制約条件 に従って を最小化する：

解の特性"PrimalMinimumValue"を使って最小にする値を得る：

制約条件に従って を最小化する：

解の特性を使って最小化する値と最小化するベクトルを得る：

制約条件 に従って を最小化する：

目的関数を として，制約条件を として定義する：

行列ベクトル入力を使って解く：

等式制約 と不等式制約件 に従って を最小化する：

目的関数を として，制約条件を および として定義する：

行列ベクトル入力を使って解く：

制約条件 に従って を最小化する：

目的関数を として，制約条件を として定義する：

行列ベクトル入力を使って解く：

制約条件 に従って を最小化する：

VectorGreaterEqual ()とVectorLessEqual ()を使って制約条件を指定する：

に従って を最小化する．ベクトル変数と定数パラメータ方程式を使う：

に従って を最小化する．NonNegativeRealsを使って制約条件 を指定する：

Integersを使って整数領域制約を指定する：

Vectors[n,Integers]を使ってベクトル変数についての整数領域制約を指定する：

NonNegativeIntegers ()を使って非負の整数領域制約を指定する：

NonPositiveIntegers ()を使って非正の整数制約を指定する：

Complexesを使って複素変数を指定する：

目的関数 でエルミート行列 と実数値の変数を使う：

目的関数 でエルミート行列 と複素変数を使う：

制約条件 に従ってを最小化する：

"PrimalMinimizer"を使ってベクトル出力を得る：

"PrimalMinimizerRules"を使ってルールベースの結果を得る：

"PrimalMinimumValue"を使って最適化の最小にする値を得る：

記号入力を使って主最小値を得る：

最適化問題の行列ベクトル入力を抽出する：

行列ベクトル形式を使って解く：

目的定数を加えることで記号による主値を回復する：

最小化問題に関連する等式と不等式についてスラックを求める：

最小値と制約行列を得る：

不等式制約 についてのスラックは，となるようなベクトル である：

等式制約 のスラックは，となるようなベクトル である：

等式スラック はゼロベクトルであることが多い：

と に従って を最小化する：

双対問題は，に従って を最大化する：

強双対性のため，主最小値と双対最大値は一致する：

したがって，双対性ギャップはゼロである．一般に，最適点で である：

主問題から抽出した制約行列を使って双対問題を構築する：

目的関数と制約行列および制約ベクトルを抽出する：

双対問題は，に従ってを最大化する：

解の特性を使って双対最大値を直接得る：

解の特性を使って双対最大値を直接得る：

"ConstraintSensitivity"を使って，制約緩和による最適値の変化を求める：

第1ベクトルは不等式感度で第2ベクトルは等式感度である：

制約条件 について考える．ただし， は緩和である：

近似した新たな最適値は以下で与えられる：

緩和問題を直接解く場合と比較する：

不等式制約または等式制約に関連した各感度：

制約条件を抽出する：

不等式制約と関連する感度：

等式制約と関連する感度：

制約条件の緩和による最適値の変化は感度値に比例する：

最小値と制約感度を計算する：

制約条件が緩和している場合は，ゼロ感度が最適値を変える：

負の感度は最適値を減少させる：

正の感度は最適値を増大させる：

"ConstraintSensitivity"は，問題の双対マキシマイザに関連している：

不等式感度 は を満足する．ただし，は双対不等式マキシマイザである：

等式感度 は を満足する．ただし，は双対等式マキシマイザである：

メソッド "COIN"はCOINライブラリを使う：

"CSDP"と"DSDP"は半正定値最適化に還元される：

"SCS"は円錐最適化に還元される：

"PolyhedralApproximation"は線形制約を使ってオブジェクトを近似する：

最小二乗型の二次問題については，"CSDP"と"DSDP"は"COIN"または"SCS"よりも低速である：

"COIN"メソッドを使って最小二乗問題を解く：

"CSDP"メソッドを使って問題を解く：

最小二乗型の二次問題については，"CSDP"，"DSDP"，"PolyhedralApproximation"は"COIN"あるいは"SCS"よりも遅い：

"COIN"法を使って最小二乗問題を解く：

"CSDP"法を使って問題を解く：

"PolyhedralApproximation"法を使って問題を解く：

複数の最適解がある問題については，メソッドによって結果が異なることがある：

凹関数の最小化はMethod"COIN"を使ってのみ行うことができる：

その他のメソッドは目的行列の因数分解が必要なので使えない：

"Quality"設定で計算時間を犠牲にし，より正確な結果を得る：

"Speed"を使って品質を犠牲にし，結果をより速く得る：

Toleranceの設定値を小さくすると，より正確な結果が得られる：

Toleranceの設定値を変えて，計算上の最小値と厳密な最小値の誤差を求める：

許容度に対する最小値の誤差の変化を可視化する：

Toleranceの設定を小さくするとより正確な答が得られるが，計算時間は長くなることが多い：

許容範囲を狭くすると時間がかかる：

