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Eigenvalues[m]

给出方阵 m 的特征值构成的列表.

Eigenvalues[{m,a}]

给出矩阵 m 的关于 a 的广义特征值.

Eigenvalues[m,k]

给出矩阵 m 的前 k 个特征值.

Eigenvalues[{m,a},k]

给出前 k 个广义特征值.

更多信息和选项
Details and Options Details and Options
范例  
基本范例  
范围  
基本用法  
特征值的子集  
广义的特征值  
特殊矩阵  
选项  
Cubics  
Method  
"Arnoldi"  
"Banded"  
"FEAST"  
Quartics  
应用  
特征值的几何学  
对角化  
微分方程和动力系统  
物理  
属性和关系  
可能存在的问题  
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按以下格式引用：

Eigenvalues

Eigenvalues[m]

给出方阵 m 的特征值构成的列表.

Eigenvalues[{m,a}]

给出矩阵 m 的关于 a 的广义特征值.

Eigenvalues[m,k]

给出矩阵 m 的前 k 个特征值.

Eigenvalues[{m,a},k]

给出前 k 个广义特征值.

更多信息和选项

  • 如果 m 包含近似实、复数，Eigenvalues 求出数值特征值.
  • 特征值按重数重复出现.
  • 一个 × 矩阵给出恰好 个特征值，可以重复，而不必是不同的数值.
  • 特征值依绝对值递减排列.
  • 矩阵 m 的特征值为满足 的 （其中 为某些非零特征向量）. »
  • 关于 a 的矩阵 m 的无限广义特征值是满足 的 . »
  • 普通特征值一般为有限值，广义特征值可以为无限值.
  • 矩阵 m 和 a 有 维共享空间，则 的值为 Indeterminate. »
  • 对于数值特征值，Eigenvalues[m,k] 给出绝对值最大的 k.
  • Eigenvalues[m,-k] 给出绝对值最小的 k.
  • Eigenvalues[m,spec] 等同于 Take[Eigenvalues[m],spec].
  • Eigenvalues[m,UpTo[k]] 给出 k 个特征值，如果个数不足，则尽可能多的给出特征值.
  • 可在 Eigenvalues 中使用 SparseArray 对象和结构化数组.
  • Eigenvalues 具有下列选项和设置：
  • Cubics False是否使用根式求解三次曲线
    Method Automatic选择使用的方法
    Quartics False是否使用根式求解四次曲线
  • 近似数值矩阵的显式 Method 设置包括：
  • "Arnoldi"Arnoldi 迭代方法，以求解一些特征值
    "Banded"厄米特矩阵的带状矩阵直接求解器 (direct banded matrix solver)
    "Direct"求解所有特征值的直接方法
    "FEAST"FEAST 迭代方法，以求解某区间内的特征值（只应用于 Hermitian 矩阵）
  • 当应用于对称或 Hermitian 矩阵时，"Arnoldi" 方法也称为 Lanczos 方法.
  • The "Arnoldi" 和 "FEAST" 方法使用子选项 Method->{"name",opt1->val1,…}，它可以在 Method 子章节中找到.

范例

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基本范例  (5)

Eigenvalues of an exact, two-dimensional matrix:

Assign the eigenvalues to individual variables:

The eigenvalues are roots of the characteristic polynomial:

Eigenvalues of a three-dimensional matrix:

Eigenvalues computed with machine precision:

符号特征值：

范围  (20)

基本用法  (6)

求机器精度矩阵的特征值：

近似的 20 位精度的特征值：

复矩阵的特征值：

Eigenvalues of a real, exact matrix:

Eigenvalues of a complex, exact matrix:

Symbolic eigenvalues:

高效计算大型数值矩阵的特征值：

特征值的子集  (5)

五个最大的特征值：

三个最小的特征值：

求四个最大的特征值，如果没有那么多，则有多少给出多少：

列出重复的特征值：

提取特征值的子集时考虑重复的特征值：

广义的特征值  (4)

机器精度的广义特征值：

广义的精确特征值：

以有限的精度计算结果：

计算符号矩阵的广义特征值：

求两个最小的广义特征值：

特殊矩阵  (5)

稀疏矩阵的特征值：

结构化矩阵的特征值：

The units of a QuantityArray object are in the eigenvalues, leaving the eigenvectors dimensionless:

IdentityMatrix[n] 的特征值全部是 1：

HilbertMatrix 的特征值：

CenteredInterval 矩阵的特征值：

求 m 的随机代表 mrep 的特征值：

验证重新排序后，vals 包含 rvals：

选项  (11)

Cubics  (1)

Eigenvalues 使用 Root 计算精确特征值：

显式使用立方公式以根式形式的结果：

Method  (9)

"Arnoldi"  (6)

Arnoldi 方法可用于机器和任意精度矩阵. Arnoldi 方法的实现基于 "ARPACK" 程序库. 它对于大型稀疏矩阵很有用.

