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ParametricNDSolve

ParametricNDSolve[eqns,u,{x,x_min,x_max},pars]

求解常微分方程 eqns 对于函数 u 的数值解，其中自变量 x 在范围 x_min 到 x_max 内，参数为 pars.

ParametricNDSolve[eqns,u,{x,x_min,x_max},{y,y_min,y_max},pars]

在矩形区域上求解偏微分方程 eqns.

ParametricNDSolve[eqns,u,{x,y}∈Ω,pars]

在区域 Ω 上求解偏微分方程 eqns.

ParametricNDSolve[eqns,u,{t,t_min,t_max},{x,y}∈Ω,pars]

在区域 Ω 上求解时间相关偏微分方程 eqns.

ParametricNDSolve[eqns,{u₁,u₂,…},…]

求解函数 u_i.

更多信息和选项

ParametricNDSolve 给出具有 ParametricFunction 对象的结果.
{pspec₁,pspec₂,…} 的参数 pars 的规范可用于指定范围.
pspec_i 的可能形式为：

	p	p 值为 Reals 或 Complexes
	Element[p,Reals]	p 值为 Reals
	Element[p,Complexes]	p 值为 Complexes
	Element[p,{v₁,…}]	p 具有离散值 {v₁,…}
	{p,p_min,p_max}	p 值为

在 ParametricNDSolve[eqns,{u₁,u₂,…},…] 中，u_i 可以是任意表达式. 通常，u_i 间接通过微分方程的解依赖于参数，但是可能显式依赖于参数. 返回一个列表的 ParametricFunction 对象可以通过使用 ParametricNDSolve[eqns,{{u₁,u₂,…}},…] 或者使用 ParametricNDSolveValue[eqns,{u₁,u₂,…},…] 得到.
由此得出关于参数的 ParametricFunction 对象的导数会尽可能地组合使用符号和数值灵敏度方法进行计算.
ParametricNDSolve 接受与 NDSolve 同样的选项和设置.
根据方程组的类型，NDSolve 和 ParametricNDSolve 通常通过多个不同的阶段求解微分方程组. 当 Method->{s₁->m₁,s₂->m₂,…} 时，阶段 s_i 由方法 m_i 处理. 基于所要解决的问题，实际使用的阶段和顺序是由 NDSolve 决定的.
可能的解阶段与 NDSolve 是一样的，但还包括：
"ParametricCaching" 缓存计算的解

"ParametricSensitivity" 关于参数导数的计算

所有选项的列表

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

获取 y 的参数解：

用 a 的数值值计算给出 y 的近似函数解：

计算时间为的值：

绘制多个不同参数值的解：

获取参数 a 的函数，它给出在时函数 f 的值：

绘制作为参数 a 的函数 f[10] 的值：

求 y[10]=0 时 a 的值：

显示微分方程的解对参数的灵敏度：

关于 a 的灵敏度随着 t 的增加而增加：

关于 b 的灵敏度不随 t 而增加：

范围 (5)

参数相关性 (3)

ParametricNDSolve 返回 ParametricFunction 对象的一个替换：

获取的解：

绘制的解的图线：

绘制当位于从到的范围内时的解的图线：

初始条件可以指定为参数：

当的值位于从到的范围内时，绘制满足和的解的图线：

当的值位于从到的范围内时，绘制满足和的解的图线：

可用参数指定微分方程的系数和边界条件：

绘制的解，的值从到，，：

参数灵敏度 (2)

在参数式幅度下，求解经典谐振子：

绘制当和附近的某些值时的解的图线：

关于的灵敏度被定义为 . 绘制处的灵敏度图线：

当时，绘制灵敏度作为解附近的带时的图线：

具有多个参数的微分方程的灵敏度分析：

绘制关于，处初始条件的灵敏度：

绘制关于，处初始条件的灵敏度：

推广和延伸 (1)

针对不同的 WorkingPrecision 值求解 , 并绘制误差：

选项 (2)

Method (2)

ParametricCaching (1)

不缓存解以便节约内存：

没有缓存，唯一需要的额外内存是用于处理方程组：

默认情况下是缓存最近计算的解：

有缓存时，需要的内存会更大：

ParametricSensitivity (1)

指定不要计算灵敏度：

计算函数很快得到结果：

没有计算导数：

应用 (10)

参数扫描 (4)

求初始值，微分方程的解将具有：

求具有的解：

检验结果解：

比较参数 s 的附近值：

求边界值问题 , , 的多个解. 首先考虑的多个可能的值：

运行参数扫描，确定的重要解：

使用上图的近似初始值：

绘制求得的解：

求的所有特征值和特征函数，其中 . 通过探索可能的参数值开始：

求的精确解：

绘图：

求的值，满足 , 的解在从到范围内有最小弧长. 首先，绘制的值在从 0 到 1 范围内的解：

绘制和解的弧长的关系：

对于的最小弧长解似乎出现在处：

求局部最小值，出现在附近：

绘制（局部）最小弧长相应的解，以及附近的某些解的图线：

参数灵敏度 (4)

微调微分方程中的一个参数，并且查看所得的几个微调后的解：

绘制灵敏度解的图线给出质量上相同的结果：

仿真由振荡基底稳定的倒立摆：

关于振幅 a 的灵敏度随着时间的增长而增大：

热方程，的参数相关性：

求灵敏度和：

绘制相应的灵敏度带的图线：

通过改变解曲面的颜色，表明 a 和 c 的灵敏度：

求洛仑兹方程对参数的灵敏度：

参数拟合 (2)

取样微分方程的解并添加噪声：

用三角模型拟合噪声数据：

二次模型更合适：

求使微分方程的解最佳拟合数据的参数：

来自冷却体的数据，因此使用牛顿冷却定律：

属性和关系 (1)

使用 SystemModelParametricSimulate 模拟更大的分层系统模型：

用两组电阻和弹簧阻尼器参数模拟：

比较产生的角速度：

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