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SumConvergence[f,n]

総和 が収束する条件を与える．

SumConvergence[f,{n1,n2,…}]

多重総和 が収束する条件を与える．

SumConvergence[f,{n,a,∞}]

総和 が区間で収束する条件を与える．

SumConvergence[f,{n,a,∞},…,{m,b,∞}]

多重総和 が収束する条件を与える．

詳細とオプション
Details and Options Details and Options
例題  
例  
スコープ  
数値総和  
パラメータ総和  
区間上の収束  
オプション  
Method  
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SumConvergence

SumConvergence[f,n]

総和 が収束する条件を与える．

SumConvergence[f,{n1,n2,…}]

多重総和 が収束する条件を与える．

SumConvergence[f,{n,a,∞}]

総和 が区間で収束する条件を与える．

SumConvergence[f,{n,a,∞},…,{m,b,∞}]

多重総和 が収束する条件を与える．

詳細とオプション

  • 次のオプションが使える．
  • Assumptions$Assumptionsパラメータに対して行う仮定
    Direction1総和の方向
    Method Automatic収束判定に使うメソッド
  • Methodの可能な値
  • "IntegralTest"積分テスト
    "RaabeTest"ラーベ(Raabe)の判定法
    "RatioTest"ダランベール(D'Alembert)の比検定法
    "RootTest"コーシー(Cauchy)のベキ根判定法
  • デフォルト設定のMethod->Automaticでは，種々のクラスの数列に特有の多くの付加的判定法が使われる．
  • 多重総和では，収束判定は各独立変数について行われる．

例題

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例  (4)

総和 の収束判定：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n, n]

の収束を判定する：

Wolfram Language code: SumConvergence[3 ^ n n ^ 2 / n!, n]

が収束する条件を求める：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ α, n]

総和の収束をテストする：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 2, {n, 1, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 2, {n, 0, ∞}]

が収束する条件を求める：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n - a) ^ 2, {n, 5, Infinity}]

スコープ  (16)

数値総和  (8)

指数的，すなわち幾何学的総和：

Wolfram Language code: SumConvergence[(-1 / 2) ^ n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[2 ^ n, n]

部分和をプロットする：

Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[(-1 / 2) ^ n, {n, 0, k}], {k, 25}, PlotRange -> All, AxesOrigin -> {0, 0}]

多項式指数総和：

Wolfram Language code: SumConvergence[(1 / 2) ^ n n ^ 3, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(1 / 2) ^ n n ^ 10, n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[(1 / 2) ^ n n ^ 10, {n, 0, k}], {k, 50}]

有理総和：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(n + 3) / ((n ^ 2 + 2)(n + 1)), n]

収束図：

Wolfram Language code: {DiscretePlot[Sum[1 / n, {n, 1, k}], {k, 25}], DiscretePlot[Sum[(n + 3) / ((n ^ 2 + 2)(n + 1)), {n, 1, k}], {k, 1, 25}]}

特殊関数：

Wolfram Language code: SumConvergence[HarmonicNumber[n] / ((2n + 1)(3n + 1)), n]
Wolfram Language code: SumConvergence[PolyGamma[n] / n!, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[Zeta[n] (-1) ^ n / Log[n], n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[Zeta[n] (-1) ^ n / Log[n], {n, 2, k}], {k, 25}]

区分関数：

Wolfram Language code: SumConvergence[Max[1 / n, 1 / n ^ 2] + UnitStep[7 - n] / n ^ 4, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(1/n^2 + Floor[(n/1 + n) + Floor[(12/1 + n^2)]]), n]
Wolfram Language code: SumConvergence[Boole[n ^ 2 < 1000]n, n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[Boole[n ^ 2 < 1000] n, {n, k}], {k, 50}]

アーベル(Abel)・ディニ(Dini)のスケールで緩やかに収束する総和：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n Log[n] Log[Log[n]]), n]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n Log[n]Log[Log[n]] ^ 2), n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[1 / (n Log[n]Log[Log[n]] ^ 2), {n, 10, k}], {k, 10, 100}]