方法 "Arnoldi"可以指定下列子选项：

  • "BasisSize"Arnoldi 基的大小
    "Criteria"要使用的准则
    "MaxIterations"
  • 最大迭代次数
    • "Shift"
  • Arnoldi 位移量
    • "StartingVector"
  • 初始迭代向量
    • "Tolerance"用于终止迭代的容差

    • "Criteria" 的可能设置包括：

  • "Magnitude"基于 Abs
    "RealPart"基于 Re
    "ImaginaryPart"基于 Im
    "BothEnds"实对称矩阵谱两端的少量特征值

    • 使用不同的 "Criteria" 设置，计算最大特征向量. 矩阵 m 具有特征值 :

    默认情况下，"Criteria"->"Magnitude" 选择对应于最大幅度特征对：

    求最大实部特征值：

    求最大虚部特征值：

    求来自对称矩阵谱两端的两个特征值：

    使用 "StartingVector" 避免随机性：

    不同的初始向量可能收敛到不同的特征值：

    使用 "Shift"->μ 通过将矩阵 变换为 平移特征值. 这保持了特征向量，但是将特征值改变了 -μ. 方法对变化了的特征值进行补偿. "Shift" 通常用于求没有选择最大或者最小幅度的标准的特征对：

    手动平移矩阵，以调整所得的特征值：

    自动平移，并且调整特征值：

    用 Arnoldi 方法计算两个最小的广义特征值：

    "Banded"  (1)

    带状方法可用于实对称或复厄米特机器精度矩阵. 该方法对于求出所有特征值最有用.

    计算带状矩阵的两个最大的特征值：

    "FEAST"  (2)

    FEAST 方法可用于实对称或者复 Hermitian 机器精度矩阵. 方法对于在给定区间内求特征值很有用.

    方法 "FEAST" 可以指定下列子选项：

  • "ContourPoints"选择轮廓点数
    "Interval"特征值搜索区间
    "MaxIterations"最大细化循环次数
    "NumberOfRestarts"最大重启次数
    "SubspaceSize"子空间的初始大小
    "Tolerance"终止细化的容差
    "UseBandedSolver"是否使用带状求解器

    • 计算对应于来自区间 的特征值的特征向量：

    用 "Interval" 指定区间：

    FEAST 求特征值的区间不包括区间 的端点.

    Quartics  (1)

    4×4矩阵：

    一般来说，对于4×4矩阵，结果以 Root 对象的形式给出：

    您可以使用 Cubics 和 Quartics 选项获取以根式表示的结果：

    应用  (15)

    特征值的几何学  (3)

    当被矩阵作用时，具有正特征值的特征向量指向相同的方向：

    当被矩阵作用时，具有负特征值的特征向量指向相反的方向：

    思考以下矩阵 及其相关的二次形式 q=TemplateBox[{x}, Transpose].a.x：

    特征向量是由 定义的双曲线的轴：

    特征值的符号对应双曲线方程右侧的符号：

    这是三个维度中的正定二次形式：

    绘制曲面 ：

    使用 CoefficientArrays 获得二次式的对称矩阵：

    数值计算其特征值和特征向量：

    显示椭圆体的主轴：

    对角化  (4)

    将以下矩阵对角化为 m=p.d.TemplateBox[{p}, Inverse]. 首先，计算 的特征值：

    根据特征值构建对角矩阵 ：

    接下来，计算 的特征向量并将其放置于矩阵的列中：

    验证恒等式 m=p.d.TemplateBox[{p}, Inverse]：

    矩阵的任何函数可以 f(m)=p.f(d).TemplateBox[{p}, Inverse] 形式计算. 例如，MatrixPower：

    同样，只需要对 的对角线元素求幂即可使 MatrixExp 变为平凡：

    令 为其标准矩阵由矩阵 给出的线性变换. 求 TemplateBox[{}, Reals]^4 的基 ，其性质为 在该基 中的表示为对角线矩阵：

    求 的特征值：

    设 由特征向量组成，设 为矩阵，其列是 的元素：

    从 坐标转换为标准坐标. 其逆矩阵变换为反方向：

    因此 由 TemplateBox[{b}, Inverse].a.b 给出，为对角线矩阵：

    请注意这只是对角矩阵，其项为特征值：

    实值对称矩阵可正交对角化为 s=o.d.TemplateBox[{o}, Transpose]，其中 为实对角矩阵且 为正交矩阵. 验证以下矩阵是否对称，并进行对角化：

