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ExponentialPowerDistribution

ExponentialPowerDistribution[κ,μ,σ]

表示形状参数为 κ、定位参数为 μ 以及尺度参数为 σ 的指数幂分布.

ExponentialPowerDistribution[κ]

表示一个本地参数为0且尺度参数为1的指数幂分布.

更多信息

ExponentialPowerDistribution 也称为广义正态分布.
在指数幂分布中，值的概率密度与 $exp(-(TemplateBox[{{x, -, mu}}, Abs]^kappa)/(kappa sigma^kappa))$ 成正比.
ExponentialPowerDistribution 允许 κ 和 σ 为任意正实数，μ 为任意实数.
ExponentialPowerDistribution 允许 μ 和 σ 为任何相同单位维度的数量，且 κ 为无量纲数量. »
ExponentialPowerDistribution 可与 Mean、CDF 和 RandomVariate 等函数联合使用.

背景

ExponentialPowerDistribution[κ,μ,σ] 表示一个定义于实数集合上的连续统计分布，参数为实数 μ （被称为“定位参数”）以及两个正实数 κ 和 σ（分别被称为“形状参数”和“尺度参数”） . 参数 μ 决定了概率密度函数(PDF)的“峰值”（即绝对最大值）的水平位置. 指数幂分布的 PDF 总是呈现为单峰状，其高度和陡峭程度则由 κ 和 σ 的值决定. 此外，对于较大的值，由于 PDF 代数式减小，而不是指数式减小，PDF 的尾显得较“厚”. （通过分析分布的 SurvivalFunction，这种行为可被定量确定.）指数幂分布有时被视为广义正态分布，对此要小心，因为该名称有时还被用于指代一个无关的非对称分布族.
指数幂分布可被认为是一个广义正态分布(NormalDistribution)加上一个形状参数 κ，这种分布的变体产生一种分布，对称但是却可能有较大的“宽度”、更高的高度和“尖点”（即不可微点）. 指数幂分布由 Robert Smith 和 Lee Bain 在二十世纪七十年代中期作为寿命模型首次提出. 该分布已经被用来对许多现象建模，包括各种癌症患者的存活时间、运动员的血药浓度测量、制造用材料物品破裂的频次、金融市场产品的回报.
RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的指数幂分布中的伪随机变数. Distributed[x,ExponentialPowerDistribution[κ,μ,σ]]，更简洁的式子为 xExponentialPowerDistribution[κ,μ,σ]，可用来断定随机变量 x 服从指数幂分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
通过使用 PDF[ExponentialPowerDistribution[κ,μ,σ],x] 和 CDF[ExponentialPowerDistribution[κ,μ,σ],x]，可以得到指数幂分布的概率密度和累积分布函数. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩.
可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合指数幂分布，根据给定数据，用 EstimatedDistribution 来估计参数化指数幂分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成指数幂分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式指数幂分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式指数幂分布的分位数的比较图.
可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的指数幂分布，用 CensoredDistribution 表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含指数幂分布的高维分布， ProductDistribution 可以计算由独立分布为指数幂分布所得的联合分布.
指数幂分布与许多其它分布相关. 比如，ExponentialPowerDistribution 明显是广义化的 NormalDistribution，因为 ExponentialPowerDistribution[2,μ,σ] 的 PDF 和 NormalDistribution[μ,σ] 的 PDF 相同. ExponentialPowerDistribution 也可推广成 LaplaceDistribution，因为 ExponentialPowerDistribution[1,μ,β] 和 LaplaceDistribution[μ,β] 有同样的 CDF. DirichletDistribution 的随机向量的长度的分布可用 ExponentialPowerDistribution 建模. 另外，ExponentialPowerDistribution 性质上还与 StudentTDistribution、ChiDistribution、MaxwellDistribution、RayleighDistribution 和 RiceDistribution 有关.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

概率密度函数：

累积分布函数：

均值和方差：

中位数：

范围 (8)

生成指数幂分布的伪随机数样本：

比较其直方图与概率密度函数：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

比较样本密度直方图和估计分布的概率密度函数：

指数幂分布是对称的：

峰度仅与形状参数 κ 有关：

峰度的极限值：

以参数的函数形式表示不同矩量的解析式：

FactorialMoment:

随着参数 κ 的不同，风险函数具有不同的形状：

分位数函数：

持续在参数中使用 Quantity 会生成 QuantityDistribution：

求出 QuartileDeviation：

应用 (1)

ExponentialPowerDistribution 可作为服从 DirichletDistribution 分布的一个随机向量的长度所服从的分布的平滑近似：

概率密度函数：

创建一个样本：

对数据进行指数幂分布拟合：

比较样本直方图和这两个分布的概率密度函数：

比较均值：

属性和关系 (5)

当平移并且使用一个正因子为比例进行缩放时，新生成的分布仍然是指数幂分布：

ExponentialPowerDistribution 可能比 NormalDistribution 更狭窄或者更宽，取决于形状参数 κ 的值：

与其它分布的关系：

LaplaceDistribution 是一种特殊的指数幂分布：

NormalDistribution 是 ExponentialPowerDistribution 的一个特例：

巧妙范例 (1)

有不同累积分布函数等高线 κ 值的概率分布函数：

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