RayleighDistribution

RayleighDistribution[σ]

尺度母数 σ のレイリー(Rayleigh)分布を表す．

詳細

予備知識

  • RayleighDistribution[σ]分布は，区間上でサポートされ，確率密度関数(PDF)の全体的な動作を決定する正の実数 σ（「尺度母数」と呼ばれる）でパラメータ化された連続統計分布を表す．一般に，レイリー分布のPDFは，単一の「峰」（大域的最大値）を持つ単峰性であるが，その全体的な形（高さ，広がり，最大値の水平位置）は σ の値によって決まる．加えて，PDFの裾部は，PDFが の大きい値について代数的というよりむしろ指数的に減少するという意味で「薄い」（この動作は，分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に厳密にできる）．
  • レイリー分布は，そ1880年代の初めに，その名前が取られたLord Rayleighによって，音響学のある種の問題を解くためのツールとして導き出された．数学では，レイリー分布は，変数 がすべて独立同分布に従う標準変量である場合は常に，上の原点から点までの距離の確率分布である．さらに，レイリー分布は，二次元ランダムウォークや電気真空デバイスの製造欠陥等を含むさまざまな現象をモデル化することが証明されており，ポアソ過程が生成した空間形状における個とその最近傍の距離の分布でもある．
  • RandomVariateを使って，レイリー分布から，1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度（後者はWorkingPrecisionオプションを介す）の擬似乱数変量を得ることができる．Distributed[x,RayleighDistribution[σ]]（より簡略な表記では xRayleighDistribution[σ]）を使って，確率変数 x がレイリー分布に従って分布していると宣言することができる．このような宣言は，Probability，NProbability，Expectation，NExpectation等の関数で使うことができる．
  • 確率密度関数および累積分布関数は，PDF[RayleighDistribution[σ],x]およびCDF[RayleighDistribution[σ],x]を使って得られることがある．平均，中央値，分散，原点の周りのモーメント，中心モーメントは，それぞれMean，Median，Variance，Moment，CentralMomentを使って計算することができる．
  • DistributionFitTestを使って，与えられたデータ集合がレイリー分布と一致するかどうかを検定することが，EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリックレイリー分布を推定することが，FindDistributionParametersを使ってデータをレイリー分布にフィットすることができる．ProbabilityPlotを使って記号レイリー分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが，QuantilePlotを使って記号レイリー分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる．
  • TransformedDistributionを使って変換されたレイリー分布を表すことが，CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが，TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる．CopulaDistributionを使ってレイリー分布を含む高次元分布を構築することが，ProductDistributionを使ってレイリー分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる．
  • RayleighDistributionは数多くの他の分布と関連がある．RayleighDistributionは，RayleighDistribution[1]とChiDistribution[2]のPDFが等しく，RayleighDistribution[1]とChiSquareDistribution[2]のCDFが等しいという意味で，ChiDistributionおよびChiSquareDistributionと関連がある．RayleighDistributionは，RayleighDistribution[σ]のPDFがRiceDistribution[0,σ]，GammaDistribution[1,σ , 2, 0]，WeibullDistribution[2,σ ]のPDFと等しいことから，RiceDistribution，GammaDistribution，WeibullDistributionの特殊ケースとして実現することができ，さらに，ExponentialDistributionおよびBeniniDistributionの変換としても実現することができる．RayleighDistributionは，NormalDistribution，BinormalDistribution，LaplaceDistribution，SuzukiDistribution，LogNormalDistribution，KDistributionとも関連している．

例題

すべて開くすべて閉じる

例  (4)

確率密度関数：

累積分布関数：

平均と分散：

中央値：

スコープ  (7)

レイリー分布から乱数のサンプルを生成する：

そのヒストグラムを確率密度関数と比較する：

分布母数推定：

サンプルデータから分布母数を推定する：

サンプルの密度ヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

歪度と尖度は一定である：

母数の関数としての閉形式の種々のモーメント：

Moment：

記号次数の閉形式：

CentralMoment：

FactorialMoment：

Cumulant：

ハザード関数：

分位関数：

母数でQuantityを一貫して使うとQuantityDistributionが与えられる：

サービス時間の期待値を求める：

アプリケーション  (7)

