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StableDistribution

StableDistribution[type,α,β,μ,σ]

表示带有稳定指数 α、偏度参数 β、定位参数 μ 和尺度参数 σ 的稳定分布 S_type.

背景

StableDistribution[type,α,β,μ,σ] 表示一个属于两种类型之一的连续统计分布，参数为正实数 σ（被称为“尺度参数”）、实数 μ（“位置参数”）、α（分布的稳定性指数，）和 β （“偏度参数”，满足），他们共同决定了概率密度函数 (PDF) 的整体行为.
总的来说，稳定分布的 PDF 是单峰的，只有一个“峰值”（即全局最大值），尽管它的整体形状（高度、展布和最大值的水平位置）是由 type 和 α、β、μ 和 σ 的值决定的. 此外，PDF 的尾有可能“厚”（即对于较大的值，PDF 非指数式减小），也可能“薄”（即对于较大的值，PDF 指数式减小），取决于 type、α、β、μ 和 σ 的值. （通过分析分布的 SurvivalFunction，这种行为可被定量确定.）四参数、双参数、单参数版本为 StableDistribution[α,β,μ,σ]、StableDistribution[α,β] 和 StableDistribution[α]，分别等价于1类分布 StableDistribution[1,α,β,μ,σ]、StableDistribution[1,α,β,0,1] 和 StableDistribution[1,α,0,0,1]. 对于不同的参数值，稳定分布可被称为稳定帕雷托分布、Pareto–Lévy 分布（不要与 ParetoDistribution 或 LevyDistribution 相混淆），或 Lévy α-稳定分布. 稳定分布与名称相近的 min- 和 max-稳定分布（分别为 MinStableDistribution 和 MaxStableDistribution）是不同的.
尽管稳定分布的许多特例都是经典分布，数学家 Paul Lévy 于二十世纪二十年代中期才开始对上面所描述的各种稳定分布进行研究. 各种稳定分布的特征为在线性组合下是闭合的，意味着一般情况下，它们的 PDF 没有解析式，只能用特征函数 (CharacteristicFunction) 来描述. 稳定分布在随机学和概率论中非常重要，归因于它们在广义中心极限定理中扮演的角色，尽管稳定分布还被用来模拟金融、天文学和物理学中的现象.
RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的稳定分布中的伪随机变数. Distributed[x,StableDistribution[type,α,β,μ,σ]]，更简洁的式子为 xStableDistribution[type,α,β,μ,σ]，给定 type 可用来断定随机变量 x 服从稳定分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
通过使用 PDF[StableDistribution[type,α,β,μ,σ],x] 和 CDF[StableDistribution[type,α,β,μ,σ],x]，可以得到给定 type 的稳定分布的概率密度和累积分布函数. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩.
可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合稳定分布，根据给定数据，用 EstimatedDistribution 来估计稳定参数分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成稳定分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式稳定分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式稳定分布的分位数的比较图.
可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的稳定分布，用 CensoredDistribution 表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含稳定分布的高维分布， ProductDistribution 可计算独立分量包括稳定分布的联合分布.
StableDistribution 和许多其他统计分布密切相关. LandauDistribution、CauchyDistribution、NormalDistribution 和 LevyDistribution 是1类稳定分布的例子，是因为 LandauDistribution[μ,σ] 和 StableDistribution[1,1,1,μ,σ] 的特征函数 (CharacteristicFunction) 相同，CauchyDistribution[0,1] 的 PDF 和 StableDistribution[1,1,0,0,1] 的 PDF 相同，而 NormalDistribution[μ,σ] 的 PDF 等价于 StableDistribution[1,2,β,μ,σ/] 的 PDF，并且 LevyDistribution[μ,σ] 的 PDF 和 StableDistribution[1,1/2,1,μ,σ] 的 PDF 完全相同. 从性质上来说，StableDistribution 和 PearsonDistribution 相似，也与 ParetoDistribution、BetaDistribution、GammaDistribution 和 HalfNormalDistribution 密切相关.

