DirichletDistribution

DirichletDistribution[{α1,…,αk+1}]

表示形状参数为 αi 的 k 维狄利克雷分布.

更多信息

背景

  • DirichletDistribution[{α1,…,αk+1}] 表示一个连续的多变量统计分布，定义于正实数 k-元组 上，它们的和小于1，并有 . DirichletDistribution[{α1,…,αk+1}] 的边缘分布(MarginalDistribution)是 BetaDistribution 的不同参数化版本，由分量 αi 的各种线性组合形成. 因此，Dirichlet 分布的参数为 -元组 (α1,…,αk+1)，分量 αi 全部为正实数，并决定了概率密度函数(PDF)的整体形状. Dirichlet 分布有时也被认为是多变量 beta 分布.
  • Dirichlet 分布的 PDF 在其均值处有一个绝对最大值，即分量为单变量边缘概率密度函数的单变量均值的 k-向量. 对于较大的 值，由于边缘概率密度函数呈代数式减小，而不是指数式减小，每个与 Dirichlet 分布相关的边缘概率密度函数的尾显得较“厚”. （通过分析分布的 SurvivalFunction，这种行为可被定量确定.）
  • Dirichlet 分布因德国数学家 Johann Dirichlet 而得名. 自从二十世纪七十年代由 Thomas Ferguson 正式推出以后，Dirichlet 分布一直被作为一种工具，用于对现实世界和理论现象建模. Dirichlet 分布是更广义的 Dirichlet 过程的有限版，Dirichlet 过程是一个有无穷多维数的随机过程，简单来说，根据特定的算法，它为每组概率分布分配一个概率分布. 同样，Dirichlet 分布常作为贝叶斯统计的先验概率，包括作为 MultinomialDistribution 的共轭先验. Dirichlet 分布的一项有趣应用是对制造的公平骰子精确度的随机性建模，要注意的是，因为制作工艺更精良，最近制作的骰子会更“公平”. Dirichlet 分布的其它应用包括数据挖掘、机器学习和计算机视觉. 最近，在对各种文本的词频进行建模时也用到了 Dirichlet 分布.
  • RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的 Dirichlet 分布中的伪随机变数. Distributed[{x1,…,xk},DirichletDistribution[{α1,…,αk+1}]]，更简洁的式子为 {x1,…,xk}DirichletDistribution[{α1,…,αk+1}]，可用来断定一个 k-元组 (x1,…,xk) 的随机变量服从 Dirichlet 分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
  • 通过使用 PDF[DirichletDistribution[{α1,…,αk+1}],{x1,…,xk}] 和 CDF[DirichletDistribution[{α1,…,αk+1}],{x1,…,xk}]，可以得到 Dirichlet 分布的概率密度和累积分布函数. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩. 而且，Covariance 可用来计算对应于 DirichletDistribution 的协方差矩阵.
  • 可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合 Dirichlet 分布，根据给定数据，用 EstimatedDistribution 来估计 Dirichlet 参数分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成 Dirichlet 分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式 Dirichlet 分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式 Dirichlet 分布的分位数的比较图.
  • 可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的 Dirichlet 分布，用 CensoredDistribution 表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含 Dirichlet 分布的高维分布， ProductDistribution 可以计算由独立分布为 Dirichlet 分布所得的联合分布.
  • DirichletDistribution 与许多其它分布有密切的关系. 如前所述，DirichletDistribution 和 BetaDistribution 紧密相关，因为他的每个边缘分布就是一个 beta 分布. 而且，任意一个一维 Dirichlet 分布都是 beta 分布, 因为 DirichletDistribution[{α1,α2}] 的 PDF 实际上就是 BetaDistribution[α1,α2] 的PDF. DirichletDistribution 还和 GammaDistribution 相关，因为当 为一个服从伽玛分布的随机变量，并由 k 个独立分布的伽玛变量 Y1,…,Yk 的和定义时，随机变量 服从 DirichletDistribution. DirichletDistribution 是 MultinomialDistribution 的共轭先验，且与 BetaPrimeDistribution、CompoundPoissonDistribution 和 MultinormalDistribution 相关.

范例

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基本范例  (4)

二维时的概率密度函数：

二维时的累积分布函数：

二维时的均值和方差：

协方差：

范围  (8)

生成二元狄利克雷分布的伪随机向量样本：

利用直方图可视化样本数据：

分布参数估计：

从以上样本数据中估计分布参数：

拟合优度检验：

偏度：

峰度：

相关性：

狄利克雷分布的不同混合矩：

具有符号式阶数的解析式：

混合中心矩：

混合阶乘矩：

混合累积量：

风险函数：

狄利克雷分布的一元边缘分布服从 BetaDistribution：

多元边缘分布服从 DirichletDistribution：

应用  (5)

在同一个图线中显示分布函数及其直方图：

将概率密度函数与直方图形式进行比较：

将累积分布函数与直方图形式进行比较：

模拟在均值为 的半平面 上的点 ：

对于 α3=30：

对于 α3=10：

点的分散可以通过第三个参数控制：

利用狄利克雷分布将一个多元 Pólya 分布定义为一个参数混合分布：

概率密度函数：

求 Dirichlet 分布在 Disk 上的概率：

为分布参数的最大似然性估计置信区间：

通过重复加权估计，其中权重采样来自于带有单位参数的 DirichletDistribution，应用分数随机权重自举来估计置信区间：

生成参数估计的自举 (bootstrap) 样本：

可视化自举估计：

把 BetaDistribution 拟合进自举参数：

求四分位数：

属性和关系  (2)

Dirichlet 分布的等概率等高线图：

一维狄利克雷分布是 BetaDistribution：

Wolfram Research (2010)，DirichletDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DirichletDistribution.html （更新于 2016 年）.

文本

Wolfram Research (2010)，DirichletDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DirichletDistribution.html （更新于 2016 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "DirichletDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/DirichletDistribution.html.

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Wolfram 语言. (2010). DirichletDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DirichletDistribution.html 年

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