Power

x^y

x の y 乗を与える．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • の形式の解に，可能な限り，厳密な有理数の結果が与えられる．
  • 複素数 x と y についてPowerは，の主値を与える． »
  • (a b)^c は，c が整数の場合に限って自動的に a^c b^c に変換される．
  • (a^b)^c は，c が整数の場合に限って自動的に a^(b c)に変換される．
  • 特別な引数の場合，Powerは自動的に厳密値を計算する．
  • Powerは任意の数値精度で評価できる．
  • Powerは自動的にリストに縫い込まれる．
  • Power[x,y]は，複素 x 平面のから0の範囲において非整数 y について不連続な分枝切断線を持つ．
  • Power[x,y,z,…]はPower[x,Power[y,z,…]]と解釈される．
  • PowerはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

予備知識

  • Powerは，式を与えられた数で累乗する数学関数である．式Power[x,y]は通常短縮形のシンタックス x^y を使って表される，あるいは2Dタイプセット形式で xy として書かれる．ある数の1乗は，それ自体に等しく()，1の複素ベキは1に等しい()．ベキ関数の逆関数は，Logで与えられるので， を について解くと，の主要解が返される．
  • 式を2乗する操作は,「平方」として,式の3乗は「立方」として知られる．ベキを含む数量を組み合せる規則は，指数規則と呼ばれ，与えられたベキに底を累乗することは，累乗法として知られる．Power，Exp，Log，およびその関連関数を含む多くの式は，自動的に簡約されるか，SimplifyまたはFullSimplifyを使って簡約される．PowerExpandを使って形式的展開および関連の簡約化を行い，ExpToTrigを使ってPower式の三角法形式を得ることができる．
  • 関数Sqrt[x]は，Power[x,1/2]を使って表される．自然対数の底Eを使った累乗法は，Exp[x]として入力されるが，Power[E,x]を使って表される．
  • Power[x,y]は，非整数 y についての複素 x 平面でから0まで変化する y の分岐線法の非連続性を持つ．この分岐線法のため，Power[x,1/n]はデフォルトで負の実数 x と奇数の正の数 n について，実数根の代りに複素根を返す．実数値の n 乗根を得るためには，Surd[x,n]を使う．特殊形CubeRoot[x]は，Surd[x,3]に対応する．

例題

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例  (6)

数値的に評価する：

を使って上付き文字として入力する：

明示的なFullForm：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

特異点における漸近展開：

スコープ  (46)

数値評価  (9)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

結果の最初の百万桁を効率的に計算する：

必要な場合は複素数が生成される：

主根は常に使われる：

これは，として定義されたPowerの一般定義に基づいている：

Surdを使って実根を得ることができる：

複素数入力：

Powerは要素単位でリストと行列に縫い込まれる：

PowerはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算する：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のPower関数を計算することもできる：

特定の値  (4)

ゼロにおける値：

結果は の実部に応じて0または無限大になる：

したがって，以下は不定である：

無限大における極限値：

記号的に評価する：

Power[x,3]=0.5であるような x の値を求める：

結果を可視化する：

可視化  (5)

関数を，いくつかの整数 n について実数上でプロットする：

の実部と虚部を実数上でプロットする：

(Power[x,])と (CubeRoot[x]) の実部と虚部を実数上で比較する：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

を使った極プロット：

関数の特性  (11)

は，のすべての実数 について定義される：

のときは，整数 についてしか定義されない：

非零の については， の整関数である：

の関数範囲：

Powerは右結合である：

右辺の形式が望ましい形である：

Powerは，複素平面上で第2引数において周期的である：

分岐における極限を求める：

固定の正の整数 については，は の解析関数である：

負の整数 については解析的ではないが有理型ではある：

非整数 については，有理型でさえない：

固定の非零の実数 については，は の解析関数である：

2変数関数としては，は解析的でも有理型でもない：

は については増加する：

については減少する：

は，についてを除いては単射である：

について可視化する：

は の任意の値について実数への全射ではない：

について可視化する：

は について正である：

は偶数の について非負である：

は または について一般的な特異点を持つ：

しかし，について で連続的である：

は について凸である：

は正の偶数 について凸である：

微分  (4)

x についての一次導関数：

x についての高次導関数：

高次導関数を x についてプロットする：

x についての 次導関数の式：

第2引数についての導関数：

次導関数：

積分  (3)