交代和：

Wolfram Language code: SumConvergence[(-1) ^ n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(-1) ^ n / (2n + 1), n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[(-1) ^ n / (2n + 1), {n, 0, k}], {k, 25}]

複素数値を持つ総和：

Wolfram Language code: SumConvergence[Exp[n 2Pi I / 8] / n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n ^ 2 + I n + 2I), n]
Wolfram Language code: {DiscretePlot[s = Sum[Exp[n 2Pi I / 8] / n, {n, k}];{Re[s], Im[s]}, {k, 25}], DiscretePlot[s = Sum[1 / (n ^ 2 + I n + 2I), {n, k}];{Re[s], Im[s]}, {k, 25}]}

パラメータ総和  (6)

指数級数すなわち幾何級数：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / x ^ n, n]

収束のパラメータ領域：

Wolfram Language code: {With[{x = u + I v}, RegionPlot[Abs[x] < 1, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}]], With[{x = u + I v}, RegionPlot[Abs[x] > 1, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}]]}

ベキ級数：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n / n!, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(-3) ^ n x ^ (2 n) / n, n]

の収束範囲：

Wolfram Language code: SumConvergence[(x / 2) ^ n, n] && SumConvergence[x ^ (-n), n]
Wolfram Language code: With[{x = u + I v}, RegionPlot[Abs[x] < 2 && Abs[x] > 1, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}]]

結合級数：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ (x + 1), n] && SumConvergence[(x / 2) ^ n, n] && SumConvergence[1 / x ^ n, n]
Wolfram Language code: With[{x = u + I v}, RegionPlot[Re[x] > 0 && Abs[x] < 2 && Abs[x] > 1, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}]]

区分総和：

Wolfram Language code: SumConvergence[Piecewise[{{a ^ n, n ≥ 0}, {b ^ n, n < 0}}]z ^ n, n]
Wolfram Language code: RegionPlot[Abs[a z] < 1, {a, -2, 2}, {z, -2, 2}]

z=u+ vが複素数であると仮定する：

Wolfram Language code: With[{z = u + I v}, RegionPlot3D[Abs[a z] < 1, {a, -2, 2}, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}, AxesLabel -> {a, u, v}]]

多価総和：

Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n b ^ m, {n, m}]
Wolfram Language code: RegionPlot[Abs[a] < 1 && Abs[b] < 1, {a, -2, 2}, {b, -2, 2}]

区間上の収束  (2)

さまざまな区間におけるの収束をテストする：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 3, {n, 1, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 3, {n, 0, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 3, {n, a, ∞}]

さまざまな区間におけるパラメトリック和の収束をテストする：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (3n + a) ^ 2, {n, 1, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (3n + a) ^ 2, {n, -1, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (3n + a) ^ 2, {n, -∞, ∞}]

オプション  (10)

Method  (10)

比判定法を使っての収束を判定する：

Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n / n!, n, Method -> "RatioTest"]

比判定法を使っての収束を判定する：

Wolfram Language code: SumConvergence[(2n + 1)! / ((5 n)! n), n, Method -> "RatioTest"]

この場合は，比検定では結論が出ない：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n, n, Method -> "RatioTest"]

ベキ根判定法を使っての収束を判定する：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n / n, n, Method -> "RootTest"]

ベキ根判定法を使っての収束を判定する：

Wolfram Language code: SumConvergence[((2n + 3/5n - 4))^n, n, Method -> "RootTest"]

この場合はベキ根判定法では結論が出ない：

Wolfram Language code: SumConvergence[(1 - 1 / n) ^ n, n, Method -> "RootTest"]

ラーベの判定法は有理関数に適している：

Wolfram Language code: SumConvergence[n / (n ^ 3 + 2n + 1), n, Method -> "RaabeTest"]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / Sqrt[n], n, Method -> "RaabeTest"]
Wolfram Language code: SumConvergence[(Underoverscript[∏, k = 1, n](2 k - 1)/Underoverscript[∏, k = 1, n]2 k), n, Method -> "RaabeTest"]

