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ArgMin

ArgMin[f,{x,y,…}]

f が最小になる位置 x_minを与える．

ArgMin[f,{x,y,…}]

f が最小になる位置{x_min,y_min,…}を与える．

ArgMin[{f,cons},{x,y,…}]

制約条件 cons の下で f が最小になる位置を与える．

ArgMin[…,x∈rdom]

x が領域 rdom 内にあるように制限する．

ArgMin[…,…,dom]

変数を，領域 dom（通常はRealsあるいはIntegers）に制限する．

詳細とオプション

ArgMinは与えられた制約条件に従って f の最小値を求める．
ArgMinは，通常，制約条件下で可能な最小値を求めるために使われる．分野によっては，最適な戦略，最良適合，最適な構成等と呼ばれることがある．

f と cons が線形または多項式の場合，ArgMinは常に最小値を求める．
制約条件 cons は以下の論理結合でよい．

	lhs==rhs	等式
	lhs>rhs, lhs≥rhs, lhs<rhs, lhs≤rhs	不等式 (LessEqual,…)
	lhsrhs, lhsrhs, lhsrhs, lhsrhs	ベクトル不等式 (VectorLessEqual,…)
	Exists[…], ForAll[…]	量化条件
	{x,y,…}∈rdom	領域指定

ArgMin[{f,cons},x∈rdom]は，事実上，ArgMin[{f,cons∧x∈rdom},x]に等しい．
x∈rdom については，Indexed[x,i]を使って別の座標に言及することができる．
次は，使用可能な領域 rdom である．

	Reals	実数スカラー変数
	Integers	整数スカラー変数
	Vectors[n,dom]	のベクトル変数
	Matrices[{m,n},dom]	の行列変数
	ℛ	幾何領域に制限されたベクトル変数

デフォルトで，すべての変数が実数であるとみなされる．
ArgMinは入力が厳密値の場合は厳密値を返す．入力が近似値の場合は自動的にNArgMinを呼び出す．
最小値が制約条件で定義された領域外で無限小にあるいは漸近的にしか達しなかった場合，ArgMinは最も近い指定可能な点を返す．
いくつかの点で同じ最小値に達したとしても，その中の1つしか返されない．
ArgMinは，制約条件が満足できない場合は{Indeterminate,Indeterminate,…}を返す．
N[ArgMin[…]]は，記号的には解けない最適化問題についてはNArgMinを呼び出す．

例題

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例 (5)

一変数関数が最小となる点を求める：

多変数関数が最小となる点を求める：

関数が制約条件の下で最小となる点を求める：

最小となる点をパラメータの関数として求める：

幾何学領域上で最小となる点を求める：

これをプロットする：

スコープ (36)

基本的な用法 (7)

制約条件のない実数上を最小にする：

リスト中に単一の変数が与えられていない場合，結果は最大値に達する値になる：

制約条件に従ってを最小にする：

制約条件は任意の論理結合を含むことがある：

非有界の問題：

実行不可能な問題：

下限値には達しないかもしれない：

ベクトル変数とベクトル不等式を使う：

一変数の問題 (7)

制約条件なしの一変数多項式の最小化：

制約条件付きの一変数多項式の最小化：

指数対数関数：

有界の条件上での解析関数：

周期関数：

三角関数と通約可能な周期の組合せ：

区分関数：

関数の特性情報を使って可解の制約条件がない問題：

多変数の問題 (9)

多変数線形制約条件付き関数の最小化：

線形分数制約条件付き関数の最小化：

制約条件なしの多項式の最小化：

制約条件付き多項式の最適化は常に解くことができる：

最小値には達しないかもしれない：

目的関数は非有界かもしれない：

制約条件を満足する点は存在しないかもしれない：

定量化された多項式制約：

代数的最小化：

有界超越関数の最小化：

区分関数の最小化：

凸最小化：

が半正定でとなるように凸目的関数を最小にする：

領域と最小化点をプロットする：

パラメトリック問題 (4)

パラメトリック線形最適化：

最小点の座標はパラメータの連続関数である：

パラメトリック二次最適化：

最小点の座標はパラメータの連続関数である：

制約条件なしのパラメトリック多項式の最小化：

制約条件付きのパラメトリック多項式の最小化：

整数上の最適化 (3)

一変数の問題：

整数線形計画化：

整数上の多項式の最小化：

領域上の最適化 (6)

領域上で最小化する：

これをプロットする：

2領域間の最短距離を求める：

これをプロットする：

三角形と楕円が交差する最小のを求める：

これをプロットする：

指定された3点を含む最小半径の円板を求める：

これをプロットする：

Circumsphereを使うと同じ結果が直接与えられる：

を使ってが内のベクトルであると指定する：

2領域間の最短距離を求める：

これをプロットする：

オプション (1)

WorkingPrecision (1)

厳密に最小となる点を求めるのには時間がかかる：

WorkingPrecision->100とすると，最小となる点の近似値を求めることができる：

アプリケーション (10)

基本的なアプリケーション (3)

周囲が最短である単位面積長方形の辺の長さを求める：

周囲が最短である単位面積三角形の辺の長さを求める：

周囲が最短となる三角形は正三角形である：

座標軸に最も近い放物線上の点を求める：

とのパラメータ間に特別な関係を想定する：

幾何学的距離 (6)

指定された点 p に最も近い領域 ℛ 内の点 q はArgMin[Norm[p-q],q∈ℛ]で与えられる．{1,1}に最も近いDisk[]内の点を求める：

これをプロットする：

標準的単位単体Simplex[2]内で{1,2}に最も近い点を求める：

これをプロットする：

標準的な単位球Sphere[]内で{1,1,1}に最も近い点を求める：

これをプロットする：

標準的単位単体Simplex[3]内で{-1,1,1}に最も近い点を求める：

これをプロットする：

最近点 p∈ および q∈ はArgMin[Norm[p-q],{p∈,q∈}]で求めることができる．Disk[{0,0}]およびRectangle[{3,3}]内の最も近い点を求める：

最近距離：

これをプロットする：

Line[{{0,0,0},{1,1,1}}]とBall[{5,5,0},1]内で最も近い点を求める：

最近距離：

これをプロットする：

幾何学的中心 (1)

ℛ⊆ⁿが全次元の領域の場合，Chebyshev center はSignedRegionDistance[ℛ,p]を最小にする，つまり，補領域の距離の否定である点 p∈ℛ である．Disk[]についてのChebyshev Centerを求める：

Rectangle[]についてのChebyshev Centerを求める：

特性と関係 (6)

Minimizeは最小値と最小となる点の両方の値を与える：

ArgMinは厳密に最小となる点を与える：

NArgMinは最小となる点を数値的に求めようとするが，極小となる点を求めることがある：

FindArgMinは始点によって極小となる点を求める：

メッセージが出ない限り，最小となる点は制約条件を満たしている：

与えられた点は点{2,}からの距離を最小にする：

最小値に達しなかった場合，ArgMinは境界上の値を与えることがある：

ここでは，y が無限大の方を向いているときに目的関数が最小値を向いている：

ArgMinは線形最適化問題を解くことができる：

LinearOptimizationは同じ問題を解くことができる：

RegionNearestを使い，指定された領域内の最近点を計算する：

これは，ArgMinを使っても計算することができる：

考えられる問題 (2)

有限の最小値には達しないかもしれない：

目的関数は有界ではないかもしれない：

制約条件を満たす点は存在しないかもしれない：

ArgMinは入力中に存在するすべての関数が実数値であることを必要とする：

方程式は満たすが平方根が実数ではない値は許されない：

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