SecondOrderConeOptimization

SecondOrderConeOptimization[f,cons,vars]

求可最小化受二阶锥与/或线性约束条件 cons 限制的线性目标函数 f 的变量 vars 的值.

SecondOrderConeOptimization[c,{{a1,b1,α1,β1},…,{ak,bk,αk,βk}}]

求可最小化受约束条件 TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i 限制的 的向量 .

SecondOrderConeOptimization[c,…,{dom1,dom2,…}]

将 置于域 domi 中，其中 domi 为 Integers 或 Reals.

SecondOrderConeOptimization[…,"prop"]

指定应返回解的属性 "prop".

更多信息和选项

  • 二阶锥优化也被称为二阶锥规划 (SOCP) 和混合整数二阶锥规划 (MISOCP).
  • 二阶锥优化被用于参数拟合和几何距离问题.
  • 二阶锥优化是一个凸优化问题，可用实数、整数或复数变量高效地进行全局求解.
  • 二阶锥优化求的是能解原始问题的 ：
  • 最小化
    受限于约束条件TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i, i=1,..., k
    其中
  • 混合整数二阶锥优化给出能求解问题的 和 ：
  • 最小化
    受限于约束条件TemplateBox[{{{{a, _, {(, {j, _, r}, )}}, ., x}, +, {{a, _, {(, {j, _, r}, )}}, ., {yb, _, j}}}}, Norm]<=alpha_(j_r).x+alpha_(j_i).y+beta_j, j=1,..., k
    其中
  • 当目标函数取实数值时，SecondOrderConeOptimization 在内部将 x in TemplateBox[{}, Complexes]^n 转换为实变量 对问题进行求解（其中 ，）.
  • 变量规范 vars 应该是一个列表，其中的元素以下列形式之一给出变量：
  • v名称为 和推断维度的变量
    v∈Reals实数标量变量
    v∈Integers整数标量变量
    v∈Complexes复标量变量
    v∈ℛ仅限于几何区域 的向量变量
    v∈Vectors[n,dom] 或 中的向量变量
    v∈Matrices[{m,n},dom] 或 中的矩阵变量
  • 注意，线性约束可以用二阶约束表示. 方便起见，单个 0 被诠释为作为零条目的矩阵或向量的必需：
  • {ai,bi,0,0}线性等式约束
    {0,0,αi,βi}线性不等式约束
  • 可用以下形式指定约束条件 cons：
  • LessEqual标量不等式
    GreaterEqual标量不等式
    VectorLessEqual向量不等式
    VectorGreaterEqual向量不等式
    Equal标量或向量等式
    Element凸域或区域元素
  • 当 SecondOrderConeOptimization[f,cons,vars]，格式 parval 的参数等式，其中，par 不在 vars 中，val 是数值或数值数组，可能被包含在约束中，定义在 f 或 cons 中使用的参数.
  • 原始最小问题有相关的最大问题，即拉格朗日对偶问题. 对偶最大值总是小于或等于原始最小值，因此它提供下限. 对偶最大器提供关于原始问题的信息，包括在约束中最小值变化的敏感度.
  • 二阶锥优化有对偶： » »
  • 最大
    受制于约束sum_(i=1)^k(a_i.y_i+alpha_ilambda_i)⩵c, ; TemplateBox[{{y, _, i}}, Norm]<=lambda_i, i=1,..., k
    域
  • 对于二阶锥优化，总是保留强对偶性，意味着如果对原始最小问题有解，那么对偶最大问题也有解，对偶最大值等于原始最小值.
  • 可能的解的属性 "prop" 包括：
  • "PrimalMinimizer"一个最小化目标函数的变量值列表
    "PrimalMinimizerRules"最小化 的变量值 vars={v1,…}
    "PrimalMinimizerVector"最小化 的向量
    "PrimalMinimumValue"最小值
    "DualMaximizer"最大对偶向量
    "DualMaximumValue"对偶最大值
    "DualityGap"对偶和原始优化值之差
    "Slack"把不等约束条件转换为等式的向量
    "ConstraintSensitivity"
    		对约束扰动的敏感度
    "ObjectiveVector"线性目标向量
    "SecondOrderConeConstraints"约束条件的系数的列表
    "LinearEqualityConstraints"线性相等约束矩阵和向量
    {"prop1","prop2",…} 解的几个属性
  • 可以给出以下选项：
  • MaxIterationsAutomatic使用的最大迭代次数
    Method Automatic使用的方法
    PerformanceGoal $PerformanceGoal优化的目标
    Tolerance Automatic内部比较使用的容差
  • 选项 Method->method 可用于指定使用的方法. 可用的方法包括：
  • Automatic自动选择方法
    "SCS"SCS 分裂圆锥求解器
    "CSDP"CSDP 半定优化求解器
    "DSDP"DSDP 半定优化求解器
    "PolyhedralApproximation"使用多面体的近似约束
    "MOSEK"商用 MOSEK 凸优化求解器
    "Gurobi"商业 Gurobi 线性和二次优化求解器
    "Xpress"商业 Xpress 线性和二次优化求解器
  • 计算受限于 MachinePrecision.

