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Binomial

gives the binomial coefficient .

更多信息

整数数学函数，适于符号和数值运算.
Binomial 也称为组合，或称为选择函数.
Binomial 给出负整数的对称系数. 使用 PascalBinomial 可以得到对所有整数值都保持帕斯卡恒等（Pascal's identity）的系数。除了负整数的情况外，Binomial 和 PascalBinomial 是一致的.
通常，由或适当的极限定义.
当为负整数时，. »
对于所有复数和，所选的特定极限保留了对称规则 . »
几乎所有和都满足帕斯卡恒等，但的情况除外. »
对于整数和一些其它特殊参数，Binomial 自动运算出精确值.
对简单的情形，自动对 Binomial 进行符号求值；其它情形则由 FunctionExpand 给出结果. »
Binomial 可求任意数值精度的值.
Binomial 自动逐项作用于列表的各个元素.
Binomial 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

背景

Binomial 表示一个二项式系数函数，返回和的二项式系数 . 对于非负整数和，二项式系数为，其中是 Factorial 函数. 通过对称，. 二项式系数在概率论和组合学中很重要，有时被表示为
对于非负整数和，二项式系数给出包含在集合中长度为的子集数. 这也是从前个正整数选择个元素（没有替代和忽略排序）的不同方法数，因此，它常被称之为 " 选择 ".
二项式系数位于二项式公式的心脏，它表明对于任何非负整数， $(x+y)^n=sum_(k=0)^nTemplateBox[{n, k}, Binomial] x^(n-k)y^k$ . 这种二项式系数的诠释与概率论的二项分布相关，通过 BinomialDistribution 实现. 另一个重要应用是在称之为帕斯卡规则的组合恒等式中，它与根据带有移位参数的二项系数有关.
将阶乘表示为伽马函数将二项式系数用推广为复数和 . 对整数和以及复数使用对称公式 $(TemplateBox[{{s, -, a, +, 1}}, Gamma])/(TemplateBox[{{s, -, b, +, 1}}, Gamma])=(-1)^(b-a)( TemplateBox[{{b, -, s}}, Gamma])/(TemplateBox[{{a, -, s}}, Gamma])$ ，允许二项系数的定义延伸至负整数参数，使其对于所有整数参数以及复数参数是连续的，除了负整数和非整数（这种情况下是无穷）. 负数和整数的定义在时由 $(-1)^k TemplateBox[{{k, -, n, -, 1}, k}, Binomial]$ 给出，在时由 $(-1)^(n-k) TemplateBox[{{{-, k}, -, 1}, {n, -, k}}, Binomial]$ 给出，否则为 0，这与二项式定理和大多数组合恒等式一致（有一些特殊例外）.
二项式系数通过多项式系数来推广. Multinomial 返回给定数 n₁,…,n_k 加的多项式系数 (n;n₁,…,n_k)，其中 . 二项式系数是多项式系数 (n;k,n-k).

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (5)

数值化计算：

使用符号运算：

构建帕斯卡三角形：

作为第一个参数的函数在实数子集上绘图：

作为第二个参数的函数在实数子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

范围 (35)

数值运算 (7)

数值运算：

对半整数自变量求值：

高精度运算：

输出的精度与输入的精度相符：

复数输入：

高效地进行高精度运算：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Binomial 函数：

特殊值 (4)

Binomial 在特殊点的值：

符号 n 的 Binomial 表达式：

零处的值：

请注意，除的情况外，对于所有整数，该值都为零：

求使得 Binomial[n,2]=15 成立的 n 值：

可视化 (3)

绘制作为参数 n 的函数的 Binomial：

绘制作为参数的函数的 Binomial：

绘制的实部：

绘制的虚部：

函数属性 (12)

绘制作为参数 n 的函数的 Binomial 的实域：

绘制作为参数 m 的函数的 Binomial 的实域：

复定义域：

Binomial 的值域：

Binomial 具有镜像属性：

计算涉及 Binomial 的和：

当为正时，是关于两个变量的解析函数：

当为负时，情况则不然：

既不是非递增，也不是非递减：

不是单射函数：

是满射函数：

Binomial 既不是非负，也不是非正：

为负整数时，有奇点和断点：

既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式输出：

微分 (3)

关于的一阶导数：

关于的高阶导数：

，绘制关于的高阶导数：

关于的一阶导数：

级数展开式 (4)

用 Series 求泰勒展开式：

绘制处的前三个近似式：

求 Infinity 处的级数展开式：

求任意符号方向上的级数展开式：

普通点上的泰勒展开式：

函数恒等式和化简 (2)

函数恒等式：

递归关系：

推广和延伸 (2)

无穷自变量得到符号解：

Binomial 逐项作用于列表的各个元素：

应用 (11)

从个元素中无放回地选择个元素，有种方式：

用直接列举的方法进行检查：

从个元素中有放回地选择个元素，有种方式：

用直接列举的方法进行检查：

一组元素由两类对象组成，其中一类为个无区别的对象，另一类为个无区别的对象，对这组元素进行排列有种方法：

说明二项式定理：

分数二项式定理：

二项式系数模除 2：

在自变量平面绘制 Binomial：

绘制从个元素中选取出个元素的方法数的对数：

计算两个函数积的高阶导数：

二项式概率分布的 PDF：

用 Binomial 定义伯恩斯坦多项式：

属性和关系 (11)

整数情况下，Binomial[n,m] 等于：

对于可表示为 $(-1)^m TemplateBox[{{-, n}, m}, Pochhammer]/m!$ ，对于可表示为 $(-1)^(n-m) TemplateBox[{{-, n}, {n, -, m}}, Pochhammer]/(n-m)!$ ：

关于整数的另一个公式：

帕斯卡恒等几乎无处不在：

但在原点处则不满足：

PascalBinomial 在包括原点在内的任何地方都满足恒等：

对称法则对所有和值都成立：

PascalBinomial 对符号参数进行简单的运算：

对于更复杂的表达式，则会避免自动展开：

使用带条件的 FunctionExpand 来实现适当的化简：

用 FullSimplify 简化含有二项式系数的表达式：

用 FunctionExpand 将二项式系数展开为 Gamma 函数：

含有 Binomial 的求和：

求母函数 Binomial：

Binomial 可被表示为 DifferenceRoot：

Binomial 的母函数：

Binomial 的指数母函数：

可能存在的问题 (3)

较大的自变量得到的解太大，以至于不能被明确地计算求出：

机器数的输入能得到高精度的解：

作为一个二元函数，当两个变量都为负整数时，Binomial 不连续：

在负整数时的 Binomial 值由 Binomial[n,m]Binomial[n,n-m] 确定：

巧妙范例 (7)

构建帕斯卡三角形（Pascal's triangle）的图形版本：

将三角形延展到负整数；未标记的点表示零值：

相比之下，在输入均为负数的情况下，PascalBinomial 导致左上角的扇形区域为零：

二项式系数模除：

希耳伯特矩阵的闭形逆：

复平面上的嵌套二项式：

绘制无穷处的 Binomial：

绘制自变量为复数的 Binomial ：

绘制自变量为高斯整数的 Binomial：

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