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SumConvergence[f,n]

给出和式 的收敛条件.

SumConvergence[f,{n1,n2,…}]

给出多重和式 的收敛条件.

SumConvergence[f,{n,a,∞}]

给出了和式 在区间 上收敛的条件.

SumConvergence[f,{n,a,∞},…,{m,b,∞}]

给出了多重和式 收敛的条件.

更多信息和选项
Details and Options Details and Options
范例  
基本范例  
范围  
数值和  
参数和  
区间收敛  
选项  
Method  
应用  
属性和关系  
巧妙范例  
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历史
按以下格式引用：

SumConvergence

SumConvergence[f,n]

给出和式 的收敛条件.

SumConvergence[f,{n1,n2,…}]

给出多重和式 的收敛条件.

SumConvergence[f,{n,a,∞}]

给出了和式 在区间 上收敛的条件.

SumConvergence[f,{n,a,∞},…,{m,b,∞}]

给出了多重和式 收敛的条件.

更多信息和选项

  • 可以使用下列选项：
  • Assumptions$Assumptions关于参数的假设
    Direction1求和的方向
    Method Automatic用于收敛测试的方法
  • Method 的可能值包括：
  • "IntegralTest"积分测试
    "RaabeTest"Raabe 测试
    "RatioTest"D'Alembert 比值测试
    "RootTest"柯西根值测试
  • 默认设置 Method->Automatic 时，将用到特别针对不同类型数列的一些附加测试.
  • 对于多重和，收敛测试针对每个独立变量进行.

范例

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基本范例  (4)

测试和式 的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n, n]

测试和式 的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[3 ^ n n ^ 2 / n!, n]

求出 收敛的条件：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ α, n]

测试和式 的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 2, {n, 1, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 2, {n, 0, ∞}]

求 的收敛条件：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n - a) ^ 2, {n, 5, Infinity}]

范围  (16)

数值和  (8)

指数和或几何和：

Wolfram Language code: SumConvergence[(-1 / 2) ^ n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[2 ^ n, n]

绘制部分和：

Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[(-1 / 2) ^ n, {n, 0, k}], {k, 25}, PlotRange -> All, AxesOrigin -> {0, 0}]

多项式指数和：

Wolfram Language code: SumConvergence[(1 / 2) ^ n n ^ 3, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(1 / 2) ^ n n ^ 10, n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[(1 / 2) ^ n n ^ 10, {n, 0, k}], {k, 50}]

有理和：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(n + 3) / ((n ^ 2 + 2)(n + 1)), n]

收敛图片：

Wolfram Language code: {DiscretePlot[Sum[1 / n, {n, 1, k}], {k, 25}], DiscretePlot[Sum[(n + 3) / ((n ^ 2 + 2)(n + 1)), {n, 1, k}], {k, 1, 25}]}

特殊函数：

Wolfram Language code: SumConvergence[HarmonicNumber[n] / ((2n + 1)(3n + 1)), n]
Wolfram Language code: SumConvergence[PolyGamma[n] / n!, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[Zeta[n] (-1) ^ n / Log[n], n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[Zeta[n] (-1) ^ n / Log[n], {n, 2, k}], {k, 25}]

分段函数：

Wolfram Language code: SumConvergence[Max[1 / n, 1 / n ^ 2] + UnitStep[7 - n] / n ^ 4, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(1/n^2 + Floor[(n/1 + n) + Floor[(12/1 + n^2)]]), n]
Wolfram Language code: SumConvergence[Boole[n ^ 2 < 1000]n, n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[Boole[n ^ 2 < 1000] n, {n, k}], {k, 50}]

在 Abel-Dini 尺度中缓慢收敛的和式：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n Log[n] Log[Log[n]]), n]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n Log[n]Log[Log[n]] ^ 2), n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[1 / (n Log[n]Log[Log[n]] ^ 2), {n, 10, k}], {k, 10, 100}]

