FrechetDistribution

FrechetDistribution[α,β]

形状母数 α，尺度母数 β のフレシェ(Fréchet)分布を表す．

FrechetDistribution[α,β,μ]

形状母数 α，尺度母数 β，位置母数 μ のフレシェ分布を表す．

詳細

  • フレシェ分布は，コーシー(Cauchy)分布のような分布からのサンプルの最大値の漸近分布を与える．
  • FrechetDistributionはタイプIIの極値分布としても知られている．
  • フレシェ分布における値 の確率密度は，のときは に比例し，その他の場合は0である．
  • 位置母数のあるフレシェ分布における値 の確率密度は， のときはに比例し，その他の場合は0である．
  • FrechetDistributionでは，α と β は任意の正の実数でよく，μ は任意の実数でよい．
  • FrechetDistributionでは，β と μ は単位次元が等しい任意の数量でよく，α は無次元量でよい． »
  • FrechetDistributionは，Mean，CDF，RandomVariate等の関数とともに使うことができる．

予備知識

  • FrechetDistribution[α,β,μ]は，区間上で定義され，実数 μ（「位置母数」と呼ばれる）および2つの正の実数 α および β（それぞれ「形状母数」および「尺度母数」と呼ばれる）によってパラメータ化された，連続統計分布を表す．フレシェ分布の確率密度関数(PDF)は単峰性で，母数 μ がPDFの水平オフセットを決定し，母数 α および β がPDFの全体的な高さと傾斜を決定する．これに加え，PDFの裾部は， の大きい値についてPDFが指数的に減少するという意味で「薄い」（この動作は，分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に厳密にすることができる）．フレシェ分布はタイプIIの極値分布（Wolfram言語でExtremeValueDistributionとして実装されている「極値分布」と混同してはならない）と呼ばれることがある．
  • FrechetDistributionは，「極値分布」として分類される4つの分布の1つ（他の3つはGumbelDistribution，ExtremeValueDistribution，WeibullDistribution) であり，したがって，「極端な」あるいは「稀有な」事象の数量化のツールとして使われる．フレシェ分布はフランス人数学者のMaurice René Frechétにちなんで命名されたもので，1920年代の終り頃，高次数統計の可能な極限分布（つまり，他の分布に従って分布するサンプル分布の最大値の潜在的な漸近分布）として導入された．フレシェ分布は，その導入当時から，人間の寿命，放射能の放出，洪水や地震の分析，1日の最大降雨量等，現実世界のさまざまな事象のモデル化と結びついていた．
  • RandomVariateを使って，フレシェ分布から，1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度（後者はWorkingPrecisionオプションを介す）の擬似乱数変量を得ることができる．Distributed[x,FrechetDistribution[α,β,μ]]（より簡略すると xFrechetDistribution[α,β,μ]）を使って，確率変数 x が，フレシェ分布に従って分布していると宣言することができる．このような宣言は，Probability，NProbability，Expectation，NExpectation等の関数で使うことができる．
  • 確率密度関数および累積分布関数は，PDF[FrechetDistribution[α,β,μ],x]およびCDF[FrechetDistribution[α,β,μ],x]を使って得られることがある．平均，中央値，分散，原点の周りのモーメント，中心モーメントは，それぞれMean，Median，Variance，Moment，CentralMomentを使って計算することができる．
  • DistributionFitTestを使って，与えられたデータ集合がフレシェ分布と一致するかどうかを検定することが，EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリックフレシェ分布を推定することが，FindDistributionParametersを使ってデータをフレシェ分布にフィットすることができる．ProbabilityPlotを使って記号フレシェ分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが，QuantilePlotを使って記号フレシェ分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる．
  • TransformedDistributionを使って変換されたフレシェ分布を表すことが，CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが，TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる．CopulaDistributionを使ってフレシェ分布を含む高次元分布を構築することが，ProductDistributionを使ってフレシェ分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる．
  • フレシェ分布は他のいくつかの分布と関係がある．先に述べた通り， FrechetDistributionは，ExtremeValueDistribution，GumbelDistribution，WeibullDistributionと数量的関係を共有する．これらの関係は，FrechetDistribution[α,β]のPDFがTransformedDistribution[β2/z,zWeibullDistribution[α,β]]と厳密に等しく，WeibullDistributionはExtremeValueDistributionおよびGumbelDistributionの両方の変換バージョンであることに注目することで数量化することができる．FrechetDistribution[α,β]のPDFは，適切な変換と仮定のもとでMaxStableDistribution[β,β/α,1/α]およびMinStableDistribution[-β,β/α,1/α]と等しく，適切な一連の変換のもとでUniformDistributionから得ることができる．FrechetDistributionは，ExpGammaDistribution，ExponentialDistribution，LogisticDistributionとも関連がある．

例題

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例  (5)

確率密度関数：

位置母数を伴う：

累積分布関数：

位置母数を伴う：

平均：

分散：

中央値：

スコープ  (8)

フレシェ分布に従う擬似乱数のサンプルを生成する：

そのヒストグラムを確率密度関数と比較する：

分布母数推定：

サンプルデータから分布母数を推定する：

サンプルの密度ヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

歪度は第1母数にのみ依存する：

極限値：

尖度は第1母数にのみ依存する：

極限値：

母数の関数としての閉じた形の種々モーメント：

Moment：

記号次数の閉じた形：

CentralMoment：

FactorialMoment：

Cumulant：

ハザード関数：

位置母数を伴う：

分位関数：

位置母数を伴う：

母数でQuantityを一貫して使うとQuantityDistributionが返される：

ミリリットルに変換する：

中央値を求める：

アプリケーション  (2)

ある研究によると，火山の噴火による火山灰（固形物）の年間最大量は，形状母数0.71，尺度母数6.3，単位立方キロメートルのFrechetDistributionに従うという：

火山灰の年間最大量の中央値を求める：

火山灰の年間最大量の平均を求める：

分布の最頻値を求める：

火山灰の年間最大量が30立方キロメートルを超える確率を求める：

次の30年間の年間最大火山灰量のシミュレーションを行う：

FrechetDistributionを使って年間最大風速のモデルを求めることができる：

分布をデータにフィットする：

データのヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

年間最大風速が時速90キロを超える確率を求める：

年間最大風速の平均を求める：

30年間の年間最大風速のシミュレーションを行う：

特性と関係  (8)

フレシェ分布は正の母数によるスケーリングと平行移動の下では閉じている：

FrechetDistributionの族は最大値の下で閉じている：

FrechetDistributionのCDFは最大安定条件方程式を解く：

と を固定して簡約する：

他の分布との関係：

デフォルトの位置は0である：

フレシェ分布はWeibullDistributionを変換したものである：

フレシェ分布はMaxStableDistributionに関連している：

フレシェ分布はMinStableDistributionに関連している：

おもしろい例題  (1)

累積分布関数の等高線を持つ α のさまざま値についての確率密度関数：

Wolfram Research (2010), FrechetDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FrechetDistribution.html （2016年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2010), FrechetDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/FrechetDistribution.html （2016年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2010. "FrechetDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/FrechetDistribution.html.

APA

Wolfram Language. (2010). FrechetDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/FrechetDistribution.html

BibTeX

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