范例

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基本范例  (4)

最小化受约束条件 TemplateBox[{{{, {x, ,, y}, }}}, Norm]<=1 限制的 ：

最优点位于由约束条件定义的区域中，其中， 是区域中最小的值：

最小化受约束条件 限制的 ：

最优点位于由两个圆盘的交点所限定的区域内 的最小值上：

最小化受约束条件 限制的 . 以矩阵-向量形式指定输入：

使用矩阵-向量格式求解问题：

最小化受约束条件 TemplateBox[{{{, {x, ,, y}, }}}, Norm]<=1,x in Z,y in R 限制的 ：

使用等价的矩阵-向量形式：

范围  (27)

基本用途  (9)

最小化受约束条件 限制的 ：

使用解的属性 "PrimalMinimiumValue" 获取最小值：

最小化受约束条件 限制的 ：

使用解的属性获取最小值和最小化向量：

最小化受约束条件 限制的 ：

定义目标函数为 ，约束条件为 TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i,i=1,2：

使用矩阵-向量输入求解：

最小化受约束条件 限制的 ：

定义目标函数为 ，约束条件为 TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i,i=1,2：

指定等式约束条件：

使用矩阵-向量输入求解：

使用 a 和 b 的常数参数方程，最小化受约束条件 限制的 ：

使用向量变量 ，最小化受约束条件 限制的 ：

最小化受约束条件 限制的 ：

用 VectorGreaterEqual () 和 VectorLessEqual () 指定约束条件：

最小化受 限制的 . 用 Inactive[Plus] 避免无意的逐项运算：

指定矩阵 和向量 为参数化方程，以避免使用 Inactive：

最小化受 限制的 . 用 NonNegativeReals 指定约束条件 ：

整数变量  (4)

用 Integers 指定整数域约束条件：

用 Vectors[n,Integers] 指定向量变量的整数域约束条件：

用 NonNegativeIntegers () 指定非负整数域约束条件：

用 NonPositiveIntegers () 指定非正整数域约束条件：

复变量  (4)

用 Complexes 指定复变量：

在约束条件中使用 Abs[z] 和复数 z：

对于 ，TemplateBox[{z}, Abs] 等价于 TemplateBox[{{{, {x, ,, y}, }}}, Norm]：

使用含有厄米特矩阵 和实值变量的二次约束条件 ：

使用含有厄米特矩阵 和复变量的约束条件 (1/2)Inactive[Dot][Conjugate[x],q,x]d：

原始模型属性  (3)

最小化受约束条件 限制的 ：

获取向量形式的原始最小点：

获取最小值：

使用符号输入获取原始最小值：

提取优化问题的矩阵-向量输入：

使用矩阵-向量格式求解：

通过添加目标常量恢复符号原始值：

求与最小化问题相关的松弛向量 ：

获取原始最小值 和约束条件：

约束条件 alpha_i.x^*+beta_i-TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., {x, ^, *}}, +, {b, _, i}}}, Norm]>=0 的松弛向量是满足 alpha_i.x^*+beta_i-TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., {x, ^, *}}, +, {b, _, i}}}, Norm]-s_i⩵0 的标量 ：

对偶模型属性  (3)

最小化受约束条件 TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i, i=1,..., k 限制的 ：

