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BetaNegativeBinomialDistribution

BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n]

表示一个 β 负二项混合分布，其中 β 分布的参数为 α 和 β，试验成功的次数为 n.

更多信息

β 负二项分布是一种负二项分布，其概率参数 p 服从形状参数为 α 和 β 的 β 分布. »
BetaNegativeBinomialDistribution 允许 α、β 和 n 为任意正实数.
BetaNegativeBinomialDistribution 可与 Mean、CDF 和 RandomVariate 等函数一起使用. »

背景

BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n] 表示一个定义在整数值上的离散统计分布，贝塔负二项分布. 正实数参数 α、β 被称为形状参数，它们决定了概率密度函数（PDF）的整体形状与行为. 贝塔负二项分布有离散的 PDF，且根据 α 和 β 值，PDF 可能单调递增或递减，也可能是单峰的. 贝塔负二项分布有时也被称为反 Markov–Pólya 分布、贝塔-Pascal 分布以及广义 Waring 分布.
贝塔负二项分布可以被认为是伯努利分布（BernoulliDistribution）和负二项分布（NegativeBinomialDistribution）的抽象，其中给定次数的伯努利试验的成功概率 p 是随机的，相关二项分布的成功概率 p 遵循贝塔分布（BetaDistribution），此分布是关于失败概率的分布. 用贝叶斯理论的术语来说，贝塔负二项分布是成功概率 p 的先验分布为贝塔分布的负二项变量的后验预测分布.
首次有记载提到贝塔负二项分布是在 Kemp 和 Kemp 从 1950 年代起的工作中，是用类似他们推导研究贝塔二项分布（BetaBinomialDistribution）的方法得到的. 许多现实世界的现象可用贝塔负二项分布建模. 例如，贝塔负二项分布可用在有一组特定绘制规则和额外替换的 Pólya 瓮模型的逆采样中. 最近，贝塔负二项分布已经被用在模拟传染病分布中，也被用在事故理论中，用于描述暴露在多种风险下的事故多发社区中的事故分布.
RandomVariate 可被用于给出贝塔负二项分布的一个或多个机器精度或任意精度（后者可用 WorkingPrecision 选项指定）的伪随机变量. Distributed[x,BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n]]，更简洁的写法是 xBetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n]，可被用于声明随机变量 x 是贝塔负二项分布的. 这样一个声明之后可用在如 Probability、NProbability、Expectation 以及 NExpectation 这样的函数中.
概率密度函数和累积分布函数可用 PDF[BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n],x] 和 CDF[BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n],x] 求得. 平均数、中位数、方差、原点矩及中心矩可分别用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 计算. 这些量可以用 DiscretePlot 可视化.
DistributionFitTest 可被用于测试给定的数据集是否与贝塔负二项分布一致，EstimatedDistribution 可被用于根据给定数据估算贝塔负二项参数化分布，而 FindDistributionParameters 可拟合数据和贝塔负二项分布. ProbabilityPlot 可被用于生成给定数据的 CDF 相对于符号贝塔负二项分布的 CDF 的图线，而 QuantilePlot 可被用于生成给定数据的分位数相对于符号贝塔负二项分布的分位数的图线.
TransformedDistribution 可被用于表示转换的贝塔负二项分布，CensoredDistribution 可被用于表示删截后位于上限值和下限值之间的值分布，而 TruncatedDistribution 可被用于表示截断后位于上限值和下限值之间的值分布. CopulaDistribution 可被用于建立包含了贝塔负二项分布的高维分布，而 ProductDistribution 可被用于计算包括贝塔负二项分布在内的，若干个独立分量分布的联合分布.
BetaNegativeBinomialDistribution 与许多其它统计分布密切相关. 如之前提到的，BetaNegativeBinomialDistribution 结合了 NegativeBinomialDistribution 和 BetaDistribution 的特点，从 ParameterMixtureDistribution[NegativeBinomialDistribution[n,p],pBetaDistribution[α,β]] 的求值结果是 BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,n] 就可以看出这一事实. 类似的，WaringYuleDistribution 是 BetaNegativeBinomialDistribution 的特例因为 WaringYuleDistribution[α,β] 和 BetaNegativeBinomialDistribution[α,β,1] 有相同的 PDF. 很自然的，BetaNegativeBinomialDistribution 和 BetaBinomialDistribution 是相关的，且因为 NegativeMultinomialDistribution 和 DirichletDistribution 分别是NegativeBinomialDistribution 和 BetaDistribution 的高维类比，BetaNegativeBinomialDistribution 可被视为所谓狄利克雷负多项分布的一维类比.

范例

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基本范例 (3)

概率质量函数：

累积分布函数：

均值和方差：

范围 (7)

生成一组服从 β 负二项分布的伪随机数样本：

将直方图与概率密度函数进行比较：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

比较样本密度直方图和估计分布的概率密度函数：

偏度：

峰度：

以参数的函数形式表示不同矩的解析式：

CentralMoment：

FactorialMoment：

具有符号式阶数的解析式：

风险函数：

分位数函数：

应用 (2)

BetaNegativeBinomialDistribution 的 CDF 是右连续函数的一个例子：

假设服从 β 分布，求成功10次之前至少经历50次失败的概率：

通过计算为固定值时的概率和求平均进行验证：

属性和关系 (5)

获得负整数、超出 n 的整数或者非整数数的概率为零：

与其它分布的关系：

WaringYuleDistribution 是 β 负二项分布的一个特殊情况：

WaringYuleDistribution 是 β 负二项分布的一个特殊情况：

β 负二项分布是 NegativeBinomialDistribution 和 BetaDistribution 的混合：

可能存在的问题 (2)

当 α、β 或 n 非正时，BetaNegativeBinomialDistribution 没有定义：

将无效参数代入符号式输出时，所得到的结果没有意义：

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