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CircularQuaternionMatrixDistribution

CircularQuaternionMatrixDistribution[n]

表示复数域上的圆四元数矩阵分布，其矩阵维数为 {2 n,2 n}.

更多信息

CircularQuaternionMatrixDistribution 亦称为圆四元数系综，或 CQE.
CircularQuaternionMatrixDistribution 表示 n 阶紧辛方阵上的均匀分布. 亦称为酉辛群的哈尔测度.
每一个 CircularQuaternionMatrixDistribution 的实现被表示为一个保留了辛形式的酉矩阵，其中是辛矩阵 KroneckerProduct[{{0,-1},{1,0}},IdentityMatrix[n]].
维度参数 n 可以是任意正整数.
CircularQuaternionMatrixDistribution 可以和诸如 MatrixPropertyDistribution、RandomVariate 之类的函数一起使用.

背景

CircularQuaternionMatrixDistribution[n]，也被称作圆四元数系综（CQE），表示在一元复阵上的统计分布，即同时满足和的偶数维复方阵，其中表示的共轭转置，是恒等矩阵，是的转置，是形如的辛矩阵，其中 ⊗ 是 Kronecker 积. 参数 n 被称作分布的维度参数，可以是任意正整数.
与圆实矩阵系综（CircularRealMatrixDistribution）并列，圆四元数矩阵分布是由 Freeman Dyson 于 1962 设计的三个最初的所谓圆矩阵系综（CircularOrthogonalMatrixDistribution、CircularSymplecticMatrixDistribution 和 CircularUnitaryMatrixDistribution）之外的两个重要增补之一. 从概率学角度而言，圆四元数系综表示在紧凑辛方阵系列上的均匀分布，而数学上，它也是酉辛群上的所谓哈尔测度. 类如圆四元数矩阵分布的矩阵系综，在随机矩阵理论以及在物理和数学的各个分支的研究中都具有相当的重要性.
RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过 WorkingPrecision 选项获得）的圆四元数矩阵分布中的伪随机变元，并且这类变元的均值、中位数、方差、原始矩和中心矩可以分别通过使用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 计算得到. Distributed[A,CircularQuaternionMatrixDistribution[n]]，更简洁的式子为 ACircularQuaternionMatrixDistribution[n]，可用于断定随机矩阵 A 服从圆四元数矩阵分布. 这类断言可用于诸如 MatrixPropertyDistribution 的函数中.
服从圆四元数矩阵分布的变元的迹、特征值和范数可以分别使用 Tr、Eigenvalues 和 Norm 计算得到. 这类变元也可以通过 MatrixFunction、MatrixPower 及相关实量研究，例如实部（Re）、虚部（Im）和复参数（Arg），可以使用 MatrixPlot 绘图.
CircularQuaternionMatrixDistribution 和许多其它分布有关. 如上所述，它在性质上与其它圆矩阵分布相似，如 CircularOrthogonalMatrixDistribution、CircularRealMatrixDistribution、CircularSymplecticMatrixDistribution 和 CircularUnitaryMatrixDistribution. 最初，圆矩阵系综是由所谓广义高斯系综推导而来，因此 CircularQuaternionMatrixDistribution 与 GaussianOrthogonalMatrixDistribution、GaussianSymplecticMatrixDistribution 和GaussianUnitaryMatrixDistribution 相关. CircularQuaternionMatrixDistribution 也与 MatrixNormalDistribution、MatrixTDistribution、WishartMatrixDistribution、InverseWishartMatrixDistribution、TracyWidomDistribution 和 WignerSemicircleDistribution 相关.

范例

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基本范例 (2)

生成一个伪随机 CQE 矩阵：

它是一个酉矩阵，并保留了辛矩阵 ：

用 MatrixPropertyDistribution 表示一个随机矩阵的特征值，并从中抽样：

范围 (3)

根据酉辛群生成随机矩阵：

根据酉辛群生成一组随机矩阵：

用数值法计算统计特性：

属性和关系 (2)

特征值的相角的分布：

计算特征值之间的间距：

比较解析形式的能级间距和样本能级间距的直方图，解析形式亦称为 Dyson 指标为2的 Wigner 估测：

对于维度大小为的 CircularQuaternionMatrixDistribution 的特征向量，其元素的缩放过的模数服从分布：

将直方图与 ChiSquareDistribution 的 PDF 进行比较：

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