对偶问题是最大化受 和 TemplateBox[{{y, _, i}}, Norm]<=lambda_i 限制的 ：

指定目标函数 ：

指定约束条件 和 TemplateBox[{{y, _, i}}, Norm]<=lambda_i：

求解由此得出的最大化问题：

因为强对偶性，原始最小值和对偶最大值相同：

这相当于对偶间隙为零. 一般来说，：

使用从原始问题中提取的约束矩阵构建对偶问题：

对偶问题是最大化受 和 TemplateBox[{{y, _, i}}, Norm]<=lambda_i 限制的 ：

指定目标函数 ：

指定约束条件 和 TemplateBox[{{y, _, i}}, Norm]<=lambda_i：

求解由此得出的最大化问题：

用解的属性直接获取对偶最大值：

使用解的属性直接获取对偶最大值点：

敏感度属性  (4)

使用 "ConstraintSensitivity" 求由约束松弛造成的最优值的变化：

敏感性的每个元素是 ，其中， 是向量， 是标量：

考虑新的约束条件 TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i+deltabeta_i，其中， 是约束条件 的松弛：

敏感性元素 与 松弛相关. 期望的新的最优值是：

与直接求解松弛问题相比较：

考虑新的约束条件 TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}, +, {deltab, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i：

敏感性元素 与 的松弛相关. 期望的新的最优值是：

与直接求解松弛问题相比较：

每个敏感性都与不等式或等式约束条件相关：

提取二阶锥约束条件. 用 给出约束条件 TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i：

用 给出线性约束条件. 相关联的敏感度 会有 ：

约束条件及其敏感度：

由约束松弛引起的最优值变化与敏感性值成正比：

计算最小值和约束条件敏感性：

如果敏感性为零，放宽约束条件不会改变最优值：

负的敏感性将会使最优值减小：

正的敏感性将会使最优值增大：

"ConstraintSensitivity" 与问题的对偶最大值点相关：

敏感度 满足 ，其中 为对偶不等式的最大值点：

选项  (8)

Method  (4)

方法 "SCS" 使用分裂圆锥求解器方法：

"CSDP" 和 "DSDP" 简化为半定优化并使用内点法：

"PolyhedralApproximation" 通过用线性约束条件表示的多面体来近似二阶约束条件：

方法 "SCS" 由于松弛容差可能给出不如 "CSDP" 或 "DSDP" 精确的结果：

使用更小的容差，"SCS" 会给出更好的结果：

方法 "PolyhedralApproximation" 可能要比其他方法花费更多时间：

对于有不止一个最优解的的问题，不同的方法可能给出不同的结果：

Method->Automatic 会选择线性优化求解器：

PerformanceGoal  (1)

使用 "Quality" 设置，以花费更多的计算时间为代价获取更精确的结果：

用 "Speed" 可更快获得结果，但要以质量为代价：

Tolerance  (3)

Tolerance 的设置越小给出的结果越精确：

求使用不同的 Tolerance 设置时计算值和精确最小值之间的误差：

可视化最小值误差随 Tolerance 的变化：

Tolerance 的设置越小给出的答案越精确，但通常情况下要花费更多的时间进行计算：

小的容差将花费更多时间进行计算：

更严格的容差给出更精确的答案：

不同的方法有不同的容差，会影响准确度和精度：

"SCS" 的默认容差为 ：

"CSDP" 和 "DSDP" 的默认容差为 ：

应用  (35)

基本模型变换  (11)

最大化受 限制的 . 通过对目标函数取负，求解最大化问题：

对原始最小值取负，获取对应的最大值：

最小化受约束条件 限制的 . 使用辅助变量 ，把问题转换为最小化受 限制的 ：

通过直接代入 获取原始的最小值：

最小化受约束条件 限制的 . 使用辅助变量 ，把问题转换为最小化受 限制的 ：

通过直接代入 获取原始最小值：

最小化受约束条件 限制的 . 使用两个辅助变量 ，把问题转换成最小化受 限制的 ：

最小化受约束条件 限制的 Max(||x||,||y||). 使用辅助变量 ，把问题转换成最小化受 限制的 ：

最小化受约束条件 TemplateBox[{{z, -, {(, {1, +, I}, )}}}, Abs]<=2 限制的 Re(z)+Im(z). 对于 ，TemplateBox[{{z, -, {(, {1, +, I}, )}}}, Abs] 等价于 TemplateBox[{{{, {{x, -, 1}, ,, {y, -, 1}}, }}}, Norm]：