范例

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基本范例 (4)

在偏度参数的一定范围内，第一类的概率密度函数：

Wolfram Language code: Plot[Table[PDF[StableDistribution[1, 1.3, β, 0, 2], x], {β, {-1, 0, 1}}]//Evaluate, {x, -12, 12}, Filling -> Axis]

各种稳定指数的类型0的概率密度函数：

Wolfram Language code: Plot[Table[PDF[StableDistribution[0, α, 1 / 2, 0, 2], x], {α, {1 / 2, 1, 2}}]//Evaluate, {x, -6, 6}, Filling -> Axis]

类型1的累积分布函数：

Wolfram Language code: Plot[Table[CDF[StableDistribution[1, 1.3, β, 0, 2], x], {β, {-1, 0, 1}}]//Evaluate, {x, -10, 10}, Filling -> Axis]

类型0：

Wolfram Language code: Plot[Table[CDF[StableDistribution[0, α, 1 / 2, 0, 2], x], {α, {1 / 2, 1, 2}}]//Evaluate, {x, -6, 6}, Filling -> Axis]

均值取决于类型：

Wolfram Language code: Mean[StableDistribution[0, α, β, μ, σ]]

Wolfram Language code: Mean[StableDistribution[1, α, β, μ, σ]]

方差与类型无关，并且只对定义：

Wolfram Language code: Variance[StableDistribution[0, α, β, μ, σ]]

Wolfram Language code: Variance[StableDistribution[1, α, β, μ, σ]]

范围 (4)

生成服从稳定分布的伪随机数样本：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[StableDistribution[0, 1.8, -0.5, 1, 2], 10 ^ 4];

比较直方图和概率密度函数：

Wolfram Language code:

Show[Histogram[data, {-15, 15, 0.5}, "PDF"], Plot[PDF[StableDistribution[0, 1.8, -0.5, 1, 2], x], {x, -15, 15}, PlotStyle -> Thick, PlotRange -> All]]

较大的矩只对定义：

Wolfram Language code: Refine[Cumulant[StableDistribution[0, α, β, μ, σ], r], r > 1]

在 StableDistribution 化简为 NormalDistribution 时，就是如此：

Wolfram Language code: Refine[Cumulant[NormalDistribution[μ, Sqrt[2]σ], r], r > 1]

不同稳定度指标下的风险函数：

Wolfram Language code:

Table[Plot[Table[HazardFunction[StableDistribution[t, α, 1 / 2, 1, 2], x], {α, {0.5, 1.2, 1.7}}]//Evaluate, {x, -6, 12}, PlotPoints -> 2, Filling -> Axis, PlotLabel :> Text[Row[{"Type ", t}]]], {t, {0, 1}}]

不同偏度参数的风险函数：

Wolfram Language code:

Table[Plot[Table[HazardFunction[StableDistribution[t, 1.7, β, 1, 2], x], {β, {-0.5, 0.5, 1}}]//Evaluate, {x, -6, 12}, Filling -> Axis, PlotPoints -> 2, PlotRange -> All, PlotLabel :> Text[Row[{"Type ", t}]]], {t, {0, 1}}]

在参数中对 Quantity 使用的一致性产生了 QuantityDistribution:

Wolfram Language code: length𝒟 = StableDistribution[0, 5 / 8, 1, Quantity[10, "Meters"], Quantity[0.52, "Meters"]]

求75%分位数：

Wolfram Language code: Quantile[length𝒟, Quantity[75, "Percent"]]

应用 (9)

假设股市的每日对数收益服从一个稳定分布，对5年时间内的股票价格进行模拟和可视化：

Wolfram Language code: logReturns = BlockRandom[SeedRandom[2010];RandomVariate[StableDistribution[1, 1.38, -0.096, -0.001, 0.005], 5 * 365]];

Wolfram Language code: ListLinePlot[1000Exp[Accumulate[logReturns]], AxesLabel -> {Text["days"], Text["stock price"]}]

假设股票对数收益服从一个稳定分布，求风险为95%的值：

Wolfram Language code: log𝒟 = StableDistribution[1, 1.38, -0.177, -0.006, 0.0297];

Wolfram Language code: VaR = InverseSurvivalFunction[log𝒟, 0.95]

在以上的分布中，计算在当前 S&P 500 指数值的风险点损失的95%的值：

Wolfram Language code: FinancialData["SP500"](Exp[VaR] - 1)

求对数收益的预计短期下降：

Wolfram Language code: esf = NExpectation[xx < VaR, xlog𝒟]//Quiet

计算相关点损失：

Wolfram Language code: FinancialData["SP500"](Exp[esf] - 1)

