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GaussianSymplecticMatrixDistribution

GaussianSymplecticMatrixDistribution[σ,n]

表示复数域上矩阵维度为 {2 n,2 n} 且尺度参数为 σ 的高斯辛矩阵分布.

GaussianSymplecticMatrixDistribution[n]

表示带单位尺度参数的高斯辛矩阵分布.

更多信息

GaussianSymplecticMatrixDistribution 也被称为高斯辛系综，或 GSE.
GaussianSymplecticMatrixDistribution 是辛厄米特矩阵的分布，其中是由服从 NormalDistribution[0,σ] 分布的独立同分布的实数及虚数矩阵元素构成的复方阵，且是斜对称矩阵 KroneckerProduct[{{0,-1},{1,0}},IdentityMatrix[n]].
高斯辛矩阵分布中的四元数厄米特矩阵具有块结构，其中是维度为 {n,n} 的实对称矩阵，而是大小为 {n,n} 的反对称实矩阵.
的概率密度正比于 .
尺度参数 σ 可以是任意正数而维度参数 n 可以是任意正整数.
GaussianSymplecticMatrixDistribution 可以和诸如 MatrixPropertyDistribution， EstimatedDistribution 及 RandomVariate 这样的函数一起使用.

背景

GaussianSymplecticMatrixDistribution[σ,n] 也称之为高斯辛系综 (GSE)，表示在复辛厄米特矩阵上的统计分布，即满足和偶维数的方形复矩阵，其中表示的共轭转置，是的转置，是带有 ⊗ 克罗内克积的形式为的辛矩阵. 按照 GaussianSymplecticMatrixDistribution 分布的矩阵具有与成正比的概率密度. 此外，所有项的集合是实部和虚部（分别为 Re 和 Im）按 NormalDistribution[0,σ] 同分布的复变数的独立集合. GaussianSymplecticMatrixDistribution[σ,n] 由正整数 n（维数参数）和正实数 σ（标量参数）参数化. 尽管名字是“高斯辛矩阵分布”，但是属于该分布的矩阵不需要是辛的.
一个参数形式的 GaussianSymplecticMatrixDistribution[n] 等价于 GaussianSymplecticMatrixDistribution[1,n].
与高斯正交和高斯酉分布（分别为 GaussianOrthogonalMatrixDistribution 和 GaussianUnitaryMatrixDistribution）一起，高斯辛矩阵分布是 3 个高斯矩阵系综之一，最初是由 Eugene Wigner 建议为核物理学中研究波动的工具. 数学上，GSE 通过对辛群元素取共轭是不变的，其物理性模拟了带有时间反演对称性的哈密顿体系，但是没有旋转对称. 矩阵系综，像高斯辛矩阵分布在学习随机矩阵理论，以及物理和数学的各种分支中是相当的重要.
RandomVariate 可用于从高斯辛矩阵分布中给出一个或多个机器或随机精度（后者是通过 WorkingPrecision 选项）的伪随机变数，这种变数集合的均值、中位数、方差、原始矩和中心矩可分别用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 进行计算. Distributed[A,GaussianSymplecticMatrixDistribution[σ,n]] 可以更简明地写成 AGaussianSymplecticMatrixDistribution[σ,n]，可用于断言随机矩阵 A 是按高斯辛矩阵分布分布的. 这种断言可用于函数，诸如 MatrixPropertyDistribution.
按照高斯辛矩阵分布的变数的轨迹、特征值和范数可以分别用 Tr、Eigenvalues 和 Norm 计算. 这种变数也可以用 MatrixFunction 和 MatrixPower 进行检验，相关的实量，例如，实部 (Re)、虚部 (Im) 和复参数 (Arg) 可以用 MatrixPlot 进行绘制.
GaussianSymplecticMatrixDistribution 也与其他分布相关. 如上所讨论，定性地讲，它类似于高斯矩阵分布 GaussianOrthogonalMatrixDistribution 和 GaussianUnitaryMatrixDistribution. 高斯系综的泛化包括所谓的圆矩阵系综，因此 GaussianSymplecticMatrixDistribution 也与 CircularOrthogonalMatrixDistribution、CircularQuaternionMatrixDistribution、CircularRealMatrixDistribution、CircularSymplecticMatrixDistribution 和 CircularUnitaryMatrixDistribution 相关. GaussianSymplecticMatrixDistribution 也与 MatrixNormalDistribution、MatrixTDistribution、WishartMatrixDistribution、InverseWishartMatrixDistribution, TracyWidomDistribution 和 WignerSemicircleDistribution 相关.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

生成伪随机矩阵：

检查矩阵是厄米特阵：

检查它也是四元数自对偶的：

用 MatrixPropertyDistribution 表示随机矩阵特征值的联合分布并从中取样：

均值和方差：

范围 (4)

生成单个伪随机矩阵：

生成一组伪随机矩阵：

数值计算统计性质：

分布参数估计：

根据抽样数据估计分布参数：

比较分布的 LogLikelihood：

应用 (2)

一个 2x2 的 GSE 矩阵的采样特征值间距分布：

比较直方图和解析形式，其中解析形式也被称为 Dyson 指数的 Wigner 估测：

对 2x2 的 GSE 矩阵的特征值的联合分布采样：

一般来说，特征值都是二重的：

使用 RandomSample 随机排列特征值以补偿因算法指定的顺序：

可视化估计密度：

比较估计密度和已知的解析形式的结果：

计算2乘2的 GSE 矩阵情形下的密度：

比较密度和根据样本估计的直方图密度：

确认与拟合优度检验的一致度：

属性和关系 (4)

GaussianSymplecticMatrixDistribution 的每个实例都是厄米特矩阵：

并且，GaussianSymplecticMatrixDistribution 的样本矩阵满足四元数自对偶条件：

MatrixExp 作用于而采样于 GaussianSymplecticMatrixDistribution，结果是酉辛矩阵：

大型 GSE 矩阵的谱密度收敛到 WignerSemicircleDistribution：

比较直方图与概率密度函数：

大型 GSE 矩阵的缩放度最大的特征值的分布收敛于 TracyWidomDistribution：

比较样本直方图与 TracyWidomDistribution[4] 的 PDF：

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