Integrateを使って不定積分を計算する：

不定積分を確かめる：

定積分：

その他の積分例：

級数展開  (4)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

SeriesCoefficientを使った級数展開の一般項：

一次フーリエ(Fourier)級数：

生成点におけるテイラー展開：

関数の恒等式と簡約  (6)

主定義：

オイラーの公式：

Exp関数との結合：

ネストしたベキは常に自動的に結合されるわけではない：

PowerExpandを使って強制的に簡約する：

以下は不正な結果を生成することがある：

あるいは，Simplifyで適切な仮定を使う：

積は自動的に繋がれる：

実変数 x および y を仮定して展開する：

アプリケーション  (5)

5%複利：

側 の立方体と同じ体積の球の半径を求める：

複素逆ベキの等高線プロット：

有理関数の積分をLogについて求める：

有理係数がある変数を持つ微分方程式を解く：

特性と関係  (26)

平方根の等価形式：

根のベキは全体的に自動的に簡約される：

ベキの根は自動的には簡約されない：

Power[x,1/n]またはを使って主複素根を求める：

Surd[x,n]を使って n 番目の実根を求める：

仮定をもって簡約する：

PowerExpandを使って形式的に簡約する：

すべての複素数 に有効な結果を得る：

ExpToTrigを使って三角法の形を求める：

単独の根に簡約する：

SolveまたはRootを使ってすべての根を求める：

Expandを使って多項式のベキに展開する：

ベキは自動的に級数に適用される：

ベキを含む方程式には無限に多くの解があることがある：

逆数や平方根等は自動的にベキに変換される：

指数関数はベキに変換される：

のベキをマッチする：

の場合を含む：

複素平面上の分数ベキの分枝切断線構造：

ベキが代数的かどうかテストする：

積分：

積分変換：

総和：

微分方程式：

Powerは多くの数学関数の特殊形に現れる：

PowerはDifferenceRootとして表すことができる：

Powerの級数展開における一般項：

Powerの母関数：

FindSequenceFunctionはPower数列を認識する：

Powerの指数母関数：

考えられる問題  (13)

Powerは常に主根を計算する：

ベキは一般的に根の逆ではない：

近似値の場合，虚部が生成される：

Chopを使って小さい虚部を削除する：

分枝切断線によってこの関数は不連続になる：

しかし，この導関数は一般的に簡約すると0になる：

機械精度の場合，分枝切断線上で不正確な数値結果が与えることがある：

機械数による入力は任意精度の結果を与えることがある：

ベキは非常に大きくなることがある：

ベキの中にはどのようなコンピュータにとっても大きすぎるものもある：

ベキは不定式を与えることがある：

各結果の精度は零の精度によって決まる：

1の記号ベキは1が厳密数あるいは機械精度数である場合にのみ評価される：

デフォルト設定での数値操作ではこのベキは簡約できない：

機械精度数の評価では不十分である：

より高い内部精度を使うと結果が結合される：

非有理数のベキは級数に吸収されない：

Powerは行列に対して要素単位で適用される：

行列のベキにはMatrixPowerを使う：

おもしろい例題  (3)

連続するベキをプロットする：

連続する指数塔を生成する：

そのような塔の引数の等高線プロット：

の指数塔の大きさ：

極限を求める：

極限について解く：

Wolfram Research (1988), Power, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Power.html （2021年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), Power, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Power.html （2021年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "Power." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/Power.html.

APA

Wolfram Language. (1988). Power. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Power.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_power, author="Wolfram Research", title="{Power}", year="2021", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Power.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

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