Asymptotic

Asymptotic[expr,xx₀]

给出 expr 在 x₀ 附近的渐近逼近.

Asymptotic[expr,{x,x₀,n}]

给出 expr 在 x₀ 附近的 n 阶渐近逼近.

更多信息和选项

Asymptotic 通常用于求解无法找到精确解的问题，或者为计算、比较和解释寻求更简单的答案. 这种情况下，渐近逼近通常会提供足够的信息来简化或解决应用问题.
Asymptotic[expr,x->x₀] 计算 expr 的渐近展开式的首项. 用 SeriesTermGoal 可指定计算更多的项.
表达式 expr 可以是任何函数，Integrate、LaplaceTransform 或 InverseLaplaceTransform 指定的积分，或是 DSolveValue 指定的微分方程等等.
展开点 x₀ 可以是任何有限或无限的实数或复数.
逼近阶数 n 可以是任何正整数或 Infinity. 如果 n 被设置为 Infinity，并且 expr 是 x 的解析函数，那么 Asymptotic 返回 expr 在 x₀ 周围的完全幂级数展开. »
如果精确结果为 g[x]，x₀ 处的 n 阶渐近逼近为 g_n[x]，那么当 xx₀ 时，AsymptoticLess[g[x]-g_n[x],g_n[x]-g_n-1[x],xx₀] 或 g[x]-g_n[x]∈o[g_n[x]-g_n-1[x]].

常见的渐近尺度包括：
渐近逼近 g_n[x] 常以和 g_n[x]α_kϕ_k[x] 的形式给出，其中 {ϕ₁[x],…,ϕ_n[x]} 是当 xx₀ 时的渐近尺度 ϕ₁[x]≻ϕ₂[x]≻⋯>ϕ_n[x]. 当 xx₀ 时，结果为 AsymptoticLess[g[x]-g_n[x],ϕ_n[x],xx₀] 或 g[x]-g_n[x]∈o[ϕ_n[x]].
Taylor 尺度，当 xx₀ 时

Laurent 尺度，当 xx₀ 时

Laurent 尺度，当 x±∞ 时

Puiseux 尺度，当 xx₀ 时
用于表示渐近逼近的尺度是从问题中自动推断出来的，通常可以包含更多的奇异尺度.
可以给出以下选项：

AccuracyGoal	Automatic	寻求的绝对准确度
Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
GenerateConditions	Automatic	是否给出与参数的条件有关的答案
GeneratedParameters	None	怎样命名生成的参数
Method	Automatic	所用的方法
PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优化的目标
PrecisionGoal	Automatic	寻求的精度
SeriesTermGoal	Automatic	近似式的项数
WorkingPrecision	Automatic	内部计算使用的精度

当 GenerateConditions 采用默认设置 Automatic 时，Asymptotic 返回的结果中通常不包含参数的条件. 通过将 GenerateConditions 设为 True 可返回包含参数条件的答案.
PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时，Asymptotic 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存. .
当 WorkingPrecision、AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 采用默认设置 Automatic 时，Asymptotic 可能返回精度较低的渐近逼近，即使输入具有无限精度.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

求 Sin 在 0 处的渐近逼近的首项：

绘制函数和逼近：

用 SeriesTermGoal 获取更好的近似：

计算不定积分的首项：

用 AsymptoticIntegrate 获得相同的结果：

计算逆拉普拉斯变换的首项：

计算微分方程的渐近展开式：

用 AsymptoticDSolveValue 获得相同的结果：

范围 (36)

初等函数 (8)

多项式在 Infinity 附近渐近逼近的首项：

绘制函数和近似：

有理函数：

指数函数：

多项式指数函数：

有理指数函数：

双曲函数：

对数函数：

Q 函数：

特殊函数 (8)

Gamma 的渐近逼近的首项：

绘制函数和近似：

涉及 Gamma 的复合函数的渐近逼近的首项：

Airy 函数：

绘制函数和近似：

Bessel 函数：

超几何函数：

椭圆函数：

涉及 HarmonicNumber 的函数：

涉及 PolyGamma 的函数：

QPolyGamma 的渐近级数：

绘制附近的前三个近似式：

幂级数表示 (3)

计算在 0 附近的幂级数展开：

计算幂级数展开和收敛半径：

计算在 0 附近的幂级数展开：

获得该级数的前七个非零项：

使用 Asymptotic 可获得同样的结果：

计算在 1 附近的幂级数展开：

积分 (2)

计算不定积分的首项：

AsymptoticIntegrate 获取相同的结果：

计算 Inactive 定积分的首项：

给出从 0 到 Infinity 积分的结果：

积分变换 (13)

计算拉普拉斯变换的首项：

与数值近似值比较：

计算拉普拉斯逆变换的首项：

计算 Mellin 变换的首项：

计算 Mellin 逆变换的首项：

计算傅立叶变换的首项：

计算傅立叶逆变换的首项：

计算傅立叶正弦变换的首项：

计算傅立叶正弦逆变换的首项：

计算傅立叶余弦变换的首项：

计算傅立叶余弦逆变换的首项：

计算汉克尔变换的首项：

计算汉克尔逆变换的首项：

计算卷积的首项：

微分方程 (2)

计算线性微分方程的渐近解的首项：

用 AsymptoticDSolveValue 获取相同的结果：

计算 DifferentialRoot 的渐近解的首项：

选项 (1)

SeriesTermGoal (1)

默认情况下，Asymptotic 返回函数的渐近展开式的首项：

用 SeriesTermGoal 获取更多的项：

应用 (6)

计算函数在一个点附近的极限行为：

绘制函数和极限行为：

比较函数在 0 和 Infinity 处的极限行为：

绘制函数和极限行为：

获得一个定积分的渐近展开式：

与数值近似值比较：

求微分方程的解在取较大值时的极限行为：

求极限值：

绘制解及首项近似：

求亚纯函数在处的近似展开式的首项：

求原点处的首项：

素数定理指出是素数计数函数的渐近近似：

比较素数计数函数和两个近似值：

属性和关系 (6)

Asymptotic 返回的结果渐近等价于输入：

用 AsymptoticEquivalent 验证结果：

Asymptotic 的结果等于该点处的极限，如果极限存在的话：

Asymptotic 通常给出级数展开式的首项：

Asymptotic 计算连续变量函数的近似值：

DiscreteAsymptotic 计算离散变量函数的近似值：

用 AsymptoticExpectation 求期望值的渐近逼近：

用 Asymptotic 获取渐近逼近：

用 AsymptoticProbability 求概率的渐近逼近：

用 Asymptotic 获取渐近逼近：

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