FiniteField

FiniteField[p,d]

给出有 个元素的有限域.

FiniteField[p,f]

给出有限域 ，其中 是 中的不可约多项式.

FiniteField[p,…,rep]

使用域元素表示法 rep，可以是 "Polynomial" 或者 "Exponential".

更多信息

  • 有限域也称为伽罗瓦域.
  • 有限域用于代数计算、纠错码、密码学、组合数学、代数几何、数论和有限几何等.
  • 域 是具有所有四则算术运算（+，-，* 和 ÷）的代数系统. 对于某些质数 和正整数 ，有限域 可以有 个元素 .
  • 第 个元素 是加法单位元，对于所有 ， 均成立，而第 个元素 是乘法单位元，对于所有 ， 均成立.
  • FiniteFieldElement[,k] 或 [k] 可用于得到第 个元素 ，并且格式为 .
  • 在同一域中的 FiniteFieldElement 对象通过算术运算自动合并.
  • 多项式运算，如 PolynomialGCD、Factor、Expand、PolynomialQuotientRemainder 和 Resultant 等，可用于具有有限域系数的多项式. Together 和 Cancel 可用于具有有限域系数的有理函数.
  • 线性代数运算，如 Det、Inverse、RowReduce、NullSpace、MatrixRank 和 LinearSolve 等，可用于具有有限域元素的矩阵.
  • Solve 和 Reduce 可用于求解有限域上的方程组.
  • FiniteField 支持两种不同的表示法 rep："Polynomial" 和 "Exponential".
  • "Polynomial" 表示法类似于复数 的笛卡尔表示，易于进行加减，但进行乘除则略有难度.
  • 表示法：它使用 d 次不可约多项式 来识别具有商：
  • 的域.
  • 用多项式 表示. 或者也可以把它当作基为 的向量 .
  • 枚举： 元素按逆字典顺序枚举：
  • ,,…,,…,
  • 运算：令 且 ；则有：
  • 及
  • 且 以 为模（PolynomialRemainder）降低到 次. 且 . ，乘法逆 是使用扩展多项式 GCD 计算的. 由于 不可约，有 ，因此从扩展多项式 GCD，对于某些多项式 和 ，有 . 通过降低模 ，得到 ，因此有 .
  • "Exponential" 表示法类似于复数 的极坐标表示，易于进行乘除，但进行加减则略有难度.
  • 表示法：正如在 "Polynomial" 表示法中，它使用次数为 d 的不可约多项式 ，但在这种情况下， 也需要是原函数. 由于 为原函数， 的幂表示 中除了 以外的每个元素：
  • 该表示法也称为循环群表示法，因为 是一个乘法循环群.
  • 枚举：使用幂次序枚举元素：
  • , , , …, , …,
  • 运算：令 和 ，则得到：
  • u *v=alpha^(TemplateBox[{{(, {i, +, j}, )}, {(, {q, -, 1}, )}}, Mod]) 和
  • 并且有倒数关系 . 对于加法和减法，没有简单规则能够给出 ，使得 ，因此它存储在查找表中，该表在域大小 中是线性的. 这使得运算更快，但以存储数据为代价. 这也意味着 "Exponential" 表示法不适用于大型域.
  • 表示法之间的实际区别是：
  • "Polynomial"不需要花时间来创建，不使用额外的内存，适用于大型域，但运算速度稍慢.
  • "Exponential" 需要一些时间来创建，使用与域大小成比例的额外内存，适用于小型域但运算速度稍快.
  • Information[FiniteField[…], prop] 给出有限域的属性 prop. 可以指定以下属性：
  • "Characteristic"有限域的特征 p
    "ExtensionDegree"有限域在 上的扩张度 d
    "FieldSize"域的元素个数 q=pd
    "FieldIrreducible"用于构造域的多项式函数 f
    "ElementRepresentation""Polynomial" 或 "Exponential"

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (2)

表示质数域 ：

做算术：

做多项式代数：

表示具有特征 和扩张度 的有限域：

使用多项式系数或索引指定域的元素：

做算术：

做多项式代数：

范围  (13)

表示和属性  (4)

表示一个特征为 、扩张度为 的有限域：

找出用于构造域的不可约多项式：

默认情况下，使用域元素的多项式表示：

求域的其它性质：

域加法和乘法单位元的索引为 和 ：

使用自定义不可约多项式构建有限域：

验证多项式是不可约的：

表示域：

不可约域等于指定的多项式模约化域特征：

构造一个使用元素指数表示的有限域：

用于表示域的多项式是本原多项式：

域加法和乘法单位元的索引为 和 ：

该域的所有非零元素都是索引为 的元素的幂：

代表质域：

表示一个有 49 个元素的有限域：

算术  (3)

在有限域中执行算术运算：

有理数幂仅适用于指数分母 和 ：

对于某些域元素，平方根可能不存在：

算术运算将整数视为域的元素：

有理数需要在域特征模下有效：

用 Element 决定哪些有理数可以用域元素标识：

为了比较的目的，有理数用域元素标识：

不同有限域的元素不能合并：

具有相同特征和不可约域但不同元素表示的域是允许的：

自同构和嵌入  (2)