这也等价于最小化受约束条件 限制的 ：

SecondOrderConeOptimization 直接对 Abs 进行转换：

最小化受约束条件 限制的 . 使用辅助变量 ，把问题转换成最小化受 限制的 ：

SecondOrderConeOptimization 直接对 Abs 进行变换：

最小化 . 使用辅助变量 ，把问题转换成最小化受约束条件 限制的 ：

直接在约束条件中使用 Abs 会更快更准确：

最小化 . 使用辅助变量 ，把问题转换成最小化受约束条件 限制的 ：

最小化受约束条件 TemplateBox[{{{{a, _, i}, ., x}, +, {b, _, i}}}, Norm]<=alpha_i.x+beta_i, i=1,..., k 限制的 ，其中， 是非递减函数，改为最小化 . 原始最小化点 对这两个问题保持一致. 考虑最小化受 限制的 ：

通过把函数 应用于原始最小值获取真正的最小值：

最小化受 限制的 ：

因为 ，所以必须应用额外的约束条件 ：

把函数 应用于原始最小值获取真正的最小值：

几何问题  (6)

求中心在 (0,0) 和 (2,1)，半径为 1 的两个圆盘间的最小距离. 使用辅助变量 ，把问题转换为最小化受 限制的 ：

可视化两个点的位置：

辅助变量 给出两点之间的距离：

找到两个不相交的凸多边形之间的最小距离：

令 是 上的点. 令 是 上的点. 目标是最小化 . 使用辅助变量 ，将目标转换成最小化受 限制的 ：

可视化点 和 的位置：

辅助变量 给出了两个点之间的距离：

求分隔两个不相交凸多边形的平面：

令 是 上的点. 令 是 上的点. 目标是最小化 . 使用辅助变量 ，将目标转换成最小化受 限制的 ：

根据分隔超平面理论，与约束条件 关联的对偶将给出超平面的法线：

约束条件 内部的形式为 . 是包含矩阵 的唯一约束条件：

可用以下方式构建超平面：

可视化分隔两个多边形的平面：

求分隔两个不相交凸多边形的平面：

令 是 上的点. 令 是 上的点. 目标是最小化 . 使用辅助变量 ，将目标转换成最小化受 限制的 ：

根据分隔超平面原理，与约束条件 关联的对偶将给出超平面的法线：

约束 内部的形式为 . 是包含矩阵 的唯一约束条件：

可用以下方式构建超平面：

可视化分隔两个多边形的平面：

求可包围一组点的最小圆的圆心 和半径 ：

目标是最小化受约束条件 限制的半径 ：

圆盘的中心和半径为：

绘制结果：

可通过 BoundingRegion 高效地找到最小包围圆盘：

求包围给定区域的最小包含球的半径 和中心 ：

最小化受约束条件 限制的半径 ：

可视化最小包含球：

可通过 BoundingRegion 高效地找到最小包含球：

设施位置问题  (3)

一家公司想开一个新工厂. 工厂需要来自五个仓库的原材料. 新工厂和仓库之间每单位距离的运输成本是：

令 为工厂和仓库 之间的距离. 目标是最小化 :

这 5 个仓库位于：

新的工厂必须位于满足 的位置：

求新工厂和仓库间的最佳距离：

新工厂的位置更靠近运输成本较高的仓库：

一家公司想开两个新工厂. 工厂需要来自 5 家仓库的原材料. 新工厂和仓库间的单位距离的运输成本是：

令 为工厂 和仓库 间的距离. 目标是最小化 ：

五家仓库位于：

新的工厂必须位于满足 的位置：

求新工厂和仓库间的最佳距离：

新工厂的位置更靠近运输成本较高的仓库：

求公司需要建立的最少数量的仓库及仓库的位置，以便为五个零售商店提供货物. 该公司选择了五个可能的地点. 每个仓库为每个商店配送一个单位的货物的成本为：

零售商店 的位置为：

零售商店的需求量为：

对于每一个仓库，有 $1000 的间接费用：

每个仓库最多可储存 500 个单位的货物：

设 为从仓库 运到商店 的货物的单位数. 商店的需求的约束条件为：

设 为二元决策向量，如果 ，则建造仓库 . 供应的约束条件为：

新的仓库必须位于满足 的位置：

目标是最小化仓库的数量、货物的运输成本以及仓库与零售商店之间的距离：

收集变量：

求解仓库的最小数量和位置：

要从仓库 运到商店 的货物的单位数为：

仓库的位置为：

数据拟合问题  (6)