将 2005 年 1 月 1 日以来 IBM 股票的每日对数回报拟合调整为稳定的分布：

Wolfram Language code:

ts = TemporalData[TimeSeries, {{{97.75, 96.69999694824219, 96.5, 96.19999694824219, 95.77999877929688, 
    95.68000030517578, 95., 95.20999908447266, 94.44999694824219, 94.0999984741211, 
    94.0999984741211, 94.9000015258789, 93.0999984741211, 93., 9 ... 01600, 3719088000, 3719174400, 3719260800, 3719520000, 3719606400}}}, 1, 
  {"Continuous", 1}, {"Discrete", 1}, 1, {ValueDimensions -> 1, DateFunction -> Automatic, 
   ResamplingMethod -> {"Interpolation", InterpolationOrder -> 1}}}, True, 314.1];

Wolfram Language code: closingValues = ts["Values"];

Wolfram Language code: ListLinePlot[closingValues]

计算对数收益：

Wolfram Language code: logr = Differences[Log[closingValues]];

对对数收益进行稳定分布拟合：

Wolfram Language code: edist = EstimatedDistribution[logr, StableDistribution[1, α, β, μ, σ]]

比较估计分布和数据直方图：

Wolfram Language code:

Show[Histogram[logr, {0.005}, "PDF"], Plot[PDF[edist, x], {x, Min[logr], Max[logr]}, PlotRange -> All, PlotStyle -> Thick]]

一个对称稳定随机变量和指数随机变量的幂的乘积服从一个 Linnik 分布：

Wolfram Language code:

Linnik𝒟 = TransformedDistribution[x^1 / αy, {yStableDistribution[1, α, 0, 0, 1], xExponentialDistribution[1]}];

计算 Linnik 分布的特征函数：

Wolfram Language code: FullSimplify[CharacteristicFunction[StableDistribution[1, α, 0, 0, 1], x^1 / α t], 0 < α <= 2 && x > 0]

Wolfram Language code: Expectation[%, xExponentialDistribution[1], Assumptions -> 0 < α ≤ 2]

生成随机变量，并且显示直方图：

Wolfram Language code: Histogram[RandomVariate[Linnik𝒟 /. α -> 1.8, 10 ^ 6], {-6, 6, 0.2}, "PDF"]

Map–Airy分布 [MathWorld] 是稳定分布族的成员：

Wolfram Language code: MapAiryDistribution[] = StableDistribution[1, 3 / 2, -1, 0, (1/2^1 / 3 3^2 / 3)];

已知它的概率密度函数的解析式表示：

Wolfram Language code: pdf = PDF[StableDistribution[1, 3 / 2, -1, 0, 18^-1 / 3], x]//Simplify

Wolfram Language code: Plot[pdf, {x, -5, 5}, PlotRange -> All, Filling -> Axis]

求模型的位置：

Wolfram Language code: FindMaximum[pdf, x]

从样本特征函数估计稳定分布的参数：

Wolfram Language code: data = BlockRandom[SeedRandom[1];RandomVariate[StableDistribution[0, 1.7, 0.5, 0, 1], 2000]];

Wolfram Language code: scf[t_ ? NumericQ] := Mean[Exp[I t data]]

Wolfram Language code: pcf[t_] = Refine[CharacteristicFunction[StableDistribution[0, α, β, μ, σ], t], α ≠ 1]

绘制样本特征函数和群体特征函数的绝对值：

Wolfram Language code:

Plot[{Abs[scf[t]], Abs[pcf[t]] /. {α -> 1.7, β -> 0.5, μ -> 0, σ -> 1}}, {t, -10, 10}, PlotRange -> All, Filling -> Axis]

Wolfram Language code:

FindRoot[Table[Abs[pcf[t]] == Abs[scf[t]] && Arg[pcf[t]] == Arg[scf[t]], {t, {1 / 2, 1}}], {{α, 1.7}, {β, 0.5}, {μ, 0}, {σ, 1}}]

比较最大似然估计：

Wolfram Language code: FindDistributionParameters[data, StableDistribution[0, α, β, μ, σ]]