计算有限域元素的所有共轭：

共轭是 a 的最小多项式的根：

弗罗贝尼乌斯自同构将 映射到 ：

计算一个有限域在另一个有限域中的嵌入：

通过嵌入映射有限域元素：

嵌入保留算术运算：

有限域上的多项式  (2)

在有限域上计算多项式：

展开乘积：

计算最大公因式：

约去一个分数：

计算商和余数：

分解一个多项式：

计算结果：

计算多元多项式：

在有限域的扩张上对多项式进行因式分解：

多项式 在 上是不可约的：

将 嵌入更大的域 中，然后对 进行因式分解：

有限域上的线性代数  (1)

对有限域上的矩阵进行计算：

矩阵相乘：

计算矩阵的幂：

计算行列式：

计算逆矩阵：

求解线性方程：

计算矩阵的秩和零空间：

计算矩阵的 LU 分解：

对矩阵进行行约化：

求矩阵的特征多项式：

有限域上的方程  (1)

求解有限域上的方程：

单变量方程：

线性方程组：

多项式方程组：

求解的实例：

消除量词：

应用  (8)

执行纠错码. 汉明码将 位消息编码为 位序列，并且最多可以纠正一个错误：

令 为使用指数元素表示法的具有 个元素的有限域，令 是用于构造 的不可约多项式，令 为 的生成器：

编码后的消息是 的系数列表，其中 的系数列表是原始消息：

令 为多项式，该多项式的系数列表是接收到的消息：

如果接收到的消息没有错误，则 ，因此 ：

如果接收到的消息在位置 包含一个错误，则 ，因此 ：

检查并更正收到的消息：

要对消息进行解码，需要计算 的系数列表：

当接收到的消息没有错误或有一个错误时，解码后的消息是正确的：

为任意质数幂 构造 个正交的 阶拉丁方阵. 阶拉丁方阵是一个 数组，其中每一行和每一列都包含恰好 个元素中的每个元素一次. 如果通过并置两个数组形成的 个数对都不同，则称这对拉丁方阵是正交的：

验证所有数组都是拉丁方阵：

验证所有数组对都是正交的：

如果 时，和 都是不同的，那么一个有限的整数集合 是一个西顿（Sidon）集合. 对于质幂 ，在 中构造一个 个整数的西顿集合：

验证 是长度为 的西顿集合：

对于有 个字母的字母表，阶 的 de Bruijn 序列是字母表中 个字母的循环序列 ，使得 个字母的每个序列作为 的子序列恰好出现一次. 为一个有 个字母的字母表构造一个阶数为 的 de Bruijn 序列，取质幂 ：

验证对于一个有 个字母的字母表， 是阶数为 的 de Bruijn 序列：

如果 的所有项为 或 且 H.TemplateBox[{H}, Transpose]=n I_n，则 矩阵 是哈达玛（Hadamard）矩阵. 为任意素幂 构建一个阶数为 的哈达玛矩阵，其中 TemplateBox[{{q, =, 3}, 4}, Mod]：

实现高级加密标准（AES）算法中使用的 Rijndael S 盒步骤. 第一部分称为 Nyberg S 盒，使用 中的乘法逆：

第二部分涉及 上的仿射变换：

前向 S 盒由这两部分组成：

用十六进制符号计算前向 S 盒表：

定义逆 S 盒变换：

用十六进制符号计算逆 S 盒表：

验证逆 S 盒是正 S 盒的逆：

使用 2049 位素数实现 Diffie–Hellman 公钥密码系统：

查找域 的基元元素：

第一个用户选择一个私钥 ：

公钥由 、 和 组成：

第二个用户选择 ：

要发送 2048 位信息 ，第二个用户发送 和 ：

第一个用户可以通过计算 恢复 ：

实现数字签名方案. 固定一个质数 ，并找到 的基元 ：

选取一个秘密整数 ，并公布 、 和 ：

信息 的签名是一对 小于 并使得 的正整数. 计算签名需要知道秘密整数 ：

签名可通过公开信息进行验证：

为随机生成的信息计算签名：

验证签名：

属性和关系  (7)

具有特征 和扩张度 的有限域具有 个元素：

具有特征 的有限域的元素满足 ：

因此映射 是一个域自同构，称为 FrobeniusAutomorphism：

域生成器 是不可约域的根：

使用 FrobeniusAutomorphism 求 的剩余根：

具有 个元素的有限域的所有元素都是 的根：

实际上，：

在 上的任何 次不可约多项式都在 个元素的域上具有 个根：

使用 IrreduciblePolynomialQ 与 Modulusp 验证在 上的不可约性：

使用 Factor 与 Extensionℱ 验证 f 是线性因子在 ℱ 上的乘积：

使用 FiniteField[p,1] 在质数域 上计算：

与使用 Mod 获得的结果进行比较：

在 上进行多项式计算：

与使用 Modulus 选项获得的结果进行比较：

使用 ToFiniteField 将整数系数转换为有限域质子域中的元素：

FromFiniteField 将系数转换回整数：

将系数转换为有限场元，用 t 表示场发生器：

将有限域系数转换为 t 的多项式，其中 t 代表域发生器：

Wolfram Research (2023)，FiniteField，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html （更新于 2024 年）.

文本

Wolfram Research (2023)，FiniteField，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html （更新于 2024 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2023. "FiniteField." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html.

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Wolfram 语言. (2023). FiniteField. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/FiniteField.html 年

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