StableDistribution

StableDistribution[type,α,β,μ,σ]

安定指数 α，歪度母数 β，位置母数 μ，尺度母数 σ の安定分布 S_typeを表す．

詳細

独立同分布に従う安定確率変数の線形結合もまた安定してる．
安定分布は自身の特性関数によって定義される．この特性関数は，任意のとに対してであるようなとが存在する関数方程式を満足する．関数方程式の一般解には4つの母数がある．
StableDistributionでは，0<α≤2，-1≤β≤1で，μ は任意の実数でよく，σ は任意の正の実数でよい．
StableDistributionでは，μ と σ は単位次元が等しい任意の数量でよく，α と β は無次元量でよい． »
CharacteristicFunction[StableDistribution[0,α,…],t]は α において連続的であり， $exp(i mu t-sigma TemplateBox[{t}, Abs] (1+2i beta/pi sgn(t) log(TemplateBox[{{t, , sigma}}, Abs]))) alpha=1; exp(i mu t-TemplateBox[{{t, , sigma}}, Abs]^alpha (1+i beta tan((pi alpha)/2) sgn(t) (TemplateBox[{{t, , sigma}}, Abs]^(1-alpha)-1))) alpha!=1$ によって与えられる．
CharacteristicFunction[StableDistribution[1,α,…],t]は α において不連続的であり， $exp(i mu t-sigma TemplateBox[{t}, Abs] (1+2 i beta/pi sgn(t) log(TemplateBox[{t}, Abs]))) alpha=1; exp(i mu t-TemplateBox[{{t, , sigma}}, Abs]^alpha (1-i beta tan((pi alpha)/2) sgn(t))) alpha!=1$ によって与えられる．
StableDistribution[α]はStableDistribution[1,α,0,0,1]に等しい．
StableDistribution[α,β]はStableDistribution[1,α,β,0,1]に等しい．
StableDistribution[α,β,μ,σ]はStableDistribution[1,α,β,μ,σ]に等しい．
StableDistributionは，Mean，CDF，RandomVariate等の関数とともに用いることができる．

予備知識

StableDistribution[type,α,β,μ,σ]は，2つのタイプのどちらかに属し，正の実数 σ（「尺度母数」と呼ばれる），実数 μ（「位置母数」と呼ばれる），α（についての分布の安定性の指標），β（を満足する「歪度母数」）によってパラメータ化された連続統計分布を表す．これらの母数は，ともに，確率密度関数(PDF)の全体的な動作を決定する．
安定分布の確率密度関数は，一般に，単峰性で単一の峰（極大値）を持つが，その全体的な形（高さ，広がり，最大値の水平位置）は分布 type のと α，β，μ，σの値両方によって決定される．さらに，確率密度関数の裾部は，type，α，β，μ，σ の値によって，「太い」（つまり，確率密度関数が大きいの値について非指数的に減少する）ことも「細い」（つまり，確率密度関数が大きいの値について指数的に減少する）こともある（この動作は，分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に厳密にすることができる）．引数が4つ，2つ，1つのバージョンのStableDistribution[α,β,μ,σ]，StableDistribution[α,β]，StableDistribution[α]は，タイプ1の分布のStableDistribution[1,α,β,μ,σ]，StableDistribution[1,α,β,0,1]，StableDistribution[1,α,0,0,1]とそれぞれ等しい．安定分布は，母数のさまざまな値によって，安定Paretian分布，Pareto–Lévy分布（ParetoDistributionあるいはLevyDistributionと混同してはならない），Lévy α 安定分布等と呼ばれることがある．安定分布は，最小極値分布および最大極値分布（それぞれ，MinStableDistributionとMaxStableDistribution）をも異なっている．
安定分布はその特別なケースの多くが事実上古典的になっているが，上述した安定分布族は数学者のPaul Lévyによって1920年代の中頃にはじめて研究された．安定分布族は，線形結合の下で閉じている，つまり分布の確率密度関数が一般に閉形式を持たず，分布の特性関数 (CharacteristicFunction)によって説明されなければならないことで特徴付けられる．安定分布は，この分布がいわゆる中心極限定理の一般化に果たした役割によって，推計学や確率論で特に重要になっている．安定分布は，金融，天文学，物理学における現象のモデル化にも使われている．
RandomVariateを使って，安定分布から，1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度（後者はWorkingPrecisionオプションを介す）の擬似乱数変量を得ることができる．Distributed[x,StableDistribution[type,α,β,μ,σ]]（より簡略な表記では xStableDistribution[type,α,β,μ,σ]）を使って，確率変数 x が指定された type の安定分布に従って分布していると宣言することができる．このような宣言は，Probability，NProbability，Expectation，NExpectation等の関数で使うことができる．
指定された type の安定分布の確率密度関数および累積分布関数は，PDF[StableDistribution[type,α,β,μ,σ],x]およびCDF[StableDistribution[type,α,β,μ,σ],x]を使って得られる．平均，中央値，分散，原点の周りのモーメント，中心モーメントは，それぞれMean，Median，Variance，Moment，CentralMomentを使って計算することができる．
DistributionFitTestを使って，与えられたデータ集合が安定分布と一致するかどうかを検定することが，EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリック安定分布を推定することが，FindDistributionParametersを使ってデータを安定分布にフィットすることができる．ProbabilityPlotを使って記号安定分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが，QuantilePlotを使って記号安定分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる．
TransformedDistributionを使って変換された安定分布を表すことが，CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが，TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる．CopulaDistributionを使って安定分布を含む高次元分布を構築することが，ProductDistributionを使って安定分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる．
StableDistributionは，他の数多くの分布と密接な関係がある．LandauDistribution，CauchyDistribution，NormalDistribution，LevyDistributionは，LandauDistribution[μ,σ]がStableDistribution[1,1,1,μ,σ]と同じ特性関数(CharacteristicFunction) を持ち，CauchyDistribution[0,1]がStableDistribution[1,1,0,0,1]と同じ確率密度関数を持ち，NormalDistribution[μ,σ]の確率密度関数がStableDistribution[1,2,β,μ,σ/]のそれと等しく，LevyDistribution[μ,σ]の確率密度関数がStableDistribution[1,1/2,1,μ,σ]のそれと厳密に等しいという意味で，タイプ1の安定分布の例である．定性的には，StableDistributionはPearsonDistributionに似ており，ParetoDistribution，BetaDistribution，GammaDistribution，HalfNormalDistributionとも密接な関係がある．