標準法線成分を持つベクトルについて考える：

角度は一様分布に従う：

ノルムはレイリー(Rayleigh)分布に従う：

ある製品の故障までの時間は母数 でレイリー分布に従っている．使用開始から4000時間，4500時間，5000時間後の製品の信頼性はどうであろうか．信頼性は生存確率としても知られる：

あるデバイスの寿命がレイリー分布に従うものとして，そのデバイスの信頼性を求める：

故障率は時間とともに高くなる：

直列のそのようなデバイス2個の信頼性を求める：

並列のそのようなデバイス2個の信頼性を求める：

両方の系の信頼性を と で比較する：

ベクトルには正規分布に従う2つの構成要素がある．ベクトルの長さの分布を求める：

ベクトルの平均長を求める：

30個のベクトルサンプルの可能な長さのシミュレーションを行う：

RayleighDistributionを使って風速を近似することができる：

推定分布を求める：

その確率密度関数を風速データのヒストグラムと比較する：

風速が時速30キロより速い日の確率を求める：

平均風速を求める：

1ヶ月間の毎日の平均風速のシミュレーションを行う：

ある場所における上位1/3の高さの波の平均を とする．この場所における波の高さはRayleighDistributionでモデル化することができる：

波が よりも高くなる確率を求める：

この場所の波の平均の高さを求める：

メートルであると仮定して，波の高さのシミュレーションを行う：

フェージングチャネル理論では，RayleighDistributionを使って線が直接見えない場合のフェージング振幅をモデル化する．で瞬間的な信号対ノイズ比の分布を求める． は記号あたりのエネルギー， はホワイトノイズのスペクトル密度である：

がExponentialDistributionであることを示す：

モーメント母関数(MGF)を求める：

平均と平均についてのモーメント母関数を求める：

フェージングの量を求める：

特性と関係  (14)

レイリー分布は正の因子によるスケーリングの下では閉じている：

他の分布との関係：

のRayleighDistributionはChiDistributionの特殊なケースである：

のRayleighDistributionの平方はChiSquareDistributionの特殊なケースである：

レイリー分布はRiceDistributionの特殊ケースである：

RayleighDistributionはGammaDistributionの特殊ケースである：

BeniniDistributionはレイリー分布を変換したものである：

標準正規分布に従う2つの変数のノルムはレイリー分布に従う：

NormalDistributionとレイリー分布の母数混合分布はLaplaceDistributionである：

レイリー分布はBinormalDistributionに関連している：

レイリー分布はWeibullDistributionの特殊ケースである：

レイリー分布はExponentialDistributionを変換したものとして求めることができる：

これは，レイリー分布の特殊ケースである：

SuzukiDistributionはLogNormalDistributionとレイリー分布から得ることができる：

KDistributionはRayleighDistributionとGammaDistributionの母数混合として表すことができる：

考えられる問題  (2)

RayleighDistributionは，σ が正の実数ではないときは定義されない：

記号出力に無効な母数を代入すると意味のない結果が返される：

おもしろい例題  (2)

法線成分を持つベクトルを生成する：

結果の二変量分布はそのラジアル方向でRayleighDistributionに従う：

放射状の累積分布関数：

累積分布関数の等高線を持つ σ のさまざまな値についての確率密度関数：

Wolfram Research (2007), RayleighDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/RayleighDistribution.html （2016年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2007), RayleighDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/RayleighDistribution.html （2016年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2007. "RayleighDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/RayleighDistribution.html.

APA

Wolfram Language. (2007). RayleighDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/RayleighDistribution.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_rayleighdistribution, author="Wolfram Research", title="{RayleighDistribution}", year="2016", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/RayleighDistribution.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_rayleighdistribution, organization={Wolfram Research}, title={RayleighDistribution}, year={2016}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/RayleighDistribution.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}