交替和：

Wolfram Language code: SumConvergence[(-1) ^ n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(-1) ^ n / (2n + 1), n]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Sum[(-1) ^ n / (2n + 1), {n, 0, k}], {k, 25}]

复数值和式：

Wolfram Language code: SumConvergence[Exp[n 2Pi I / 8] / n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n ^ 2 + I n + 2I), n]
Wolfram Language code: {DiscretePlot[s = Sum[Exp[n 2Pi I / 8] / n, {n, k}];{Re[s], Im[s]}, {k, 25}], DiscretePlot[s = Sum[1 / (n ^ 2 + I n + 2I), {n, k}];{Re[s], Im[s]}, {k, 25}]}

参数和  (6)

指数级数或几何级数：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / x ^ n, n]

收敛的参数区域：

Wolfram Language code: {With[{x = u + I v}, RegionPlot[Abs[x] < 1, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}]], With[{x = u + I v}, RegionPlot[Abs[x] > 1, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}]]}

幂级数：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n / n!, n]
Wolfram Language code: SumConvergence[(-3) ^ n x ^ (2 n) / n, n]

的收敛区域：

Wolfram Language code: SumConvergence[(x / 2) ^ n, n] && SumConvergence[x ^ (-n), n]
Wolfram Language code: With[{x = u + I v}, RegionPlot[Abs[x] < 2 && Abs[x] > 1, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}]]

组合级数：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ (x + 1), n] && SumConvergence[(x / 2) ^ n, n] && SumConvergence[1 / x ^ n, n]
Wolfram Language code: With[{x = u + I v}, RegionPlot[Re[x] > 0 && Abs[x] < 2 && Abs[x] > 1, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}]]

分段和：

Wolfram Language code: SumConvergence[Piecewise[{{a ^ n, n ≥ 0}, {b ^ n, n < 0}}]z ^ n, n]
Wolfram Language code: RegionPlot[Abs[a z] < 1, {a, -2, 2}, {z, -2, 2}]

假设 z=u+ v 是复数：

Wolfram Language code: With[{z = u + I v}, RegionPlot3D[Abs[a z] < 1, {a, -2, 2}, {u, -2, 2}, {v, -2, 2}, AxesLabel -> {a, u, v}]]

一个多元变量和：

Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n b ^ m, {n, m}]
Wolfram Language code: RegionPlot[Abs[a] < 1 && Abs[b] < 1, {a, -2, 2}, {b, -2, 2}]

区间收敛  (2)

测试和式 在不同区间的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 3, {n, 1, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 3, {n, 0, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 3, {n, a, ∞}]

测试参数和在不同区间的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (3n + a) ^ 2, {n, 1, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (3n + a) ^ 2, {n, -1, ∞}]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (3n + a) ^ 2, {n, -∞, ∞}]

选项  (10)

Method  (10)

使用比值审敛法测试 的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n / n!, n, Method -> "RatioTest"]

使用比值审敛法测试 的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[(2n + 1)! / ((5 n)! n), n, Method -> "RatioTest"]

在下面这个例子中，比值测试不给出结论：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n, n, Method -> "RatioTest"]

使用根值审敛法测试 的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n / n, n, Method -> "RootTest"]

使用根值审敛法测试 的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[((2n + 3/5n - 4))^n, n, Method -> "RootTest"]

在这个例子中，根值测试不给出结论：

Wolfram Language code: SumConvergence[(1 - 1 / n) ^ n, n, Method -> "RootTest"]

Raabe 测试对有理函数很适用：

Wolfram Language code: SumConvergence[n / (n ^ 3 + 2n + 1), n, Method -> "RaabeTest"]
Wolfram Language code: SumConvergence[1 / Sqrt[n], n, Method -> "RaabeTest"]
Wolfram Language code: SumConvergence[(Underoverscript[∏, k = 1, n](2 k - 1)/Underoverscript[∏, k = 1, n]2 k), n, Method -> "RaabeTest"]