广义中心极限定理给出序列和，使得个独立同分布的随机变量的经过平移和缩放的和的分布弱收敛为稳定分布，其中该随机变量的分布函数当时具有渐近线而当时，具有渐近线：

使用双边帕累托分布说明广义中心极限定理：

Wolfram Language code:

twosidedPareto[α_, β_] := TransformedDistribution[(-1)^, {ParetoDistribution[1, α], BernoulliDistribution[(1 - β/2)]}];

定义双边的 Pareto 分布的均值和方差，以备将来使用：

Wolfram Language code: twosidedParetoMean[a_, b_] := (a b/-1 + a)

Wolfram Language code: twosidedParetoVariance[a_, b_] := (a/-2 + a) - (a^2 b^2/(-1 + a)^2)

定义一个程序来生成个变量：

Wolfram Language code:

RandomCenteredScaledSums[dist_, {n_, an_, bn_}, m_] := 
	(Total[RandomVariate[dist, {n, m}]] - an) / bn

定义一个函数来可视化密度图线和数据直方图：

Wolfram Language code:

HistogramVsPDF[data_, {from_, to_, num_}, dist_] := Show[Histogram[data, {from, to, (to - from) / num}, "PDF"], Plot[PDF[TruncatedDistribution[{from, to}, dist], x], {x, from, to}, PlotRange -> All, PlotStyle -> Thick]]

在的情况下：

Wolfram Language code:

n = 1000;m = 2500;α = 2 / 5;β = 1 / 3;
Zsamples = RandomCenteredScaledSums[twosidedPareto[α, β], {n, 0, ((n Pi Csc[(Pi α/2)]/2.0Gamma[α]))^(1/α)}, m];

Wolfram Language code: HistogramVsPDF[Zsamples, {-2, 3, 50}, StableDistribution[α, β]]

在的情况下：

Wolfram Language code:

n = 1000;m = 2500;α = 1;β = -1 / 2;
Zsamples = RandomCenteredScaledSums[twosidedPareto[α, β], {n, n β Log[(π/2)n], (1/2)n π}, m];

Wolfram Language code: HistogramVsPDF[Zsamples, {-4, 3, 50}, StableDistribution[α, β]]

在的情况下：

Wolfram Language code:

n = 1000;m = 2500;α = 5 / 4;β = 2 / 3;
Zsamples = RandomCenteredScaledSums[twosidedPareto[α, β], {n, n twosidedParetoMean[α, β], ((n Pi Csc[(Pi α/2)]/2.0Gamma[α]))^(1/α)}, m];

Wolfram Language code: HistogramVsPDF[Zsamples, {-4, 3, 50}, StableDistribution[α, β]]

在的情况下：

Wolfram Language code:

n = 1000;m = 2500;α = 2;β = 2 / 3;
Zsamples = RandomCenteredScaledSums[twosidedPareto[α, β], {n, n twosidedParetoMean[α, β], Sqrt[n Log[n] / 2]}, m];

Wolfram Language code: HistogramVsPDF[Zsamples, {-4, 3, 50}, StableDistribution[α, β]]

标准中心极限定理的情况，即：

Wolfram Language code:

n = 1000;m = 2500;α = 3;β = 2 / 3;
Zsamples = RandomCenteredScaledSums[twosidedPareto[α, β], {n, n twosidedParetoMean[α, β], Sqrt[n / 2 twosidedParetoVariance[α, β]]}, m];

Wolfram Language code: HistogramVsPDF[Zsamples, {-4, 4, 50}, StableDistribution[2, β]]

Holtsmark 分布是无限泊松系统的粒子作用力的分布. 引力的分量遵循对称稳定分布：

Wolfram Language code: Subscript[𝒟, Fx] = StableDistribution[3 / 2, 0, 0, ((3/π))^1 / 3 Gamma[(5/3)]];

模拟作用力的绝对值：

Wolfram Language code:

hist = Histogram[RandomVariate[TransformedDistribution[Sqrt[x^2 + y^2 + z^2], {x, y, z}ProductDistribution[{Subscript[𝒟, Fx], 3}]], 10 ^ 5], {0, 6, 1 / 10}, "PDF"]

已知绝对值的分布的解析式表示：

Wolfram Language code:

Holtsmark𝒟 = ProbabilityDistribution[Integrate[(2/π)(1/β)Exp[-(x / β)^3 / 2]x Sin[x], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> β > 0], {β, 0, Infinity}]

