Zeta

Zeta[s]

给出黎曼 ζ 函数 TemplateBox[{s}, Zeta].

Zeta[s,a]

给出广义的黎曼 ζ 函数 TemplateBox[{s, a}, Zeta2].

更多信息和选项

  • 数学函数，适宜于符号和数值运算.
  • 对于 Re(s)>1，TemplateBox[{s}, Zeta]=sum_(k=1)^inftyk^(-s).
  • TemplateBox[{s, a}, Zeta2]=sum_(k=0)^(infty)(k+a)^(-s)，并去掉 的所有项.
  • 对于 Re(a)<0，使用定义 TemplateBox[{s, a}, Zeta2]=sum_(k=0)^(infty)((k+a)^2)^(-s/2).
  • Zeta[s] 没有不连续分支切割.
  • 对于某些特殊变量，Zeta 自动计算出精确值.
  • Zeta 可计算到任意数值精度.
  • Zeta 自动逐项作用于列表的各个元素.
  • Zeta 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (6)

数值化计算：

广义化的 (Hurwitz) ζ 函数:

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

原点的级数展开:

在 Infinity 处的级数展开：

在奇异点处的级数展开：

范围  (36)

数值计算  (7)

数值化计算：

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

复数输入：

高精度的高效计算：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最差情况下的区间：

用 Around 计算普通的统计区间：

自动逐项计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Zeta 函数：

特殊值  (6)

自动生成简单精确的结果：

符号 的 Zeta[s,a]:

符号 的 Zeta[s,a]:

零处的值：

无穷大处的极限值：

求当 Zeta[s]=1.05 时， 的值：

可视化  (3)

绘制 Zeta 函数：

绘制各阶的广义 Zeta 函数：

绘制 Zeta 函数的实部：

绘制 Zeta 函数的虚部：

函数的属性  (12)

Zeta 的实域：

复数域：

广义 ζ 函数 TemplateBox[{z, a}, Zeta2] 对于所有 具有相同的域：

Zeta 涵盖所有实值：

Zeta 具有镜像属性 zeta (TemplateBox[{z}, Conjugate])=TemplateBox[{TemplateBox[{z}, Zeta]}, Conjugate]：

Zeta 按元素逐项作用于列表和矩阵：

Zeta 不是解析函数：

但是，它是亚纯函数：

Zeta 既不是非递减，也不是非递增：

然而，它在 1 处向奇点的右侧递减：

Zeta 不是单射函数：

Zeta 是满射函数：

Zeta 既不是非负，也不是非正：

TemplateBox[{x, a}, Zeta2] 在 处既有奇点又有不连续点：

TemplateBox[{x}, Zeta] 既不凸，也不凹：

然而，它在 处奇点右侧是凸的：

TraditionalForm 格式化：

微分  (3)

关于 的一阶导数：

精确计算黎曼 ζ 函数的导数：

关于 的高阶导数：

绘制当 ，关于 的高阶导数：

级数展开  (2)

使用 Series 求泰勒展开：

绘制 附近的前三个近似：

使用 SeriesCoefficient 级数展开中的广义项：

函数恒等与化简  (3)

通过恒等定义 Zeta：

涉及 Zeta 函数的和：

连接 MoebiusMu 函数：

应用  (7)

绘制临界线上 ζ 函数的实部：

绘制穿过临界线的实部：

求出 zeta 函数的一个零点：

求出几个零点：

用 ZetaZero：

求出前 100 个整数中，几分之几的整数对是互质的：

与一个zeta 函数公式比较：

绘制两个非常接近的零（莱默对）附近的实部和虚部：

绘制广义 zeta 函数：

用 MellinTransform 求由无限级数定义的函数的渐近展开式的前两项：

计算 的梅林变换：

计算在 和 处的残差，获取要求的用 Zeta 函数表示的渐近展开式：

属性和关系  (8)

黎曼 ζ 函数  (5)

ζ 函数的定义和：

ζ 函数的欧拉乘积公式：

一个包含 ζ 函数的求和：

用 FullSimplify 证明泛函方程：

可以用 DifferenceRoot 来表示 Zeta：

广义 ζ 函数  (3)

普通 ζ 函数是一个特例：

在某些情况下，FunctionExpand 给出涉及其它函数的公式：

广义 ζ 函数的不定积分：

可能存在的问题  (4)

实部和虚部可以有非常不同的尺度：

准确计算虚部需要更高的内部精度：

机器数的输入给出高精度的结果：

将 0 作为自变量，并不定义所需的精度：

而包含一个准确度的指定，则给出足够的信息：

在 TraditionalForm 中，ζ 并不自动解释为 ζ 函数：

巧妙范例  (2)

将临界线上 ζ 函数的实部作为声音播放:

临界线上 ζ 函数的动态化：

Wolfram Research (1988)，Zeta，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html （更新于 2022 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，Zeta，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html （更新于 2022 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Zeta." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). Zeta. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_zeta, author="Wolfram Research", title="{Zeta}", year="2022", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_zeta, organization={Wolfram Research}, title={Zeta}, year={2022}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}