UpperTriangularMatrix

UpperTriangularMatrix[umat]

将上三角矩阵 umat 转换为结构化数组.

更多信息和选项

  • 上三角矩阵，当表示为结构化数组时，允许高效存储和更高效的运算，包括 Det、Inverse 和 LinearSolve.
  • 上三角矩阵在求解线性方程组时出现，它们表示可以通过反向替换求解的简单方程组. 使用上三角矩阵和下三角矩阵的矩阵分解包括 LU、UU（科列斯基）和 QR 分解.
  • 对于 ，上三角矩阵 满足 .
  • 元素 uij 不必为数值型.
  • 上三角矩阵的逆矩阵也是上三角矩阵.
  • 上三角矩阵在矩阵乘法下是闭合的，所以 也是上三角矩阵.
  • 上三角矩阵的行列式由对角元素 的乘积给出.
  • 为 UpperTriangularMatrix 加速的运算包括：
  • Det时间
    Dot时间
    LinearSolve时间
  • 对于 UpperTriangularMatrix sa，以下属性 "prop" 可以作为 sa["prop"] 访问：
  • "Matrix"上三角矩阵，表示为一个全数组
    "Properties"支持的属性列表
    "Structure"结构化数组的类型
    "StructuredData"由结构化数组存储的内部数据
    "StructuredAlgorithms"具有结构化数组特殊方法的函数列表
    "Summary"摘要信息，表示为 Dataset
  • Normal[UpperTriangularMatrix[…]] 将上三角矩阵作为普通矩阵给出.
  • UpperTriangularMatrix[…,TargetStructure->struct] 以 struct 指定的格式返回上三角矩阵. 可能的设置包括：
  • Automatic自动选择返回结果的表示形式
    "Dense"用稠密矩阵表示矩阵
    "Sparse"用稀疏数组表示矩阵
    "Structured"用结构化数组表示矩阵
  • UpperTriangularMatrix[…,TargetStructureAutomatic] 等价于 UpperTriangularMatrix[…,TargetStructure"Structured"].

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (2)

构造一个上三角矩阵：

显示元素：

Normal 可以将 UpperTriangularMatrix 转换为其普通表示：

构造一个带有符号项的上三角矩阵：

显示元素：

获取行列式：

范围  (5)

UpperTriangularMatrix 对象包括提供有关矩阵信息的属性：

"Summary" 属性给出了矩阵信息的简要总结：

"StructuredAlgorithms" 属性列出了具有结构化算法的函数：

结构化算法通常较快：

计算行列式：

计算逆：

求解线性方程组：

计算特征值：

在适当时，结构算法返回另一个 UpperTriangularMatrix 对象：

对 ut 求逆给出另一个上三角矩阵：

对 ut 转置给出一个下三角矩阵：

ut 与其转置的乘积不再是三角矩阵：

从具有整数项的 SparseArray 构造上三角矩阵：

显示元素：

构造一个上三角复值矩阵：

计算行列式：

计算逆：

求解线性方程组：

计算特征值：

选项  (1)

TargetStructure  (1)

用稠密矩阵返回上三角矩阵：

用结构化数组返回上三角矩阵：

用稀疏数组返回上三角矩阵：

应用  (3)

显式计算希尔伯特矩阵的科列斯基因子的函数：

证明生成的矩阵与将 CholeskyDecomposition 应用于希尔伯特矩阵的结果相同：

验证将矩阵与其转置相乘得到希尔伯特矩阵：

海森堡群的元素可以用单位对角线的 3×3 上三角矩阵表示：

两个海森堡矩阵的乘积也是海森堡矩阵：

海森堡矩阵的逆矩阵也是海森堡矩阵：

用于计算矩阵的 LU 分解的函数：

计算分解：

验证分解：

属性和关系  (2)

对 UpperTriangularMatrix 转置生成 LowerTriangularMatrix：

UpperTriangularMatrix 的项被强制为最低精度：

可能存在的问题  (1)

全矩阵：

如果 a 不是明显的上三角矩阵，则 UpperTriangularMatrix[a] 不计算：

使用 UpperTriangularMatrix[UpperTriangularize[a]] 得到 a 的上三角部分：

巧妙范例  (2)

具有反阿达马（Hadamard）属性的上三角矩阵：

逆矩阵具有异常大的整数项：

逆矩阵的 Frobenius 范数大于原始矩阵的 Frobenius 范数：

构造一个 Wilkinson 三角矩阵：

它具有单位行列式：

然而矩阵是非常病态的：

Wolfram Research (2022)，UpperTriangularMatrix，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/UpperTriangularMatrix.html （更新于 2023 年）.

文本

Wolfram Research (2022)，UpperTriangularMatrix，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/UpperTriangularMatrix.html （更新于 2023 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2022. "UpperTriangularMatrix." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2023. https://reference.wolfram.com/language/ref/UpperTriangularMatrix.html.

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Wolfram 语言. (2022). UpperTriangularMatrix. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/UpperTriangularMatrix.html 年

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