比较直方图：

Wolfram Language code:

Show[hist, Plot[PDF[TruncatedDistribution[{0, 6}, Holtsmark𝒟], r]//Evaluate, {r, 0, 6}, PlotStyle -> Directive[Thick, Red]]]

最大右偏稳定变量，例如，通常指的是正稳定：

Wolfram Language code: PositiveStableDistribution[a_ /; 0 < a < 1] := StableDistribution[1, a, 1, 0, Cos[Pi a / 2]^1 / a]

正稳定密度的拉普拉斯变换具有简单格式：

Wolfram Language code: With[{a = 3 / 4, t = 1 / 2}, NExpectation[Exp[-t x], xPositiveStableDistribution[a]]]

Wolfram Language code: With[{a = 3 / 4, t = 1 / 2}, Exp[-t ^ a]]//N

属性和关系 (11)

第0类和第1类稳定变量通过一个定位参数的位移相关：

Wolfram Language code: Delta[α_, β_, σ_] := β σ Piecewise[{{(2/π) Log[σ], α == 1}}, Tan[(π α/2)]]

使用特征函数验证：

Wolfram Language code:

CharacteristicFunction[StableDistribution[0, α, β, μ, σ], t] - CharacteristicFunction[StableDistribution[1, α, β, μ - Delta[α, β, σ], σ], t]//FullSimplify[#, 0 < α ≤ 2 && σ > 0]&

对于一类：

Wolfram Language code:

CharacteristicFunction[StableDistribution[1, α, β, μ, σ], t] - CharacteristicFunction[StableDistribution[0, α, β, μ + Delta[α, β, σ], σ], t]//FullSimplify[#, 0 < α ≤ 2 && σ > 0]&

一个稳定随机变量在处的间断性在上的微小变化的模式敏感度上体现出来：

Wolfram Language code:

ra = {9 / 10, 1, 11 / 10};
leg = Table[Row[{"α = ", α}], {α, ra}];

Wolfram Language code:

Table[Plot[Table[PDF[StableDistribution[t, α, 1 / 2, 0, 1], x], {α, ra}]//Evaluate, {x, -10, 10}, PlotLegends -> leg, PlotRange -> All, PlotPoints -> 2, Filling -> Axis, PlotLabel -> Text[Row[{"Type ", t}]]], {t, 0, 1}]

当平移和缩放时，新生成的分布族仍然是类型0的稳定分布：

Wolfram Language code: TransformedDistribution[a * u + b, uStableDistribution[0, α, β, μ, σ]]

使用特征函数验证：

Wolfram Language code: cf1 = Exp[I t b] CharacteristicFunction[StableDistribution[0, α, β, μ, σ], a t]

Wolfram Language code: cf2 = CharacteristicFunction[StableDistribution[0, α, Sign[a] β, a μ + b, Abs[a] σ], t]

Wolfram Language code: FullSimplify[cf1 / cf2, 0 < α ≤ 2 && -1 ≤ β ≤ 1 && σ > 0 && {μ, a, b}∈Reals && a ≠ 0]

在平移和缩放下，一类稳定分布族是闭合的：

Wolfram Language code: TransformedDistribution[a u + b, uStableDistribution[1 / 13]]

Wolfram Language code: TransformedDistribution[a u + b, uStableDistribution[1 / 13, β]]

Wolfram Language code: TransformedDistribution[a u + b, uStableDistribution[1, 1 / 13, β, μ, σ]]

时的特例：

Wolfram Language code: TransformedDistribution[a u + b, uStableDistribution[1, 1, β, μ, σ]]

具有相同稳定指标的两个稳定分布变量的和仍然是一个稳定变量：

Wolfram Language code:

cf1 = CharacteristicFunction[StableDistribution[0, α, β1, μ1, σ1], t] ;cf2 = CharacteristicFunction[StableDistribution[0, α, β2, μ2, σ2], t];

Wolfram Language code:

cf12 = With[{β = (β1 σ1^α + β2 σ2^α/σ1^α + σ2^α), σ = (σ1^α + σ2^α)^1 / α, μ = μ1 + μ2 + ((β1 σ1^α + β2 σ2^α/σ1^α + σ2^α) (σ1^α + σ2^α)^1 / α - β1 σ1 - β2 σ2) Tan[(π α/2)]}, CharacteristicFunction[StableDistribution[0, α, β, μ, σ], t]];