通过最小化受约束条件 限制的 求离散数据的线性拟合：

使用辅助变量 ，最小化受 限制的 ：

通过最小化 ，对离散数据进行 5 阶多项式拟合：

用 DesignMatrix 构建输入数据矩阵：

通过最小化受 限制的 求二次曲线的系数：

将拟合曲线与数据进行比较：

用基 求噪声数据的近似函数，使得第一个点和最后一个点位于曲线时：

近似函数为 ：

通过最小化受 限制的 求近似函数的系数：

将拟合曲线与数据进行比较：

通过最小化 ，求离散数据的鲁棒线性拟合，其中， 是已知的正则化参数：

通过最小化受 限制的 拟合曲线：

绘制该曲线，显示它对异常值很稳健：

也可以用函数 Fit 获取鲁棒 拟合：

过度的正则化将导致拟合对数据变得越来越不敏感：

基数约束最小二乘法：最小化 ，使得 最多有 个非零元素：

令 为决策向量，使得如果 ，则 非零. 决策约束条件为：

为了模拟约束条件 时 ，选择一个大的常数 ，使得 ：

使用上镜图变换，目标是最小化 ，约束条件为 ：

求解基数约束最小二乘问题：

也可以用 Fit 通过 正则化更高效地完成子集选择. 首先，找到最多使用 个基函数的正则化参数的范围：

求 正则化拟合中的非零项：

求只含有这些基本项的拟合：

从候选函数集中找到最佳函数子集，以近似给定数据：

近似函数为 ：

在最后的近似中最多使用 5 个基函数：

与未选择的函数关联的系数必须为零：

使用上镜图变换，目标是最小化 ，使得 ：

求最佳函数子集：

将所得近似与给定数据相比较：

分类问题  (2)

求可稳健分隔平面上两组点的二次多项式 ：

多项式被定义为 ，其中，：

如果想要分隔两组点，集合 1 必须满足 ，集合 2 必须满足 ：

目标是最小化 ，它给出 和 间的两倍厚度. 使用辅助变量 ，目标函数被变换成约束条件 ：

通过最小化 求系数 ：

可视化使用多项式对两个集合进行分隔：

值 是用 的 level value 表示的宽度，其中没有点：

求可在三维空间稳健分隔两组点的二次多项式 ：

多项式被定义为 ，其中 ：

如果想要分隔两组点，集合 1 必须满足 ，集合 2 必须满足 ：

目标是最小化 . 使用变换 ，目标现在是最小化 ：

通过最小化 求系数 ：

可视化使用多项式对两个集合进行分隔：

结构优化问题  (1)

求由 个弹簧连杆形成的悬链的形状，每个连杆末端都有一个垂直负载. 目标是求出连杆的位置 ：

重力引起的势能是 ，其中， 是每个连杆末端的垂直负载， 是标准重力加速度：

由拉伸引起的弹簧连杆的张力所形成的势能是 ，其中， 是弹簧连杆 的张力， 是弹簧的刚度. 通过 将能量表达式转换为 ：

由于进行了转换，必须添加约束条件 ：

悬链的末端被固定在位置 (0,0) 和 (2,-1)：

每个连杆必须满足条件 ，其中， 每个弹簧的静止长度：

设计参数为：

最终的目标函数是最小化重力和的弹簧势能之和：

求每个弹簧连杆末端的位置：

可视化所得弹簧链的形状：

靠近悬链末端的连杆的拉伸程度最大. 连杆 11 和 12 的伸长率最小：

投资组合优化  (1)

求如何在六只股票之间分配资本，在最大程度地降低风险的同时最大化回报：

设在股票 上的投资占总投资的百分比为 . 回报为 ，其中 是由每只股票的预期回报值组成的向量：

风险为 ， 为风险规避参数，：

目标是最大化收益，同时最大程度地降低特定风险规避参数的风险：

投资的百分比 必须大于 0 且总和为 1：

为一系列风险规避参数计算收益和相应的风险：

范围 内最佳的 给出在收益和风险之间折衷的上限：

计算指定数量的风险规避参数的投资百分比 ：

增大风险规避参数 会使投资多样化：

增大风险规避参数 会使投资回报下降：

非负矩阵分解  (1)