許容範囲が狭いとより正確な答が得られる：

MachinePrecisionは，QuadraticOptimizationにおけるWorkingPrecisionオプションのデフォルトである：

WorkingPrecisionAutomaticのとき，QuadraticOptimizationは使用する精度を入力から推測する：

QuadraticOptimizationは任意性度数を使って結果が計算できる：

指定された精度が入力引数の精度よりも低い場合は，メッセージが出される：

高精度の結果が計算できないときは，メッセージが出されてMachinePrecisionの結果が返される：

に従ってを最大化する．目的関数を否定することで最大化問題を解く：

主最小値を否定して対応する最大値を得る：

目的関数をに変換することで を最小化する：

を拡張することで目的関数を構築する：

QuadraticOptimizationは を最小化するので，行列は2倍される：

もとの関数の最小値は として回復される：

QuadraticOptimizationはこの変換を直接実行する．Inactiveを使って目的関数を構築することで縫込みを回避する：

制約条件 に従って を最小化する．目的関数を に変換して問題を解く：

変換 を使ってもとの最小値を回復する：

制約条件に従ってを最小化する．制約条件はに変換することができる：

制約条件に従ってを最小化する．制約条件はと解釈することができる．各制約条件でこの問題を解く：

最適解は2つの解の小さい方である：

に従って を最小化する．ただし， は代りに を最小化する非減少関数である．主ミニマイザは はどちらの問題でも同じままである．に従って を最小化することを考える：

真の最小値は関数 を主最小値に適用することで得られる：

に従って を最小化する：

なので，主最小値が0より大きいときにのみ解は真の解である．主最小値は関数 を主最小値に適用することで得られる：

を最小化することで離散データの線形フィットを求める：

DesignMatrixを使って因数分解した二次行列を構築する：

線の係数を求める：

フィットをデータと比較する：

を最小化することで離散データへの二次フィットを求める：

DesignMatrixを使って因数分解した二次行列を構築する：

二次曲線の係数を求める：

フィットとデータを比較する：

データの最初と最後の点が曲線上にあるようにして，二次曲線データをフィットする：

DesignMatrixを使って因数分解した二次行列を構築する：

次は，2つの等式制約である：

線の係数を求める：

フィットとデータを比較する：

基底 を使ってノイズのあるデータの補間関数を求める：

補間関数は である：

補間関数の係数を求める：

フィットとデータを比較する：

制約条件 に従ってを最小化する：

の制約条件がない最小値と比較する：

濃度で制約された最小二乗問題． が最大で 個の非零要素を持つようにを最小化する：

が，もし ならば は非零となるような決定ベクトルであるとする．決定制約は次のようになる：

のときの制約 をモデル化するために，となるような大きい定数 を選ぶ：

濃度で制約された最小二乗問題を解く：

部分集合の選択は，Fitで 正規化を使うとより効率よくできる．まず，最高で 個の基底関数を使う正規化パラメータの範囲を求める：

で正規化されたフィットにおける非零項を求める：

これらの基底項だけのフィットを求める：

関数集合候補から与えられたデータを近似する関数の最良の部分集合を求める：

近似関数は となる：

最終の近似には最大5個の基底関数が使われる：

選択されなかった関数に関連付けられた係数は0でなければならない：

関数の最良の部分集合を求める：

結果の近似を与えられたデータと比較する：

三次元の点の2つの集合 と を分割する平面 を求める：

分割するためには，集合1は を，集合2は を満足しなければならない．を最小化することで超平面を求める：

平面 と平面 の距離はである：

点の2つの集合を分割する平面は以下の通りである：

2つのデータ集合を分割する平面をプロットする：

三次元の2つの点の集合 と を分割する二次多項式を求める：

DesignMatrixを使って2つの集合についての二次多項式データ行列を構築する：

分割するためには，集合1は を，集合2は を満足しなければならない．を最小化することで分割曲面を求める：

点の2つの集合を分割する多項式は以下の通りである：

2つのデータ集合を分割する多項式をプロットする：

平面 と の上の点 に最も近い点を求める：

を最小化することで に最も近い点を求める．目的関数の構築にはInactive Plusを使う：

2つの凸多面体間の距離を求める：

両者を繋ぐ線に最も近い点を示す：

指定された領域を包含する最小の球の半径 と重心 を求める：

もとの最小化問題は， に従って を最小化するものである．この問題の双対は，に従ってを最大化するものである：

双対最大化問題を解く：

包含している最小の球の重心は である：

包含している最小の球の半径は最大値のSqrtである：

包含している球を可視化する：

包含している最小の球はBoundingRegionを使って効率よく求めることができる：

最低でも1000ドルの配当が得られリスクが最小となるように，資本金10000ドルを4つの株に割り当てる方法を求める．期待する戻り値と株式に関連付けられた共分散行列 は次の通りである：

