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Power

x^y

给出关于的次幂.

更多信息

数学函数，适宜于符号和数值运算.
对形如的可能的根给出精确的有理数结果.
对于复数和， Power 给出的主值. »
仅当是一个整数时，自动转换为 .
仅当是一个整数时，自动转换为 .
对于某些特殊参数，Power 自动计算出精确值.
Power 可求任意数值精度的值.
Power 自动逐项作用于列表的各个元素.
对于非整数，Power[x,y] 在复平面上一个从到 0 的分支切割.
Power[x,y,z,…] 被视为 Power[x,Power[y,z,…]].
Power 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

背景

Power 是一个计算表达式给定幂次的数学函数，称为指数函数. 表达式 Power[x,y] 通常通过速记语法被表示为 x^y 的形式或输入为 2D 排版形式 x^y. 一个数的一次方等于它自身（），而 1 的任意复数次方都等于 1（）. 指数函数的反函数由 Log 给出，所以求满足方程的值，主解是 .
求一个表达式二次幂的操作被称为“平方”而求一个表达式三次幂的操作被称为“立方”. 结合包含幂次的量的运算法则被称为指数律，而把一个底数提升到给定幂次的过程被称为乘方. 许多涉及 Power、Exp、Log 和相关函数的表达式会被自动化简而其余则可能需要用 Simplify 或 FullSimplify 化简. PowerExpand 可被用于进行形式化的展开和相关化简，而 ExpToTrig 可被用于求 Power 表达式的三角函数形式.
函数 Sqrt[x] 是用 Power[x,1/2] 表示的. 使用自然对数 E 为底的乘幂可被输入为 Exp[x] 但实际是用 Power[E,x] 表示的.
对非整数的 y，Power[x,y] 在复 x 平面上对 y 由一个从到 0 的不连续的分支切割. 因为这个分支切割，对负实数值的 x 和正奇数 n，Power[x,1/n] 默认返回复数根而不是实数根. 要得到实数值的第 n 个根，可以用 Surd[x,n]. 特例 CubeRoot[x] 对应的是 Surd[x,3].

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (6)

数值化计算：

用输入一个上标：

明确的 FullForm：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在奇点处的渐近展开式：

范围 (46)

数值计算 (9)

数值化计算：

高精度计算：

高效计算结果的前一百万位：

必要时产生复数：

总是使用主根：

下面的式子遵循 Power 的广义定义，：

可用 Surd 来获取实根：

复数输入：

Power 逐项作用于列表和矩阵的各个元素：

Power 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用：

用 Around 计算普通的统计区间：

逐项计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Power 函数：

特殊值 (4)

零处的值：

取决于的实部，结果可以是 0 或无穷：

因此下式的结果不确定：

无穷处的极限值：

符号计算：

求当 Power[x,3]=0.5，x 的值：

可视化结果：

可视化 (5)

n 取不同的整数值，在实数上绘制函数：

绘制实域的实部和虚部：

在实数上比较 (Power[x,]) 和 (CubeRoot[x]) 的实部和虚部：

绘制的实部：

绘制的虚部：

的极坐标图：

函数的属性 (11)

当，为所有实定义：

只定义当时的整数：

对于非零复数，它是的整个函数：

的函数范围：

Power 是右结合：

右侧的形式是首选形式：

Power 在复平面上第二个参数上是周期性的：

求分支切割处的极限：

对于固定的正整数，是的解析函数：

它不是解析函数，但对于负整数仍然是亚纯函数：

对于非整数，它甚至不是亚纯函数：

对于固定的非零实数，是的解析函数：

作为二元函数，既不是解析函数也不是亚纯函数：

对于，是增函数：

对于，它是减函数：

是单射的，除外:

可视化：

对于的任何值，都不是实数上的满射函数：

可视化：

对于，为正：

对于偶数，是非负的：

对于或，具有一般奇点：

但是，当时，它在处是连续的：

对于，是凸函数：

对于正偶数，是凸函数：

微分 (4)

关于 x 的一阶导数：

关于 x 的高阶导数：

绘制关于 x 的高阶导数：

关于 x 的阶导数的公式：

关于第二个参数的导数：

阶导数：

积分 (3)

用 Integrate 计算不定积分：

验证反导数：

定积分：

更多积分：

级数展开 (4)

用 Series 求泰勒展开式：

绘制附近的前三个近似式：

用 SeriesCoefficient 获取级数展开式的通项：

一阶傅立叶级数：

普通点处的泰勒展开式：

函数恒等式和化简 (6)

主定义：

欧拉公式：

与 Exp 函数的关系：

并不总是自动将嵌套的幂组合起来：

用 PowerExpand 强制进行组合：

这可能会导致错误的结果：

也可以用含有合适假设的 Simplify：

自动组合乘积：

假设 x 和 y 为实变量的情况下进行展开：

应用 (5)

5% 的复利：

求与边为的正方体具有同样体积的球体的半径：

复逆幂的等高线图：

求有理函数的用 Log 表示的的积分：

求解具有可变有理系数的微分方程：

属性和关系 (26)

方根的等价形式：

自动化简根的幂形式：

不能自动化简根的幂形式：

使用 Power[x,1/n] 或求主值负根：

使用 Surd[x,n] 求 n 次方实根：

有假设条件的化简：

用 PowerExpand 处理正式化简：

获得对所有复数有效的结果：

用 ExpToTrig 获得三角形式：

化简成单个根：

用 Solve 或 Root 求所有根：

用 Expand 将多项式的幂展开：

将幂自动应用到级数：

关于幂的方程有无穷多的解：

倒数、平方根等自动转换为幂：

将指数转换为幂：

与的幂的匹配：

包含：

在复平面上对于分数幂的分支线结果：

测试幂是否是代数：

积分：

积分转换：

求和：

微分方程：

在许多数学函数的特例中显示 Power：

Power 可被表示为 DifferenceRoot：

Power 的级数展开式中的一般项：

Power 的母函数：

FindSequenceFunction 可以识别 Power 序列：

Power 的指数母函数：

可能存在的问题 (13)

Power 通常计算主根：

一般幂不是根的逆：

对于近似数，生成虚部：

用 Chop 删除较小的虚部：

分支线使得这个函数不连续：

它的导数一般为 0：

机器精度在分支线上给出错误的数值结果：

机器数输入可以给出任意精度的结果：

幂可以非常大：

某些幂对于计算过大：

幂可以给出不确定的表达式：

每个结果的精度由零的精度确定：

1 的符号幂仅当 1 为精确值或机器精度数的情况下计算：

数值幂某些时候不能求解：

机器精度的数值计算是不充分的：

更高的内部精度求出结果：

非有理幂不能在级数中使用：

Power 按元素作用于矩阵：

对于矩阵幂用 MatrixPower：

巧妙范例 (3)

绘制连续幂：

产生塔状的连续幂：

参数为塔状幂的等高线图：

的塔状的幂：

求极限：

对极限求解：

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