    计算特征值，结果如预期所想是实数：

    矩阵 在对角线上具有特征值：

    接下来，计算 的特征向量：

    对于正交矩阵，需要在将特征向量放入列之前正规化：

    验证 s=o.d.TemplateBox[{o}, Transpose]：

    如果 TemplateBox[{n}, ConjugateTranspose].n=n.TemplateBox[{n}, ConjugateTranspose]，则矩阵称为正规矩阵. 正规矩阵是可以通过酉变换进行对角化的最通用的矩阵类型. 所有实对称矩阵 都是正规矩阵，因为等式的两边都仅为 ：

    证明下面的矩阵是正规矩阵，并对其对角化：

    使用 NormalMatrixQ 进行验证：

    非对称实正规矩阵的特征值是复值：

    根据特征值构造对角矩阵：

    计算特征向量：

    对特征向量进行正规化并将其放置于列中会得到酉矩阵：

    验证对角化 n=u.d.TemplateBox[{u}, ConjugateTranspose]：

    微分方程和动力系统  (4)

    求解常微分方程 (ODE) 方程组 , , . 首先，构造右侧的系数矩阵 ：

    求特征值和特征向量：

    构造一个对角矩阵，其项是 的指数：

    构造其列是对应特征向量的矩阵：

    三个任意起始值的通解为 p.d.TemplateBox[{p}, Inverse].{TemplateBox[{1}, CTraditional],TemplateBox[{2}, CTraditional],TemplateBox[{3}, CTraditional]}：

    使用 DSolveValue 验证解：

    假设一个粒子在平面力场中运动，其位置向量 满足 且 ，其中 和 为如下. 当 时求解初始问题：

    首先，计算 的特征值和对应的特征向量：

    方程组的通解为 . 使用 LinearSolve 确定系数：

    为特征向量构建线性组合：

    使用 DSolveValue 验证该解：

    当 是以下随机矩阵时，计算动力系统 的通解：

    求特征值和特征向量，使用 Chop 丢弃小数值误差：

    通解是形式为 的项的任意线性组合：

    验证 在数值舍入完成之前满足动力学方程：

    Lorenz 方程：

    求方程右边的雅可比行列式：

    求出平衡点：

    在第一个八分圆处求雅可比行列式的特征值和特征向量：

    沿 dir 方向上、 pt 中的向后小干扰积分函数：

    显示右侧平衡点的稳定曲线：

    求出左侧平衡点的稳定曲线：

    显示带有 Lorenz 方程解的稳定曲线：

    物理  (4)

    在量子力学中，状态由复单位向量表示，物理量由厄米特线性算子表示. 特征值表示可能的观测值，关于特征向量的分量的模的平方表示这些观测值的概率. 对于给定的自旋算子 和状态 ，找出可能的观测值及其概率：

    计算特征值，可能的观测值为 :

    找到特征向量并正规化以计算正确投影：

    的相对概率为 ， 的为 ：

    在量子力学中，能量算子称为哈密顿量 ，根据薛定谔方程 具有能量 的状态. 给定 方向上恒定磁场中自旋 1 粒子的哈密顿量，求处于初始状态 表示表示 的粒子在时间 的状态：

    计算特征值，能级为 和 ：

    求得并正规化特征向量：

    时间 的状态是根据薛定谔方程演化的每个特征态的总和：

    惯性矩是一个实对称矩阵，描述了刚体对不同方向旋转的阻力. 该矩阵的特征值称为主惯性矩，相应的特征向量（必须正交）称为主轴. 求下列四面体的主惯性矩和主轴：

    首先计算惯性矩：

    主矩是 的特征值：

    主轴为 的特征向量：

    验证轴为正交：

    四面体的质心在原点：

    可视化四面体及其主轴：

    广义特征系统可用于找到解耦项的耦合振荡的正规模. 思考图中所示的系统：

    根据胡克定律，该系统服从 , . 代入通解 得到矩阵方程 ，其中刚度矩阵 和质量矩阵 为如下：

    如果 , , 且 ，求特征频率和正规模：

    计算关于 的广义特征值 ：

    特征频率 是特征值的平方根：

    可从广义特征向量推导出模的形状：

    将正规模解构造为广义特征向量乘以相应指数：

    验证两者是否满足系统的微分方程：

    属性和关系  (15)