4つの株の単価は1ドルである．各株には最大で2500ドルを割り当てることができる：

この投資は最小で1000ドルを生み出さなければならない：

負の株式を買ってはならない：

各株式に費やす金額の総量は， で与えられるリスクを最小化することで求められる：

最低でも1000ドルが得られる総投資額は以下の通りである：

空売りオプションも含めて最低でも配当が1000ドルになるようにし，リスクが最小となるようにして，4つの株式から買う株の数を求める：

資本金についての制約と投資に対する配当の制約は次の通りである：

空売りオプションを使用すると株が売却できる．目的関数 によって与えられるリスクを最小化することで，買う／空売りする株式の最適数がもとまる：

2番目の株式は空売りすることができる．空売りで最低1000ドル得るための総投資額は以下の通りである：

空売りをしなければ，初期投資ははるかに大きくなければならない：

リスクを最小限に抑えながら収益を最大化するために，可能性のある20の候補株の中から投資する6つの株の最適な組合せを求める：

を株式 で行われた総投資の割合とする．利益は で与えられる．ここで， は各株式の期待利益値のベクトルである：

を決定ベクトルとし，の場合はその株を購入する．6つの銘柄を選択する必要がある：

投資の割合 は0より大きく，1に加算する必要がある：

で与えられるリスクを最小化して利益を最大化する最適な株式の組合せを求める：

最適な株式の組合せは以下のようになる：

各株式に投じる投資額の割合は以下のようになる：

リスクが最小で利益か最大になるような，資本の6つの株式への投資配分を求める：

株式 への投資の全投資に占める割合を としよう．利益は で与えられる．ただし， は個別の株式の予想収益の値のベクトルである：

リスクは で与えられる． はリスク回避パラメータである：

目標は，指定されたリスク回避パラメータ についてリスクを最小にしつつ利益を最大にすることである：

投資 の割合はすべて0より大きく1に加えられなければならない：

リスク回避パラメータの範囲内で利益と対応するリスクを計算する：

範囲 における最適値 は，リスクと利益のトレードオフにおける上包を与える：

指定された数のリスク回避パラメータについて投資 の占める割合を計算する：

リスク回避パラメータ を大きくすると株式が多様化しリスクが軽減される：

リスク回避パラメータ を大きくすると投資に対する予想収益が減少する：

に従って を最小化する．最小化関数積分は台形規則を使って近似することができる．離散化された目的関数は である：

制約条件 は有限差分を使って離散化することができる：

制約条件 はIndexed関数を使って表すことができる：

制約条件 は有限差分を使って離散化することができる．最初と最後の行だけが使われる：

離散化された軌道問題を解く：

離散化された結果をInterpolatingFunctionに変換する：

結果を解析解と比較する：

2点間の最短経路を障害物を避けながら求める．障害物を指定する：

凸型の障害を形成する半空間を抽出する：

経路の始点と終点を指定する：

この経路は 点を使って離散化できる．が位置ベクトルを表すとする：

目的はを最小化することである．とする．目的は に変換された：

終点の制約を指定する：

連続する任意の2点間の距離は長過ぎてはならない：

の要素の少なくとも1つが0未満のとき，点 は目的の外になる．この制約条件を強制するために，が決定ベクトルで がとなるような の 番目の要素であるとする．こうすると となり は となるための十分大きくなる：

障害物の周囲の経路の最短距離を求める：

経路を抽出して表示する：

障害物との潜在的な交差を避けるために，領域を膨張させて問題をもう一度解く：

障害物を避けるための新たな制約条件を得る：

新たな問題を解く：

新たな経路を抽出して表示する：

および に従って を最小化する：

積分は台形法を使って離散化できる：

．目的関数は以下の通りである：

の時間導関数は有限差分を使って離散化できる：

端末条件の制約 はIndexedを使って指定できる：

離散化された問題を解く：

離散化された結果をInterpolatingFunctionに変換する：

制御変数をプロットする：

状態変数をプロットする：

制御変数についての ，，に従ってを最小化する：

この積分は台形法を使って離散化できる：

．目的関数は以下の通りである：

における時間導関数は有限差分を使って離散化できる：

端末条件の制約 はIndexedを使って指定できる：

制御変数 についての制約条件：

離散化された問題を解く：

離散化された結果をInterpolatingFunctionに変換する：

制御変数は から5までに制限されるようになった：

状態変数をプロットする：

非線形制約条件 に従って非線形関数 を最小化する．最小化は，を として，また制約条件 を として近似することで行える．こうすると，反復的に解ける二次最小化問題になる．で である場合について考える：

最小化関数の勾配とヘッシアンは以下の通りである：

制約条件の勾配：

下位問題は，に従って を最小化することで を求めることである：

最初の推測 から始めて反復する．次の反復は である．ただし，は制約条件が常に満足されるためのステップ長である：

結果の収束を可視化する．最終結果は緑の点である：

に従って を最小化する：

最小化関数の勾配とヘッシアン：

制約条件の勾配：

下位問題を と に従って を最小化することである：

最初の推測 から始めて反復する：

結果の収束を可視化する．最終結果は緑の点である：