当 x[t] 穿过 1/2 时，输出 t 的值：

当 x[t] 大于 1/2 时，输出 t 的值：

当 x[t] 小于 1/2时，输出 t 的值：

按固定时间间隔 ，采样解：

以列表指定多个事件，当发生任一事件便触发行动（action）：

使用具有条件 的事件 检测正 轴的相交点：

一般而言，事件可以是任何可以被检验为 True 的表达式：

当点击按钮时，触发一个事件停止积分：

如果很快点击 Stop 按钮，积分会在 前终止：

以列表指定多个行为，按连续顺序执行：

使用 "StopIntegration" 结束一个事件的解：

在事件第一次发生后，使用 "RemoveEvent" 删除事件：

在事件第三次发生后，删除事件：

在事件后，使用 "RestartIntegration" 强迫重新开始积分：

处理这种变化的更好的方法是使用离散状态变量 a[t]：

规则可用于修改 DependentVariables 或 DiscreteVariables：

使用 "CrossDiscontinuity" 管理不连续相交点：

使用 "CrossSlidingDiscontinuity" 表明可以使用菲利波夫（Filippov）延续：

使用 DiscreteVariables 和 "DiscontinuitySignature" 有效穿越不连续点：

在 Filippov 滑动模式情况下，"DiscontinuitySignature" 为 0：

WhenEvent 可用于 NDSolve:

DSolve:

ParametricNDSolve:

NDSolveValue:

ParametricNDSolveValue:

DSolveValue:

默认事件检测的方法是 "Sign"，检验步骤间的符号变化：

上面等价于：

如果步骤直接的交叉点数目是偶数，"Sign" 可能错过事件：

如果符号相同，"DerivativeSign" 将步长缩短为一半，但是导数符号改变：

对于快速变化的事件函数，使用 "Interpolation" 方法定位事件：

默认定位方法 "Brent" 精确定位一个事件：

"LinearInterpolation" 方法会合理定位事件：

如果高精度的事件定位不是必要的，则使用 "StepBegin" 或 "StepEnd"：

当事件同时发生时，设置优先级别，该例是为每个整数 ：

在任何有限优先级之后， 但在优先级 Infinity 之前，将产生 Automatic 优先级：

Sort 是按标准顺序对优先级排序：

模拟一个球反弹下的步骤：

绘制球的动能、势能和总能量：

模拟20个反弹球同时从不同的高度下降：

模拟一个球的正方形内的侧墙的影响下改变方向的运动：

具有无理初始速度，不再有周期解：

通过事件检测求解微分方程可用于查找函数 在有限范围内的所有局部最小值和最大值. 考虑函数 ：

设置搜索范围：

求解函数导数为 0 的微分方程并存储点：

绘制函数以及最小值和最大值：

标注参数曲线弧长度为1的点：

标注参数解进入或离开环形区域的解：

只标注参数解离开区域的点：

只标注参数解进入区域的点：

标注解进入或离开区域的点：

每次线性振荡解穿过负 轴，反应它穿过 轴：

该复位振荡器的解展现出混沌的行为：

在具有反射点的直方图的负 轴上绘制解：

模拟具有正弦压迫的自由度为1的效应振荡器（impact oscillator）：

模拟一个在固定时间间隔被敲打的阻尼振荡器：

轨迹最终安定为一个连贯的轨道：

使用同样的振荡器，但是在固定的时间间隔进行随机的敲打：

对使用弹簧固定在墙壁上的方块，使用摩擦力 的不同模型，包括粘性、库伦力、Stribeck 和静态. 比较不同模型的位置和速度：

方块的牛顿方程：

粘性摩擦力 与相对速度 成正比：

方块在弹簧的自然长度为 1 之上稳定：

库伦摩擦力 与相对速度 的符号成正比：

方块随着传送带移动，直至弹簧力足够大：

Stribeck 摩擦力 是一种修正后的库伦摩擦力 :

低速上的变化略有减少：

静摩擦力 将方块保持在原地直至取决于表面粗糙度，弹簧力超过一定值 μ. 当方块被卡住时，使用设为 1 的离散变量 stuck，否则使用 0：

检查弹簧力是否小于 μ，并且该方块是否相对于滑动带没有移动：

方块持续黏在传送带上，然后由于弹簧力滑走：

比较不同模型：

对由四个二极管和一个电容构成的 AC-to-DC 全波整流器建模，用于平滑输出：

输入电压 vi 和整流后的电压 vr：

当 vr 增加时，vo[t]=vr[t]；电容器充电，并将电流供给到负载. 当 vr 开始降低 (vr'[t]<0)，电容器通过负载放电，输出电压服从 vo'[t]=vo[t]/c r ：