给定 ，求使得 的矩阵 ，且 ：

目标是最小化 . 可通过使 和 交替不变并迭代求解，直到收敛来完成. 指定约束条件：

指定变量：

指定 和 的初始猜想值：

迭代求解，直到收敛：

绘制收敛曲线：

投资问题  (3)

求要购买的四只股票的数量，以便获得至少 $1000 的股息并最小化风险. 与股票相关的预期收益值和协方差矩阵 为：

四只股票的单位价格为 $1. 每只股票最多可分配 $2500：

投资必须产生最少 $1000 的回报：

不能购买负的股票：

通过上镜图变换，将风险 转换为约束条件：

通过将以下风险降至最低，求出在四只股票上的总投资：

为获取 $1000 的收益需投资：

求要购买有卖空期权的四只股票的数量，以便获得至少 $1000 的股息并最小化风险：

资金约束条件、投资回报约束条件和风险约束条件为：

卖空期权允许出售股票. 通过最小化风险 可得出买入/卖空股票的最佳数量：

可卖空第二只股票.通过卖空得到最少 $1000 收益所需的总投资为：

如果不进行卖空，所需初始投资额将大幅增加：

求从 20 只候选股票中选取六只股票的最佳组合，最小化风险的同时最大化回报：

设在股票 上的投资占总投资的百分比为 . 收益由 给出，其中 是由每只股票的预期收益值组成的向量：

风险为 ， 为风险规避参数，：

目标是最大化收益，同时最大程度地降低特定风险规避参数的风险：

设 为决策变量，如果 ，则买入该股票. 要选择六只股票：

投资的百分比 必须大于 0 且总和为 1：

求最小化风险、最大化收益的最佳股票组合：

最佳股票组合为：

投入各个股票的投资百分比为：

轨迹优化问题  (1)

求两点之间的最短路径，同时避开障碍物. 指定障碍物：

提取形成凸障碍物的半空间：

指定路径的起始点：

可用 个点离散化路径. 令 表示位置向量：

目标是最小化 . 通过上镜图变换将目标转换为 ，约束条件为 ：

指定终点约束条件：

相邻两点之间的距离不应太大：

如果 中至少有一个元素小于零，则点 在障碍物之外. 为了强制实行该约束条件，令 为决策变量， 为 的第 个元素，使得 ，则 和 足够大，可满足 ：

求绕开障碍物的最短路径：

提取并展示路径：

为了避免与障碍物的边相交，可对区域进行放大并再次求解：

获取绕开障碍物的新约束条件：

求解新问题：

提取并展示新的路径：

属性和关系  (8)

SecondOrderConeOptimization 给出目标函数的全局最小值：

可视化目标函数：

Minimize 给出二次优化问题的全局精确值：

NMinimize 可使用全局方法获取近似结果：

FindMinimum 可使用局部方法获取近似结果：

LinearOptimization 是 SecondOrderConeOptimization 的特例：

QuadraticOptimization 是 SecondOrderConeOptimization 的特例：

使用辅助变量 ，用其他约束条件 最小化 ：

SemidefiniteOptimization 是 SecondOrderConeOptimization 的广义形式：

ConicOptimization 是 SecondOrderConeOptimization 的广义形式：

可能存在的问题  (5)

对于某些方法，可能无法满足用严格的不等式指定的约束条件：

原因是 SecondOrderConeOptimization 求解的是 ：

空集或不可行问题的最小值被定义为 ：

最小值点为 Indeterminate：

无界集合或无界问题的最小值是 ：

最小值点 Indeterminate：

混合整数问题的对偶相关解属性可能不可用：

需使用向量不等式指定含有复数的约束条件：

即使在理论上两边都是实数，只使用 Less 是不可行的：

Wolfram Research (2019)，SecondOrderConeOptimization，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SecondOrderConeOptimization.html （更新于 2020 年）.

文本

Wolfram Research (2019)，SecondOrderConeOptimization，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SecondOrderConeOptimization.html （更新于 2020 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2019. "SecondOrderConeOptimization." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/SecondOrderConeOptimization.html.

APA

Wolfram 语言. (2019). SecondOrderConeOptimization. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/SecondOrderConeOptimization.html 年

BibTeX

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