独特で，次元の平方根に等しくなる：

Wolfram Language code: Norm[id, "Frobenius"]

SparseArrayオブジェクトとして表された三角行列のスペクトルノルム：

Wolfram Language code: s = SparseArray[{{i_, i_} -> -2, {i_, j_} /; Abs[i - j] == 1 -> 1}, {50, 50}]

Wolfram Language code: Norm[s]

フォーマット (3)

normと入力してテンプレートを作り，次にベクトルを入力してそのノルムを計算する：

Wolfram Language code: {1, 2, 3}

norm2と入力してテンプレートを挿入する．次にを押して各位置に移動する：

Wolfram Language code: Norm[{1, 2, 3}, 1]

出力のフォーマット：

Wolfram Language code: Norm[v]

Wolfram Language code: Norm[v, 2]

フロベニウスノルムにはそれ専用のフォーマットがある：

Wolfram Language code: Norm[x, "Frobenius"]

アプリケーション (3)

単位正方形内の始点からランダムな点までの平均距離を推定する：

Wolfram Language code: pts = RandomReal[1, {10 ^ 3, 2}];

Wolfram Language code: ListPlot[pts]

Wolfram Language code: Mean[Map[Norm, pts]]

漸近的な結果と比較する：

Wolfram Language code: NIntegrate[Sqrt[x ^ 2 + y ^ 2], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]

悪条件の線形系を既知の解で解く：

Wolfram Language code:

m = N[HilbertMatrix[20]];
b = m.Range[20];
x = LinearSolve[m, b]

剰余のノルムを求める：

Wolfram Language code: Norm[m.x - b]

実誤差のノルムを求める：

Wolfram Language code: Norm[x - Range[20]]

個の空間点と個の時間ステップでの解を近似する：

Wolfram Language code:

f0[x_]  :=   Exp[-(10( x - 1 / 2)) ^ 2];
α = 0.1;
heat[n_, k_] := Module[{u, m, dt = 1 / k}, 
	m = SparseArray[{{i_, i_} -> -2.dt n ^ 2, {i_, j_} /; Abs[i - j] == 1 -> 1.dt n ^ 2}, {n - 1, n - 1}, 0.];
	minv = LinearSolve[SparseArray[{i_, i_} -> 1., {n - 1, n - 1}] - α m];
	xgrid = N[Range[n - 1] / n];
	u  = f0[xgrid];
	Do[u = minv[u], {k}] ;
	u]

2番目が2倍のステップ数になるようなが固定された2つの解を求める：

Wolfram Language code:

u1 = heat[100, 10];
u2 = heat[100, 20];

差分のノルムで誤差を推定する：

Wolfram Language code: Norm[u1 - u2]

後退オイラー法の一階収束からよりよい結果を補外する：

Wolfram Language code: u3 = 2 u2 - u1;

Wolfram Language code: ListPlot[Transpose[{xgrid, u3}]]

NDSolveを使ってより正確な解を計算する：

Wolfram Language code:

sol = First[u /. NDSolve[{D[u[t, x], t] == α D[u[t, x], x, x], u[0, x] == Exp[-(10( x - 1 / 2)) ^ 2], u[t, 0] == u[t, 1] == 0}, u, {t, 0, 1}, {x, 0, 1}]]

3つの解の誤差を比較する：

Wolfram Language code: und = sol[1, xgrid];

Wolfram Language code: {Norm[u1 - und], Norm[u2 - und], Norm[u3 - und]}

特性と関係 (7)

ノルムは常に非負である：

Wolfram Language code: FullSimplify[Norm[x] >= 0]

vのノルムはDot積の平方根に等しい：

Wolfram Language code: v = RandomComplex[1 + I, {3}];

Wolfram Language code: Norm[v] == Sqrt[v. Conjugate[v]]

ベクトルのデフォルトのノルムは2ノルムである：

Wolfram Language code: With[{v = RandomReal[1, 10]}, Norm[v] === Norm[v, 2]]

これは，行列についても言える：

Wolfram Language code: With[{m = RandomReal[1, {19, 19}]}, Norm[m] === Norm[m, 2]]

はの減少関数である：

Wolfram Language code: v = RandomReal[1, {100}];

Wolfram Language code: LogLinearPlot[Norm[v, p], {p, 1, 100}, PlotRange -> All]

極現値はノルムで，Max[Abs[v]]に等しい：

Wolfram Language code: Underscript[, p -> ∞]Norm[v, p] == Norm[v, ∞] == Max[Abs[v]]

行列ノルムはすべての単位ベクトルvについてm.v のノルムの最大値である：

Wolfram Language code: m = RandomReal[9, {3, 3}];

Wolfram Language code: Block[{v = {x, y, z}}, Maximize[{Norm[m.v], Norm[v] == 1}, v]]

Wolfram Language code: Norm[m]

これはの最大特異値にも等しい：

Wolfram Language code: SingularValueList[m, 1]

フロベニウスのノルムは行列の要素から作られたベクトルのノルムに等しい：

Wolfram Language code: m = RandomReal[1, {9, 10}];

Wolfram Language code: Norm[m, "Frobenius"]

Wolfram Language code: Norm[Flatten[m]]

Norm[m,Infinity]は，行列 m についてはMax[Total/@Abs/@m]として計算できる：

Wolfram Language code: With[{m = RandomReal[1, {10, 10}]}, Norm[m, ∞] == Max[Total /@ Abs /@ m]]

これは，行のノルムを計算してその最大値を取ることに等しい：

Wolfram Language code: With[{m = RandomReal[1, {10, 10}]}, Norm[m, ∞] == Max[Norm[#, 1]& /@ m]]

Norm[m,1]はMax[Total/@Abs/@Transpose[m]]として計算できる：

Wolfram Language code: With[{m = RandomReal[1, {10, 10}]}, Norm[m, 1] == Max[Total /@ Abs /@ Transpose[m]]]

これは，列のノルムを計算してその最大値を取ることに等しい：

Wolfram Language code: With[{m = RandomReal[1, {10, 10}]}, Norm[m, 1] == Max[Norm[#, 1]& /@ Transpose[m]]]

考えられる問題 (2)

大規模行列についてノルムを計算するのは高くつく：

Wolfram Language code: m = RandomReal[1, {1000, 1000}];

Wolfram Language code: Timing[Norm[m]]

必要なものが推定だけの場合はノルムおよびノルムにすると非常に速くなる：

Wolfram Language code: Timing[{Norm[m, 1], Norm[m, ∞]}]

一般的なベクトルのノルムはAbsを含む：

Wolfram Language code: Norm[{x, y, z}]

SimplifyとFullSimplifyを使って実数値パラメータを仮定してより簡単な答を得る：

Wolfram Language code: Simplify[%, {x, y, z}∈Reals]

おもしろい例題 (2)

1，2，3，ノルムを使った単位球：

Wolfram Language code: Table[RegionPlot[Norm[{x, y}, p] ≤ 1, {x, -1.5, 1.5}, {y, -1.5, 1.5}, FrameTicks -> None], {p, {1, 2, 3, Infinity}}]

異なるノルム関数：

Wolfram Language code: Table[Plot3D[Norm[{x, y}, p], {x, -1.5, 1.5}, {y, -1.5, 1.5}, Mesh -> None, Ticks -> None], {p, {1, 2, 3, Infinity}}]

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