この場合は，ラーベの判定法では結論が出ない：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n, n, Method -> "RaabeTest"]

積分判定法を使っての収束を判定する：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / Log[n] ^ 2, n, Method -> "IntegralTest"]

積分判定法を使っての収束を判定する：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n Log[n] Log[Log[n]] ^ 2), n, Method -> "IntegralTest"]

この場合は，積分判定法では結論が出ない：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / Prime[n], n, Method -> "IntegralTest"]

アプリケーション  (3)

ベキ級数の収束半径を求める：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n, n]
Wolfram Language code: Sum[x ^ n, {n, 0, Infinity}, GenerateConditions -> True]

実数ベキ級数の収束区間を求める：

Wolfram Language code: SumConvergence[(x ^ n) / (n 3 ^ n), n]

実数ベキ級数として，これは区間[-3,3)で収束する：

Wolfram Language code: SumConvergence[(x ^ n) / (n 3 ^ n), n, Assumptions -> x∈Reals]

についてのラマヌジャン(Ramanujan)の式の収束を証明する：

Wolfram Language code: SumConvergence[Sqrt[8] / 9801(4n)!(1103 + 26390n) / (n!) ^ 4 / 396 ^ (4n), n]

この総和を求める：

Wolfram Language code: Sqrt[8] / 9801Sum[(4n)!(1103 + 26390n) / (n!) ^ 4 / 396 ^ (4n), {n, 0, Infinity}]

特性と関係  (4)

収束特性は定数の乗算には影響されない：

Wolfram Language code: {SumConvergence[2 1 / n, n], SumConvergence[1 / n, n]}

収束は引数の変換には影響されない：

Wolfram Language code: {SumConvergence[1 / n ^ 2, n], SumConvergence[1 / (n - 5) ^ 2, n]}

SumConvergenceはSumによって自動的に呼び出される：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 2, n]
Wolfram Language code: Sum[1 / n ^ 2, {n, ∞}]

Sumが生成する多くの条件は事実上収束条件である：

Wolfram Language code: Sum[x ^ n, {n, ∞}, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n, n]

VerifyConvergence->Falseの設定では，一般に正規化された値が返される：

Wolfram Language code: Sum[(-1) ^ n, {n, ∞}, VerifyConvergence -> False]

SumConvergenceはZTransformのように変換された総和に用いられる：

Wolfram Language code: ZTransform[a ^ n, n, z, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n z ^ (-n), n]

GeneratingFunction：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[a ^ n, n, x, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n x ^ n, n]

ExponentialGeneratingFunction：

Wolfram Language code: ExponentialGeneratingFunction[a ^ n n!, n, x, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n n! x ^ n / n!, n]

FourierSequenceTransform：

Wolfram Language code: FourierSequenceTransform[a ^ n UnitStep[n], n, ω, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n Exp[-I n ω], n]

おもしろい例題  (1)

条件付きで収束する周期総和：

Wolfram Language code: f[n_, p_] := (Mod[n, p] - Mean[Mod[Range[0, p - 1], p]]) / Log[n]
Wolfram Language code: Table[SumConvergence[f[n, p], n], {p, 3, 30, 5}]
Wolfram Language code: Table[DiscretePlot[Sum[f[n, p], {n, 2, m}], {m, 2, 75}, PlotLabel -> (Mod[n, p] - Mean[Mod[Range[0, p - 1], p]]) / Log[n]], {p, 3, 30, 5}]
Wolfram Research (2008), SumConvergence, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html （2025年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2008), SumConvergence, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html （2025年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2008. "SumConvergence." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2025. https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html.

APA

Wolfram Language. (2008). SumConvergence. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_sumconvergence, author="Wolfram Research", title="{SumConvergence}", year="2025", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html}", note=[Accessed: 06-September-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_sumconvergence, organization={Wolfram Research}, title={SumConvergence}, year={2025}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html}, note=[Accessed: 06-September-2026]}