首先考虑不为1的情况：

Wolfram Language code:

FullSimplify[cf1 * cf2 / cf12, α ≠ 1 && 0 < α ≤ 2 && -1 ≤ β ≤ 1 && σ > 0 && -1 ≤ β1 ≤ 1 && -1 ≤ β2 ≤ 1 && σ1 > 0 && σ2 > 0]

然后对于：

Wolfram Language code:

Limit[cf1 * cf2 / cf12, α -> 1, Assumptions -> -1 ≤ β1 ≤ 1 && -1 ≤ β2 ≤ 1 && σ1 > 0 && σ2 > 0]//FullSimplify

对于和，严格的稳定分布满足对偶法：

Wolfram Language code:

s𝒮𝒟[α_, β_] := With[{btan = β Tan[Pi α / 2]}, StableDistribution[0, α, β, btan(1 + btan^2)^-(1/2α), (1 + btan^2)^-(1/2α)]]

具有稳定指数的对偶严格稳定分布：

Wolfram Language code:

d𝒮𝒟[α_, β_] := With[{cot = Cot[(π - 2 ArcTan[β Tan[(π α/2)]]/2 α)]}, StableDistribution[0, (1/α), Cot[(π/2 α)] cot, cot(1 + cot^2)^-α / 2, (1 + cot^2)^-α / 2]]

对偶法表明，对于，以下等式成立：

Wolfram Language code:

With[{z = 10, α = 1.3, β = 0.6}, Probability[x > z, xd𝒮𝒟[α, β]] == α Probability[0 < x < z^-1 / α, xs𝒮𝒟[α, β]]]

的稳定变量随机排序；例如，表示 :

Wolfram Language code:

Plot[Table[SurvivalFunction[StableDistribution[2 / 3, β, 0, 1], x], {β, -1, 1, 2 / 11}]//Evaluate, {x, -5, 5}, PlotLegends -> LineLegend[NumberForm[#, 2]& /@ Range[-1., 1., 2 / 11], LegendLayout -> {"Column", 2}], PlotRange -> All]

与其它分布的关系：

LandauDistribution 是一个稳定分布：

Wolfram Language code: CharacteristicFunction[LandauDistribution[μ, σ], t]

Wolfram Language code: CharacteristicFunction[StableDistribution[1, 1, 1, μ, σ], t]

Wolfram Language code: % - %%//FullSimplify

CauchyDistribution 是一个稳定分布：

Wolfram Language code: PDF[CauchyDistribution[0, 1], x]

Wolfram Language code: PDF[StableDistribution[1, 1, 0, 0, 1], x]

Wolfram Language code: % - %%

NormalDistribution 是一个稳定分布：

Wolfram Language code: PDF[NormalDistribution[μ, σ], x]

Wolfram Language code: PDF[StableDistribution[1, 2, β, μ, σ / Sqrt[2]], x]

Wolfram Language code: % - %%//Simplify

LevyDistribution 是一个稳定分布：

Wolfram Language code: PDF[LevyDistribution[μ, σ], x]

Wolfram Language code: PDF[StableDistribution[1, 1 / 2, 1, μ, σ], x]

Wolfram Language code: % - %%//FullSimplify

巧妙范例 (1)

绘制不同 β 值的概率密度函数，同时显示 CDF 等高线：

Wolfram Language code:

dist = StableDistribution[1, 1.3, β, 0, 2];cdf = Function[{x, β}, Evaluate[CDF[dist, x]]];
ql = {0.025, 0.10, 0.25, 0.5, 0.75, 0.90, 0.975};
cl = Table[ColorData["Rainbow"][q], {q, Join[{0.0}, ql]}];

Wolfram Language code:

Legended[Plot3D[PDF[dist, x], {x, -12, 12}, {β, -1, 1}, PlotTheme -> "Marketing", MeshFunctions -> {cdf}, Mesh -> {ql}, MeshStyle -> GrayLevel[0.8], MeshShading -> cl, AxesLabel -> Automatic, BaseStyle -> Opacity[0.9], ImageSize -> 400, PlotRange -> All, PlotPoints -> 50], BarLegend["Rainbow", ql, LegendLabel -> "prob"]]

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