CircularQuaternionMatrixDistribution
CircularQuaternionMatrixDistribution[n]
行列次元が{2 n,2 n}の複素領域上の円四元数行列分布を表す．
詳細
- CircularQuaternionMatrixDistributionは，円四元数アンサンブル(CQE)としても知られている．
- CircularQuaternionMatrixDistributionは，次元 n の圧縮シンプレクティック正方行列上の一様分布を表す．これは，ユニタリシンプレクティック群
上のHaar測度としても知られている． - CircularQuaternionMatrixDistributionの各実現は，シンプレクティック形式
![TemplateBox[{x}, Transpose].J.x=J](Files/CircularQuaternionMatrixDistribution.ja/2.png "TemplateBox[{x}, Transpose].J.x=J")
を保存しているユニタリ行列 
として表される．ただし，
はシンプレクティック行列KroneckerProduct[{{0,-1},{1,0}},IdentityMatrix[n]]である． - 次元母数 n は任意の正の整数でよい．
- CircularQuaternionMatrixDistributionは，MatrixPropertyDistributionやRandomVariate等の関数とともに使うことができる．
予備知識
- CircularQuaternionMatrixDistribution[n]は，円四元数アンサンブル(CQE)とも呼ばれるもので，
ユニタリ複素行列上の，具体的には 
と 
の両方を満足する偶数次元の複素行列 
上の統計分布を表す．ただし，
は 
の共役転置，
は 
恒等行列，
は 
の転置，
は 
の形式のシンプレクティック行列，⊗はクロネッカー積を表す．母数 n は分布の次元母数と呼ばれるもので，任意の正の整数でよい． - 円四元数アンサンブルは，円実数行列アンサンブル(CircularRealMatrixDistribution)と並んで，1962年にFreeman Dysonによって考案された，もともとある3つの円行列アンサンプル（CircularOrthogonalMatrixDistribution，CircularSymplecticMatrixDistribution，CircularUnitaryMatrixDistribution）に加えられた主な2つの分布の一つである．円四元数行列は，確率論的にはコンパクトなシンプレクティック平方行列の集合上の一様分布を表し，数学的にはユニタリシンプレクティック群
上のいわゆるHaar測度である．円四元数行列のような行列アンサンブルは，ランダム行列理論をはじめとする物理学および数学のさまざま分野の研究において非常に重要である． - RandomVariateを使って，円四元数行列分布から，1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度（後者はWorkingPrecisionオプションを介す）の擬似乱数変量を得ることができる．そのような変量の集合の平均，中央値，分散，モーメント，中心モーメントは，それぞれMean，Median，Variance，Moment，CentralMomentを使って計算することができる．Distributed[A,CircularQuaternionMatrixDistribution[n]]（より簡単な表記では ACircularQuaternionMatrixDistribution[n]）を使ってランダム行列 A が円四元数行列分布に従って分布していると宣言することができる．そのような宣言はMatrixPropertyDistribution等の関数で使うことができる．
- 円四元数行列分布に従って分布する変量のトレース，固有値，ノルムは，それぞれTr，Eigenvalues，Normを使って計算することができる．そのような変量は，MatrixFunctionやMatrixPowerで調べることもできる．加えて，実部(Re)，虚部(Im)，複素引数(Arg) 等の関連する実際の量はMatrixPlotを使ってプロットできる．
- CircularQuaternionMatrixDistributionは，他の多くの分布と関係がある．上述の通り，この分布はCircularOrthogonalMatrixDistribution，CircularRealMatrixDistribution，CircularSymplecticMatrixDistribution，CircularUnitaryMatrixDistribution等の他の円形行列分布と定性的に類似している．円行列アンサンブルは，もともとはいわゆるガウスアンサンブルの一般化として導かれたものなので，CircularQuaternionMatrixDistributionはGaussianOrthogonalMatrixDistribution，GaussianSymplecticMatrixDistribution，GaussianUnitaryMatrixDistributionとも関係がある．CircularQuaternionMatrixDistributionはMatrixNormalDistribution，MatrixTDistribution，WishartMatrixDistribution，InverseWishartMatrixDistribution，TracyWidomDistribution，WignerSemicircleDistributionとも関係がある．
例題
すべて開くすべて閉じる例 (2)
これは，ユニタリ行列で，シンプレクティック行列 を保存している：
MatrixPropertyDistributionを使ってランダム行列の固有値を表し，そこからサンプルを取る：
特性と関係 (2)
サンプルレベルの間隔のヒストグラムを，Dyson指数2のWigner推測としても知られる閉形式と比較する：
次元 
大のCircularQuaternionMatrixDistributionの固有ベクトルについては，要素のスケールされた法はカイ二乗分布に従う：
ヒストグラムをChiSquareDistributionのPDFと比較する：
テキスト
Wolfram Research (2015), CircularQuaternionMatrixDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularQuaternionMatrixDistribution.html.
CMS
Wolfram Language. 2015. "CircularQuaternionMatrixDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularQuaternionMatrixDistribution.html.
APA
Wolfram Language. (2015). CircularQuaternionMatrixDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularQuaternionMatrixDistribution.html