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PowerDistribution

PowerDistribution[k,a]

表示定义域参数为 k、形状参数为 a 的幂分布.

更多信息

在一个幂分布中，值的概率密度当时与成正比，其余时候为零.
PowerDistribution 允许 k 和 a 为任意正实数.
PowerDistribution 允许 k 为带有任意单位量纲的量，允许 a 为无量纲量. »
PowerDistribution 可与 Mean、CDF 和 RandomVariate 等函数联合使用.

背景

PowerDistribution[k,a] 表示一个在区间上有效的连续统计分布，参数为正实数 k 和 a （分别被称为“定义域参数”和“形状参数”，它们共同决定了概率密度函数(PDF)的整体特性. 通常情况下，幂分布的 PDF 是单调增长的，在定义域的上边界处有全局最大值，而它的整体形状（高度、展布和最大值的水平位置）则由 k 和 a 的值所决定.
RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的幂分布中的伪随机变数. Distributed[x,PowerDistribution[k,a]]，更简洁的式子为 xPowerDistribution[k,a]，可用来断定一个随机变量 x 服从幂分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
通过使用 PDF[PowerDistribution[k,a],x] 和 CDF[PowerDistribution[k,a],x]，可以得到幂分布的概率密度和累积分布函数. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩.
可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合幂分布，根据给定数据，用 EstimatedDistribution 来估计参数化的幂分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成幂分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式幂分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式幂分布的分位数的比较图.
可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的幂分布，用 CensoredDistribution 表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含幂分布的高维分布， ProductDistribution 可以计算由独立分布为幂分布所得的联合分布.
PowerDistribution 与许多其它分布有关. 由于 PowerDistribution[1,α] 的 PDF 恰好与 KumaraswamyDistribution[α,1] 和 PearsonDistribution[1,1-α,α-1,1,-1,0] 的 PDF 一致，PowerDistribution 与 KumaraswamyDistribution 和 PearsonDistribution 都有关. 而且，PowerDistribution 可由 ExponentialDistribution 和 ParetoDistribution 转换(TransformedDistribution)而得，因为当 uExponentialDistribution[α] 和 uParetoDistribution[k,α] 时，PowerDistribution[k,α] 的 PDF 与和的 PDF一样. PowerDistribution 还与 ExponentialPowerDistribution 有关.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

概率密度函数：

累积分布函数：

均值和方差：

中位数：

范围 (8)

生成服从幂分布的伪随机数样本：

比较其直方图与概率密度函数：

分布参数估计：

从样本数据估计分布参数：

比较样本直方图和估计分布的概率密度函数：

偏度仅依赖于形状参数：

极限值：

峰度仅依赖于形状参数：

极限值：

获得最小峰度值：

以参数的函数形式表示不同矩的解析式：

具有符号式阶数的解析式：

具有符号式阶数的解析式：

FactorialMoment:

风险函数：

分位数函数：

在参数中对 Quantity 使用的一致性产生了 QuantityDistribution:

求平均体积：

应用 (1)

假设正态分布的方差服从定义于单位区间上的 PowerDistribution. 求所得分布：

生成随机变量：

比较样本直方图和分布密度：

属性和关系 (9)

幂分布在尺寸缩放一个正因子的情况下是闭合的：

幂分布在 Max 的作用下是闭合的：

与其它分布的关系：

KumaraswamyDistribution 简化为幂分布的一个特殊情形：

幂分布是 ExponentialDistribution 的一个转换：

ExponentialDistribution 可以从幂分布得到：

幂分布是 ParetoDistribution 的逆的分布：

UniformDistribution 是 PowerDistribution 的一个转换：

PowerDistribution 是 PearsonDistribution 的一个特殊情形:

巧妙范例 (1)

不同 a 值的概率密度函数，同时显示 CDF 等高线：

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