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PascalBinomial

PascalBinomial[n,m]

パスカル(Pascal)の恒等式を保持する二項係数を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学的整数関数である．
PascalBinomialは，組合せおよび選択関数としても知られている．
PascalBinomialは，すべての整数値についてパスカルの恒等式を保持する非対称係数を与える．負の整数に対して対称である係数にBinomialを使う．PascalBinomialとBinomialは，負の整数についての場合を除いて一致する．
一般に，は，またはこの適切な極限によって定義される．
が負の整数のときは，である． »
選択された特定の極限が，すべての複素数とについてパスカルの恒等式を保持する． »
対称則は，すべてのとほとんどのについて満足されるが，負の整数については満足されない． »
整数の引数については，PascalBinomialは自動的に厳密値に評価される．
PascalBinomialは，単純な場合は自動的に記号的に評価される．その他の場合についてはFunctionExpandが結果を与える． »
PascalBinomialは任意の数値精度で評価できる．
PascalBinomialは自動的にリストに縫い込まれる．
PascalBinomialは，IntervalオブジェクトやCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (5)

数値的に評価する：

記号的に評価する：

パスカルの三角形を構築する：

実数の部分集合上に，その第1パラメータの関数としてプロットする：

実数の部分集合上に，その第2パラメータの関数としてプロットする：

複素数の部分集合上にプロットする：

スコープ (34)

数値評価 (7)

数値的に評価する：

半整数の引数について評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

高精度で効率的に評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合の保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のPascalBinomial関数を計算することもできる：

特定の値 (5)

特定の点におけるPascalBinomialの値：

記号的な n についてのPascalBinomial：

0における値：

から離れたすべての整数についてゼロになる点に注意のこと：

n と m が両方とも負の整数のとき，PascalBinomial[n,m]は0である：

PascalBinomial[n,2]=15である n の値を求める：

可視化 (3)

PascalBinomialをそのパラメータ n の関数としてプロットする：

PascalBinomialをそのパラメータの関数としてプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性 (12)

パラメータ n の関数としてのPascalBinomialの実領域：

パラメータ m の関数としてのPascalBinomialの実領域：

複素領域：

PascalBinomial関数の値域：

PascalBinomialは鏡面特性を持つ：

PascalBinomialを含む和を計算する：

が正のとき，は両方の変数の解析関数である：

負のについてはその限りではない：

は，非減少でも非増加でもない：

は単射ではない：

は全射ではない：

PascalBinomialは，非負でも非正でもない：

は，が負のところで特異点と不連続点を持つ：

は凸でも凹でもない：

TraditionalFormによる表示：

微分 (3)

についての一次導関数：

についての高次導関数：

のときのについての高次導関数をプロットする：

についての一次導関数：

級数展開 (2)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周囲の最初の3つの近似をプロットする：

生成点におけるテイラー展開：

関数の恒等式と簡約 (2)

関数の恒等式：

漸化式：

アプリケーション (9)

個の要素の集合から置換なしで個の要素を選ぶ方法は通りある：

直接列挙して確認する：

個の要素の集合から置換ありで個の要素を選ぶ方法は通りある：

直接列挙して確認する：

ある種類の区別が付かない個のオブジェクトと別の種類の区別が付かない個のオブジェクトを並べる方法は通りある：

二項定理を説明する：

分数二項定理：

2を法として二項係数：

引数平面でPascalBinomialをプロットする：

個の要素から個を選ぶ方法の数の対数をプロットする：

2つの関数の積の高次導関数を計算する：

特性と関係 (8)

整数については，PascalBinomial[n,m]はに等しい：

これは，のときは $(-1)^m TemplateBox[{{-, n}, m}, Pochhammer]/m!$ と表すことができる．それ以外の場合はである：

整数についての別の式：

パスカルの恒等式はあらゆるところで満足される：

特に，原点についてはそうである：

対称則は，負の整数については成り立たないかもしれない：

値によっては成り立つかもしれないが，一般に正の整数の場合は成り立たない：

Binomialはあらゆるところで対称則を満足する：

PascalBinomialは，記号引数については単純な評価を行う：

PascalBinomialは，通常，引数が記号のときは評価されない：

FunctionExpandを条件付きで使って適切な簡約を得る：

n と m の両方が負の整数のとき，PascalBinomial[n,m]は0である：

FullSimplifyを使って二項係数を含む式を簡約する：

FunctionExpandを使ってGamma関数に展開する：

PascalBinomialを含む和：

おもしろい例題 (7)

パスカルの三角形のグラフィカルなバージョンを構築する：

三角形を負の整数に拡張する．ラベルのない点は値0を示している：

一方，Binomialは右上の部分を反映して左上の部分を定義する：

を法とした二項係数：

ヒルベルト行列の閉じた逆行列：

複素平面上のネストした二項式：

無限大でPascalBinomialをプロットする：

複素係数についてPascalBinomialをプロットする：

ガウス整数でPascalBinomialをプロットする：

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