    Eigenvalues[m] 实际上是 Eigensystem 返回配对的第一个元素：

    如果同时需要特征向量和特征值，仅调用 Eigensystem 通常会更有效：

    特征值是特征多项式的根：

    使用 CharacteristicPolynomial 计算多项式：

    验证是否相等：

    广义特征多项式由 TemplateBox[{{a, -, {b, , lambda}}}, Det] 给出:

    广义特征多项式只定义了有限特征值：

    无限广义特征值对应于 的特征向量 ，其中 ：

    m 的特征值的乘积等于 Det[m]：

    m 的特征值之和等于 Tr[m]：

    如果 所有特征值不同，则 DiagonalizableMatrixQ[m] 给出 True：

    反之为假：

    对于可逆矩阵 ，TemplateBox[{m}, Inverse] 的特征值是 的特征值的倒数：

    因为 Eigenvalues 按绝对值排序，所以会给出相同的值但相反的顺序：

    对于解析函数 ，将 应用于 的特征值 即会得到 的特征值：

    例如， 的特征值为 ：

    同样， 的特征值为 ：

    实对称矩阵的特征值是实数：

    任何埃尔米特矩阵的特征值也是如此：

    实反对称矩阵的特征值是虚数：

    任何反埃尔米特矩阵的特征值也是如此：

    正交矩阵的特征值位于单位圆上：

    任何酉矩阵的特征值也是如此：

    SingularValueList[m] 等于非零特征值 TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose].m 的平方根：

    思考一个具有一组完整特征向量的矩阵 m：

    JordanDecomposition[m] 返回由特征值和特征向量构建的矩阵 {s,j}：

    j 矩阵是具有特征值项的对角矩阵，但可能与 Eigensystem 的顺序不同：

    对于数值正规矩阵 n，SchurDecomposition[n,RealBlockDiagonalFormFalse]：

    t 矩阵是有特征值项的对角矩阵，可能与 Eigensystem 的顺序不同：

    如果矩阵共用维度为 的零空间，则其广义特征值的 为 Indeterminate：

    关于自身的两个广义特征值为 Indeterminate：

    矩阵 有一维零空间：

    其位于 的零空间中：

    因此， 关于 的广义特征值为 Indeterminate：

    可能存在的问题  (5)

    Eigenvalues 和 Eigenvectors 不能保证绝对按相应顺序给出结果：

    第六个和第七个特征值基本上相等但正负相反：

    在此特定情况下，第七个特征向量不对应于第七个特征值：

    它对应的是第六个特征值：

    用 Eigensystem[mat] 确保相应的结果始终匹配：

    符号的例子，迅速得到很复杂的解：

    表达式个数呈指数级增长：

    20×20 的 Hilbert 矩阵：

    计算最小特征值的数值解：

    以机器精度计算最小特征值：

    最小和最大特征值间无关联：

    足够的数值计算精度：

    当特征值紧密分组时，稀疏矩阵的迭代方法不收敛：

    迭代在1000次后没有收敛：

    您可以对算法平移到期望值，以加速收敛：

    不包括为 FEAST 方法指定的区间的端点. 设置一个特征值为 3 和 9 的矩阵：

    在区间 内求特征值不能返回端点处的值：

    将区间扩大至 ，FEAST 即可找到特征值 3 和 9：

    Wolfram Research (1988)，Eigenvalues，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Eigenvalues.html （更新于 2024 年）.

    文本

    Wolfram Research (1988)，Eigenvalues，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Eigenvalues.html （更新于 2024 年）.

    CMS

    Wolfram 语言. 1988. "Eigenvalues." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/Eigenvalues.html.

    APA

    Wolfram 语言. (1988). Eigenvalues. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Eigenvalues.html 年

    BibTeX

    @misc{reference.wolfram_2025_eigenvalues, author="Wolfram Research", title="{Eigenvalues}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Eigenvalues.html}", note=[Accessed: 17-September-2025]}

    BibLaTeX

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