在这个例子中，Raabe 测试不给出结论：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n, n, Method -> "RaabeTest"]

使用积分审敛法测试 的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / Log[n] ^ 2, n, Method -> "IntegralTest"]

使用积分审敛法测试 的收敛性：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / (n Log[n] Log[Log[n]] ^ 2), n, Method -> "IntegralTest"]

在这个例子中积分项不给出结论：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / Prime[n], n, Method -> "IntegralTest"]

应用  (3)

求一个幂级数的收敛半径：

Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n, n]
Wolfram Language code: Sum[x ^ n, {n, 0, Infinity}, GenerateConditions -> True]

求一个实幂级数的收敛区间：

Wolfram Language code: SumConvergence[(x ^ n) / (n 3 ^ n), n]

该实幂级数收敛于区间 [-3,3)：

Wolfram Language code: SumConvergence[(x ^ n) / (n 3 ^ n), n, Assumptions -> x∈Reals]

证明关于 的 Ramanujan 公式收敛：

Wolfram Language code: SumConvergence[Sqrt[8] / 9801(4n)!(1103 + 26390n) / (n!) ^ 4 / 396 ^ (4n), n]

对它求和：

Wolfram Language code: Sqrt[8] / 9801Sum[(4n)!(1103 + 26390n) / (n!) ^ 4 / 396 ^ (4n), {n, 0, Infinity}]

属性和关系  (4)

乘以常数不会影响收敛属性：

Wolfram Language code: {SumConvergence[2 1 / n, n], SumConvergence[1 / n, n]}

收敛性不受变量平移的影响：

Wolfram Language code: {SumConvergence[1 / n ^ 2, n], SumConvergence[1 / (n - 5) ^ 2, n]}

SumConvergence 自动被 Sum 调用：

Wolfram Language code: SumConvergence[1 / n ^ 2, n]
Wolfram Language code: Sum[1 / n ^ 2, {n, ∞}]

Sum 产生的许多条件实际上是收敛条件：

Wolfram Language code: Sum[x ^ n, {n, ∞}, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[x ^ n, n]

在设置 VerifyConvergence->False 下，通常返回一个正则化值：

Wolfram Language code: Sum[(-1) ^ n, {n, ∞}, VerifyConvergence -> False]

SumConvergence 在和式变换中使用，例如 ZTransform：

Wolfram Language code: ZTransform[a ^ n, n, z, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n z ^ (-n), n]

GeneratingFunction：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[a ^ n, n, x, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n x ^ n, n]

ExponentialGeneratingFunction：

Wolfram Language code: ExponentialGeneratingFunction[a ^ n n!, n, x, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n n! x ^ n / n!, n]

FourierSequenceTransform：

Wolfram Language code: FourierSequenceTransform[a ^ n UnitStep[n], n, ω, GenerateConditions -> True]
Wolfram Language code: SumConvergence[a ^ n Exp[-I n ω], n]

巧妙范例  (1)

条件收敛的周期和：

Wolfram Language code: f[n_, p_] := (Mod[n, p] - Mean[Mod[Range[0, p - 1], p]]) / Log[n]
Wolfram Language code: Table[SumConvergence[f[n, p], n], {p, 3, 30, 5}]
Wolfram Language code: Table[DiscretePlot[Sum[f[n, p], {n, 2, m}], {m, 2, 75}, PlotLabel -> (Mod[n, p] - Mean[Mod[Range[0, p - 1], p]]) / Log[n]], {p, 3, 30, 5}]
Wolfram Research (2008)，SumConvergence，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html （更新于 2025 年）.

文本

Wolfram Research (2008)，SumConvergence，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html （更新于 2025 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2008. "SumConvergence." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2025. https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html.

APA

Wolfram 语言. (2008). SumConvergence. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_sumconvergence, author="Wolfram Research", title="{SumConvergence}", year="2025", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/SumConvergence.html}", note=[Accessed: 01-November-2026]}

BibLaTeX

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