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PascalBinomial

PascalBinomial[n,m]

给出保持帕斯卡恒等式成立的二项式系数 .

更多信息

整数数学函数，适宜于符号和数字运算.
PascalBinomial 也称为组合和选择函数.
对于所有整数，PascalBinomial 给出保持 Pascal 恒等式成立的非对称系数. 对于负整数，用 Binomial 求对称系数. 除负整数以外，PascalBinomial 和 Binomial 的结果一致.
通常，由定义，或由适合的极限定义.
为负整数时，. »
所选的特定极限对所有复数和都可保持帕斯卡恒等式成立. »
对称规则对所有和大多数都适用，但不适用于负整数 . »
对于整数参数，PascalBinomial 自动算出精确值.
对于简单情况，PascalBinomial 会自动进行符号运算；其他情况下，FunctionExpand 会给出结果. »
PascalBinomial 的计算结果可以为任意数值精度.
PascalBinomial 自动逐项作用于列表的各个元素.
PascalBinomial 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例 (5)

数值计算：

符号计算：

构建帕斯卡三角：

在实数子集上绘制作为第一个参数的函数：

在实数子集上绘制作为第二个参数的函数：

在复数子集上绘制：

范围 (36)

数值计算 (7)

数值计算：

对半整数参数进行计算：

算出高精度结果：

输出的精度与输入的精度一致：

复数输入：

在高精度条件下高效计算：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

计算数组中各个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 PascalBinomial 函数：

特殊值 (5)

特定点上的 PascalBinomial 值：

n 为符号的 PascalBinomial：

零处的值：

注意，对于远离的所有整数，结果都为零：

当 n 和 m 都是负整数时，PascalBinomial[n,m] 为零：

求使得 PascalBinomial[n,2]=15 的 n 的值：

可视化 (3)

绘制作为参数 n 的函数的 PascalBinomial：

绘制作为参数的函数的 PascalBinomial：

绘制的实部：

绘制的虚部：

函数的属性 (12)

作为参数 n 的函数的 PascalBinomial 的实定义域：

作为参数 m 的函数的 PascalBinomial 的实定义域：

复定义域：

PascalBinomial 的值域：

PascalBinomial 有镜像属性：

计算含有 PascalBinomial 的和：

为正时，是两个变量的解析函数：

为负时则不成立：

既不是非递增，也不是非递减：

不是单射函数：

是满射函数：

PascalBinomial 既不非负的也不非正：

为负整数时，有奇点和断点：

既不凸也不凹：

TraditionalForm 格式：

微分 (3)

关于的一阶导数：

关于的高阶导数：

绘制时关于的高阶导数：

关于的一阶导数：

级数展开式 (4)

用 Series 求泰勒级数展开：

绘制处的前三个近似式：

求 Infinity 处的级数展开式：

求任意符号方向上的级数展开式：

在普通点上的泰勒展开式：

函数恒等式和化简 (2)

函数恒等式：

递归关系式：

应用 (9)

从个元素的集合中，有种方式可以不重复地选出个元素：

通过直接枚举进行检查：

从个元素的集合中，有种方式可以有重复地选出个元素：

通过直接枚举进行检查：

有种方式排列个无法区分的一类物体和个无法区分的另一类物体：

说明二项式定理：

分数二项式定理：

二项式系数模 2：

在参数平面中绘制 PascalBinomial：

绘制从个元素中挑选个元素的方法的数量的对数：

计算两个函数乘积的高阶导数：

属性和关系 (8)

在整数上，PascalBinomial[n,m] 等于：

时，这可以表示为 $(-1)^m TemplateBox[{{-, n}, m}, Pochhammer]/m!$ for ，其他情况下为 0：

关于整数的另一种公式：

帕斯卡恒等式处处成立：

尤其是在原点处也成立：

对称规则可能对负整数不成立：

它可能对某些值成立，但对于正整数通常不成立：

Binomial 处处满足对称规则：

PascalBinomial 对符号参数进行简单的计算：

当两个参数都是符号时，PascalBinomial 通常无法进行计算：

可使用带条件的 FunctionExpand 来实现适当的简化：

当 n 和 m 都是负整数时，PascalBinomial[n,m] 为 0：

用 FullSimplify 化简含有二项式系数的表达式：

用 FunctionExpand 展开为 Gamma 函数：

含有 PascalBinomial 的和：

巧妙范例 (7)

构建帕斯卡三角图形：

将三角扩展到负整数；未标记的点的值为零：

相反，Binomial，通过反射右上角区域来定义左上角区域：

二项式系数模：

希尔伯特矩阵的逆：

复平面上的嵌套二项式：

绘制无穷处的 PascalBinomial：

绘制参数为复数的 PascalBinomial：

绘制高斯整数上的 PascalBinomial：

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