AsymptoticIntegrate

AsymptoticIntegrate[f,x,xx0]

计算不定积分 的渐近逼近，x 以 x0 为中心.

AsymptoticIntegrate[f,{x,a,b},αα0]

计算不定积分 的渐近逼近，α 以 α0 为中心.

AsymptoticIntegrate[f,…,{ξ,ξ0,n}]

计算 n 阶渐近逼近.

更多信息和选项

  • 积分的渐近逼近亦被称为渐近展开式和摄动展开式. 其中有些展开式也可以用特定的方法来计算，如拉普拉斯方法、稳相法和最速下降法等.
  • 渐近逼近通常用于求解无法找到精确解的问题，或者为计算、比较和解释寻求更简单的答案.
  • AsymptoticIntegrate[f,…,xx0] 计算 f 的积分的渐近展开式中的首项. 使用 SeriesTermGoal 指定更多项.
  • 如果精确结果为 g[x]，在 x0 处的 n 阶渐近逼近为 gn[x]，那么当 xx0 时，结果为 AsymptoticLess[g[x]-gn[x],gn[x]-gn-1[x],xx0] 或 g[x]-gn[x]∈o[gn[x]-gn-1[x]].
  • 渐近逼近 gn[x] 常以和 gn[x]αkϕk[x] 的形式给出，其中 {ϕ1[x],…,ϕn[x]} 是当 xx0 时的渐近尺度 ϕ1[x]≻ϕ2[x]≻⋯>ϕn[x]. 当 xx0 时，结果为 AsymptoticLess[g[x]-gn[x],ϕn[x],xx0] 或 g[x]-gn[x]∈o[ϕn[x]].
  • 常见的渐近尺度包括：
  • Taylor 尺度，当 xx0 时
    Laurent 尺度，当 xx0 时
    Laurent 尺度，当 x±∞ 时
    Puiseux 尺度，当 xx0 时
  • 用于表示渐近逼近的尺度是从问题中自动推断出来的，通常可以包含更多的奇异尺度.
  • 中心点 x0 可以为任意有限或无限大实数及复数.
  • 阶数 n 必须为一个正整数，指定渐近解的近似阶数. 与多项式的次数无关.
  • 可以给出以下选项：
  • AccuracyGoalAutomatic所求绝对精度的位数
    Assumptions$Assumptions对参数的设定
    GenerateConditionsAutomatic是否给出与参数的条件有关的答案
    GeneratedParameters None怎样命名生成的参数
    MethodAutomatic所用的方法
    PerformanceGoal$PerformanceGoal优化的目标
    PrecisionGoalAutomatic所求精度的位数
    SeriesTermGoalAutomatic近似的项数
    WorkingPrecisionAutomatic内部计算使用的精度
  • PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时，AsymptoticIntegrate 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (3)

计算积分的渐近逼近:

计算积分的渐近展开式：

与精确结果的展开式相比较：

获取高斯积分的展开式的首项：

计算所要求的项：

与数值近似的结果相比较：

范围  (21)

不定积分  (3)

计算三角积分关于 x=0 的的渐近展开式：

与 Integrate 给出的结果相比较：

叠加幂积分关于 x=0 的的渐近展开式：

估计一个点的值：

与 NIntegrate 给出的结果相比较：

计算不定积分关于一个参数的渐近展开式：

指数积分  (6)

计算拉普拉斯变换积分的渐近展开式：

与 LaplaceTransform 给出的结果相比较：

定义一个具有高斯内核的函数，在 t=-1 处取最大值：

计算 {0,2} 上的积分的渐近逼近的首项：

将结果与数值近似相比较：

定义一个具有高斯内核的函数，在 t=0 处取最大值：

计算 {0,2} 上的积分的渐近逼近：

将结果与数值近似相比较：

定义一个具有指数内核的函数，在 t=1 处取最大值：

计算 {1,2} 上的积分的渐近逼近的首项：

将结果与数值近似相比较：

定义一个具有指数内核的函数，在 t=1 处取最大值：

计算 {0,3} 上的积分的渐近逼近的首项：

将结果与数值近似相比较：

定义一个具有指数内核的函数，在 t=π/2 处取最大值：

计算 {0,3} 上的积分的渐近逼近的首项：

将结果与数值近似相比较：

振荡积分  (4)

计算 上的傅立叶类型的积分的渐近展开式：

求 上的复振荡积分的首项近似：

计算所要求的逼近：

与数值近似相比较：

求含有 Sin 的实振荡积分的首项近似：

计算首项：

与数值近似相比较：

求含有 Cos 的实振荡积分的近似展开式：

计算含有两项的展开式：

与数值近似相比较：

普通定积分  (4)

计算有理函数的积分在 x=0 处的渐近展开式：

与 Integrate 给出的结果相比较：

三角积分在 x=π/2 处的渐近展开式：

与 Integrate 给出的结果相比较：

完整椭圆积分在 x=0 处的渐近展开式：

与 Integrate 给出的结果相比较：

积分在 x=-Infinity 处的渐近展开式：

与数值近似相比较：

变换积分  (4)

一个函数的拉普拉斯变换的渐近展开式：

与使用 LaplaceTransform 得到的精确结果的级数展开式相比较：

一个函数的 Mellin 变换的渐近展开式：

与使用 MellinTransform 得到的精确结果的级数展开式相比较：

一个函数的傅立叶余弦变换的渐近展开式：

与使用 FourierCosTransform 得到的精确结果的级数展开式相比较：

一个函数的傅立叶正弦变换的渐近展开式：

与使用 FourierSinTransform 得到的精确结果的级数展开式相比较：

选项  (1)

GeneratedParameters  (1)

生成不定积分的任意常数：

任意常数的默认值为 0：

应用  (7)

获取定积分的渐近展开式

与数值近似相比较：

通过增加项数改进渐近逼近：

求从 到 曲线 下面的面积：

求 取特定值时的面积：

计算 () 绕 轴旋转所围成的体积：

求 取特定值时的体积：

可视化该实体：

定义渐近版本的 LaplaceTransform：

用它来计算一个周期函数的渐近拉普拉斯变换：

绘制结果：

与数值近似相比较：

计算域为 的 ProbabilityDistribution 的渐近均值：

归一化 PDF：

绘制 PDF：

定义渐近均值：

计算给定分布的渐近均值：

与精确结果的展开式相比较：

获取 BesselJ 的积分表示的渐近展开式：

与贝塞尔函数的实际数值相比较：

计算一个振荡积分的渐近逼近：

与数值近似的结果相比较：

属性和关系  (4)

AsymptoticIntegrate 按给定阶数计算积分：

用 Integrate 算出解析形式的积分：

用 NIntegrate 计算数值近似：

用 AsymptoticExpectation 计算渐近期望：

用 AsymptoticIntegrate 获取同样的结果：

可能存在的问题  (1)

此例中返回的展开式少于四项：

对于更普通的积分，展开式中出现缺失的项：

Wolfram Research (2018)，AsymptoticIntegrate，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html （更新于 2020 年）.

文本

Wolfram Research (2018)，AsymptoticIntegrate，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html （更新于 2020 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2018. "AsymptoticIntegrate." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html.

APA

Wolfram 语言. (2018). AsymptoticIntegrate. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_asymptoticintegrate, author="Wolfram Research", title="{AsymptoticIntegrate}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_asymptoticintegrate, organization={Wolfram Research}, title={AsymptoticIntegrate}, year={2020}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}