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Series
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Series

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Series[f,{x,x0,n}]

生成 f 关于点 x=x0 的幂级数展开式，最高次数为 (x-x0)n，其中 n 是显式整数.

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Series[f,xx0]

生成 f 关于点 x=x0 的幂级数展开式的首项.

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Series[f,{x,x0,nx},{y,y0,ny}]

求出连续的先关于 x 然后关于 y 的幂级数展开式.

更多信息和选项

  • Series 可以建立标准的泰勒级数，以及包含负数次幂、分数次幂和对数的特定展开式.
  • Series 检测奇点. On[Series::esss] 使 Series 产生关于奇点的信息.
  • Series 可在点 x=∞ 处展开.
  • 根据公式 ，Series[f,{x,0,n}] 构造任意函数 f 的泰勒展开式.
  • Series 用 D 有效地计算偏导数. 它假定不同的变量是独立的.
  • Series 的结果通常是一个可以在其它函数中处理的 SeriesData 对象.
  • Normal[series] 截取幂级数并把它转换为一个普通表达式.
  • SeriesCoefficient[series,n] 求出 n 次项的系数.
  • 可给出以下选项：
  • Analytic True是否将无法识别的函数视为解析函数
    Assumptions $Assumptions关于参数的假设
    SeriesTermGoalAutomatic近似式的项数

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)常见实例总结

指数函数关于 的幂级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-y10
Out[1]=1

转换为普通表达式：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-pu5
Out[2]=2

任意函数关于 的幂级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-u3o
Out[1]=1
In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-fxk
Out[1]=1

在级数的一些操作中，仅保留适当项：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-f9c
Out[2]=2

求幂级数的首项：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-c9h0ye
Out[1]=1

范围  (10)标准用法实例范围调查

单元系列  (10)

Series 可以处理分数幂和对数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-smh
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-wpj
Out[2]=2

通常使用符号参数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-fe4
Out[1]=1

产生负数次幂的 Laurent 级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-npt
Out[1]=1

按指定的负数幂截取级数：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-y7v
Out[2]=2

求出特定函数的幂级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-luu
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-wyj
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-l5k
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-zfv
Out[4]=4
In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-dm6
Out[5]=5
In[6]:=6
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-qqw
Out[6]=6

求出函数在分支点的级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-gso
Out[1]=1

当 x 假设位于分支点的左边，给出一个简单的结果：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-g7p
Out[2]=2

分段函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-s08
Out[1]=1

在无穷处的幂级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-xyb
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-lvg
Out[2]=2

Series 可以给出渐近线级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-one
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-idx
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-ln2
Out[3]=3

方程隐式解的级数展开：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-j82
Out[1]=1

不计算的积分的级数展开：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-hg8
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-gsm
Out[2]=2

推广和延伸  (4)推广和延伸使用的实例

二元幂级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-flo
Out[1]=1

Series 按元素线性作用于列表：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-d9u
Out[1]=1

Series 产生 SeriesData 表达式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-gw

Series 可以作用于近似数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-iet
Out[1]=1

选项  (4)各选项的常用值和功能

Analytic  (1)

缺省下 Series 假设函数是解析的：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-tvx
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-lhs
Out[2]=2

Assumptions  (3)

用 Assumptions 指定应用展开的复平面上的区域：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-gly
Out[1]=1

无假设时，分段函数的显示：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-jgh
Out[2]=2

在 Stokes 区域上获得级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-jbnfyu
Out[1]=1
In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-k4jjxl
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-gcwza
Out[2]=2

应用  (8)用该函数可以解决的问题范例

绘制近似于 的连续级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-c0o
Out[1]=1

求出标准复合问题的级数展开：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-ozt
Out[1]=1

从生成函数中求出 Fibonacci 数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-p6o
Out[1]=1

通过展开生成函数求出 Legendre 多项式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-i6o
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-ekg
Out[2]=2

用 U.S. coins 建立一个生成函数，列举改变的方式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-ba
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-p3p
Out[2]=2

关于 $1 改变方式的数量：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-grl
Out[3]=3

在较长多项式中求出最低项：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-n4g
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-ug6
Out[2]=2

用牛顿近似法求出 f[x] 在 周围的高次项：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-nny
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-dbu
Out[2]=2

绘制近似 Exp[x] 的级数的零：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-it48a0
Out[1]=1

属性和关系  (10)函数的属性及与其他函数的关联

Series 通常将项保持到指定次数为止：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-hht
Out[1]=1

级数的操作仅对适当的项起作用：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-l16
Out[2]=2

Normal 转换为普通多项式：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-2a
Out[3]=3

任何数学函数可以应用到级数中：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-xu0
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-n7
Out[2]=2

增加低次项会导致高次项的丢失：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-fy4
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-snt
Out[2]=2

级数的微分：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-pra
Out[1]=1

求解级数系数的方程：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-i76
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-x06
Out[2]=2

求出级数中系数的列表：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-vi5
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-c4m
Out[2]=2

用 O[x] 强调级数的构建：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-pd3
Out[1]=1

ComposeSeries 将一个级数作为一个函数，应用到另一个级数中：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-wp3
Out[1]=1

InverseSeries 执行级数的逆操作，求出级数逆函数的级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-dab
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-wtu
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-nu2
Out[3]=3

使用 FunctionAnalytic 检验函数是否为解析函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-cy6veu
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-fc791q
Out[2]=2

解析函数可以在其定义域的每个点上表示为泰勒级数：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-b8crv7
Out[3]=3

所得的多项式在 0 附近逼近 ：

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-b997hn
Out[4]=4

可能存在的问题  (7)常见隐患和异常行为

当存在奇点，Series 将尽可能的因式分解：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-x5p
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-t7x
Out[2]=2

数值量不能直接被级数中展开变量替代：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-ucc
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-sp1
Out[2]=2

用 Normal 获取可以执行替代的普通表达式：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-hav
Out[3]=3

在绘制前，级数必须转换为普通表达式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-clf
Out[1]=1

不同展开点的幂级数不能组合：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-h3z
Out[1]=1

不是所有级数可以用有头部 SeriesData 的表达式来表示：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-u1l
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-u18

某些函数不能分解成类幂函数的级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-ina
Out[1]=1

Series 没有改变独立于扩展变量的表达式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-dv7hth
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0gipeq-kne4zm
Out[2]=2
Wolfram Research (1988)，Series，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html （更新于 2020 年）.
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Wolfram Research (1988)，Series，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html （更新于 2020 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，Series，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html （更新于 2020 年）.

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Wolfram Research (1988)，Series，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html （更新于 2020 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Series." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html.

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Wolfram 语言. 1988. "Series." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). Series. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html 年

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Wolfram 语言. (1988). Series. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2025_series, author="Wolfram Research", title="{Series}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html}", note=[Accessed: 06-April-2025 ]}

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@misc{reference.wolfram_2025_series, author="Wolfram Research", title="{Series}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html}", note=[Accessed: 06-April-2025 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2025_series, organization={Wolfram Research}, title={Series}, year={2020}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html}, note=[Accessed: 06-April-2025 ]}

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@online{reference.wolfram_2025_series, organization={Wolfram Research}, title={Series}, year={2020}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Series.html}, note=[Accessed: 06-April-2025 ]}