对系统进行仿真：

绘制电容平滑处理后的输出电压：

对使用脉冲宽度调制反馈控制 q[t] 的 DC-to-DC 降压转换器建模，该转换器将输入电压 vi 转换到所需的输出电压 vd：

使用基尔霍夫定理获得上述电路的模型:

控制信号 q[t] 将在占每个周期 τ 的 vd/vi 时间段内接通晶体管：

从一个较高的电压 vi=24 降到较低的电压 vd=16:

对使用脉冲宽度调制反馈控制 q[t] 的 DC-to-DC 升压转换器建模，该转换器将输入电压 vi 转换到所需的输出电压 vd：

使用基尔霍夫定理获得上述电路的模型：

控制信号 q[t] 将在占每个周期 τ 的 vi/vd 时间段内接通晶体管：

从较低的电压 vi=24 升到较高的电压 vd=36:

对从输入电压电平 vi 到所需输出电压电平 vo 的 DC-to-DC 升压转换器 使用脉冲宽度调制反馈控制 q[t] 建模：

使用基尔霍夫定理获得上述电路的模型：

控制信号 q[t] 将晶体管开启每个周期的 vd/(vi+vd) 时间：

从较低的电压 vi=24 升到较高的电压 vd=36:

从较高的电压 vi=24 降到较低的电压 vd=16:

仿真用离散时间控制器 稳定的系统 ：

仿真和可视化：

使用无振 (dead-beat) 离散时间控制器控制双重积分器：

使用无振（dead-beat）数字反馈控制器 ：

仿真和可视化：

用 1 公斤质体模拟移动物体的位置：

用采样比例-微分（PD）控制器保持位置常量：

仿真和可视化：

设计具有状态方程 ， 和输出 的机械设备（plant）的离散时间控制器，仿真闭环系统：

通过使用状态估计器和状态反馈设计连续时间的控制器：

用采样时间 采样获取一个离散时间控制器：

使用离散时间控制器:

仿真具有控制器和 plant 的闭环系统：

绘制结果：

模拟一个固定在移动车上位置为 x，角度为 θ，承受水平力为 f 的钟摆：

设计一个稳定关于不稳定垂直固定点钟摆的控制器：

利用 WhenEvent 在固定采样时间应用反馈：

仿真该系统：

在倒置位置（）钟摆的角度快速稳定：

模拟温控器控制下一个房间中的热生成，该房间有三面绝热墙和一面受外界温度影响的玻璃墙：

事件中加热器的负载被增加或减少：

PDE 模拟空气中的热扩散，在圆 内生成热，通过玻璃窗散热：

如果位于 处的温控器测量到的温度高于/低于触发温度，且离散变量 发生变化，则关闭/打开加热器：

初始状态等于外部温度，查看 PDE 的时间积分：

可视化温控器测量的温度、外部温度和加热器的触发. 加热器处于开启状态时显示蓝色背景：

查看积分过程中的时间步长，注意 NDSolveValue 如何在事件期间根据需要调整时间步长：

显式给出条件的事件与单个谓词略有不同的诠释：

WhenEvent 不能找到显式根函数，因此当 pred 变成 True 时事件发生：

当给定显式函数 ()，事件被认为根 ，但条件是谓词 () 在 时为 False，因此从不会被触发：

显示解的踪迹和事件位置，背景为绿，当条件为 True，当条件为 False 时，背景为红色：

当给定显式函数 ()，事件被作为根 ：

显示解的踪迹和事件位置，背景为绿，当条件为 True，当条件为 False 时，背景为红色：

使用默认的 "DetectionMethod"，可能会错过一些事件：

尝试 "DerivativeSign" 或 "Interpolation" 获取更好的事件检测：

对应于事件顺序的根的事件可能会错过：

相反，改写奇数根：

有些系统允许在有限的时间跨度中有无限数量的事件：

最终，一个事件没有被检测到：

为定位事件收紧公差，改善检测：

如果比这更快的事件将不会被检测到：

通过插值检测，事件检测会进一步改善：

最后两个事件的间隔很接近这个极限：

在事件错过前自动停止积分：

事件在积分停止点被检测到：

增加工作精度允许在更精细的时间尺度中检测事件：

在 ODE 中不能重置最高阶导数：

但作为 DAE 求解，可以重置最高阶导数：

通过重新初始化，求解对应的 值，因此 的残差为0：

对于有序事件行为，变量是按序被修改的：

若要交换变量值，使用同步事件：